CBM a.s. 2012/2013 PROBLEMA DELL UTILE DEL CONSUMATORE CON IL VINCOLO DEL BILANCIO

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1 CM a.s. /3 PROLEMA DELL TILE DEL CONSMATORE CON IL VINCOLO DEL ILANCIO Il consumatore è colui che acquista beni er destinarli al rorio consumo. Linsieme dei beni che il consumatore acquista rende il nome di aniere di consumo. L tilità è una funzione Reale che indica il gradimento di un consumatore relativamente alla fruizione di beni o servizi. Il vincolo del bilancio raresenta linsieme ammissibile dei anieri allinterno del quale il consumatore uò scegliere il suo. Quale insieme di beni, tra tutti quelli otenzialmente acquistabili dal consumatore, rende massimo il suo benessere (o utilità), dati i suoi gusti, il suo reddito ed il rezzo dei beni? Prenderemo in esame anieri di soli due beni, individuato dalle coie ordinate ( ; ) ; le quantità richieste di beni saranno semre non negative (, ). Per esrimere la referenza del consumatore ( è referibile a ) nei confronti di due anieri useremo il simbolo ; er esrimere la referenza debole ( è buono almeno tanto quanto ) del consumatore nei confronti di due anieri useremo il simbolo», mentre er indicare lindifferenza useremo il simbolo. Il comortamento di un consumatore uò essere standardizzato suonendo che le sue scelte seguano semre alcune regole (assiomi). Assiomi: A. Riflessività: (;)» (;) (ogni aniere di consumo è desiderato almeno quanto se stesso). A. Comletezza: Dati due anieri ( ; ) e ( ; ), si ha semre che ( ; )» ( ; ) o ( ; )» ( ; ). (è semre ossibile er il consumatore confrontare due anieri; ogni aniere uò stare solo su una curva di indifferenza). A3. Transitività: se ( ; )» ( ; ) e ( ; )» ( 3 ; 3 ) allora ( ; )» ( 3 ; 3 ). La rorietà è valida anche er e er. (le curve di indifferenza non si intersecano mai fra di loro) A4. Continuità: se ( ; ) ( ; ), allora qualunque aniere sufficientemente simile a ( ; ) è referito a ( ; ) A5. Non sazietà (Forte Monotonia): dati due anieri di consumo in cui la quantità è la stessa, cioè (; ) e (; ), se si verifica che > allora (; ) (; ). Se vale la rorietà er», si arla di Debole Monotonia. (le curve di indifferenza hanno endenza negativa; er la non sazietà il migliore aniere sta sul vincolo di bilancio) A6. Convessità delle referenze: se ( ; ) ( ; ), allora il segmento che congiunge ( ; ) e ( ; ) è formato da anieri tutti referibili a sia a ( ; ) che a ( ; ). (la varietà fra i beni è semre referita a beni dello stesso tio; l inclinazione di una curva di indifferenza si riduce man mano che ci si sosta verso destra) A8. Egoismo: il consumatore effettua le sue scelte tenendo conto esclusivamente delle rorie referenze. La referenza del consumatore uò essere raresentata attraverso una funzione detta FNZIONE DI TILITA (,). Se ( ; ) ( ; ) allora ( ; ) > ( ; ) Se ( ; ) ( ; ) allora ( ; ) = ( ; ) erché se i due anieri sono indifferenti er il consumatore, la loro utilità è la stessa.

2 CM a.s. /3 La raresentazione grafica della funzione di utilità è una suerficie tridimensionale, ma ossiamo raresentarla sul iano cartesiano utilizzando le linee di livello, dette curve di indifferenza, L : (,) = k, k. Ogni curva di indifferenza, siccome l tilità ha lo stesso valore di k er TTTI i unti della curva, raresenta linsieme dei anieri che danno al consumatore la stessa utilità, ossia sono ugualmente desiderabili. Linsieme di tutte le curve d indifferenza relative ad una funzione di utilità si dice maa di indifferenza. La endenza della curva di indifferenza (l inclinazione della retta tangente, la derivata rima della curva calcolata nel unto) resa in valore assoluto rende il nome di saggio marginale di sostituzione SMS, ossia il tasso al quale il consumatore è disosto a sostituire una iccola quantità di bene con una iccola quantità di bene er rimanere con la stessa utilità. Il saggio marginale di sostituzione rivela le referenze dei consumatori il beneficio marginale di ogni bene decresce all aumentare del suo ossesso i consumatori arezzano la varietà Le curve di indifferenza di una funzione di utilità hanno le seguenti caratteristiche:. Sono funzioni decrescenti e quindi hanno una endenza negativa in ogni unto.. Hanno concavità rivolta verso lalto. 3. Non si intersecano mai. 4. A curve di indifferenza iù alte (lontane dall origine) corrisondono livelli di utilità iù alti e viceversa. Le curve di indifferenza ossono assumere la seguente forma: k 4 k 3 O k k

3 CM a.s. /3 Quando il consumatore acquista dei beni, cerca di farlo in modo da rendere il iù grande ossibile il suo grado di soddisfacimento, comatibilmente con il denaro a disosizione. Il vincolo di bilancio o retta di bilancio definisce l insieme dei anieri che il consumatore uò acquistare sendendo comletamente il rorio reddito. L area comresa fra la retta che raresenta il vincolo del bilancio e i semiassi ositivi del riferimento cartesiano è detta area dei anieri ammissibili erché è formata da tutte le coie ordinate di beni acquistabili con il denaro a disosizione. Vincolo di bilancio: = * + * La sua raresentazione grafica è una retta sul iano cartesiano. Le variazioni del reddito non modificano la endenza m del vincolo di bilancio( m ): Quando il reddito aumenta, il vincolo di bilancio si sosta arallelamente verso destra (la retta è arallela a quella iniziale ma aumenta l ordinata all origine q ) Quando il reddito diminuisce, il vincolo di bilancio si sosta arallelamente verso sinistra (la retta è arallela a quella iniziale ma diminuisce l ordinata all origine) Presa in valore assoluto tale endenza raresenta il rezzo relativo dei due beni. La variazione del rezzo di uno dei due beni determina una variazione della endenza del vincolo di bilancio Se il rezzo del bene raresentato sull asse delle ascisse aumenta (diminuisce), il vincolo di bilancio diventa iù (meno) riido, il unto d incontro con l asse delle ascisse si sosta verso sinistra (destra) mentre l ordinata all origine non varia Il consumatore sceglie il aniere di consumo in corrisondenza del quale la curva di indifferenza è tangente al vincolo di bilancio. In alcuni casi non esiste un unto di tangenza tra vincolo di bilancio e curva di indifferenza La soluzione ottima revede che il consumatore consumi solo uno dei due beni (le soluzioni d angolo si verificano iù sesso er i beni altamente sostituibili). 3

4 CM a.s. /3 t T k 4 k 3 = k t O t k k Siccome k cresce con l allontanarsi delle Curve d indifferenza dall Origine, T è il aniere che massimizza l tilità, erché er valori di k maggiori di k t l tilità è maggiore, ma il consumatore non ha denaro a sufficienza er accedere ai anieri di tali curve. T( t ; t ) è il unto di massima utilità vincolata al ilancio, (T) = k t è il valore massimo vincolato er l utilità del consumatore.. 4

5 CM a.s. /3 RISOLZIONE ANALITICA Il roblema del consumatore, nel caso di anieri formati da tii di beni, è un roblema di OTTIMO er una funzione reale di due variabili reali sottoosta ad un vincolo raresentato da una equazione. La funzione Lagrangiana da massimizzare è: L (,, ) (, ) ( ) λ viene detta sensibilità della funzione in quanto è un numero reale che indica di quanto cresce l utilità quando il bilancio cresce di un unità. Per determinare il Massimo relativo occorre:. Cercare i unti stazionari, cioè i unti del dominio le cui coordinate annullano contemoraneamente le tre derivate arziali rime:,. Si ottiene il sistema: * Tale sistema ammette una e una sola soluzione P = ( ; ;λ ). Si studia il segno dell Hessiano orlato, e si ottiene che il unto stazionario P è un unto di massimo relativo er la funzione L.. 3. Il Punto P =( ; ) è un unto di massimo relativo er la funzione e il valore massimo relativo è (P ). 4. Tale unto di massimo non è solo un unto di massimo relativo, ma anche assoluto (come si vede dallo studio delle curve di indifferenza). Dalle rime due equazioni del sistema si ricava una imortante relazione:. Da tale relazione discende che, er massimizzare l tilità, il consumatore deve distribuire il suo bilancio in modo che, er ogni bene, sia uguale il raorto fra l tilità marginale e il rezzo. Il valore di λ nel unto di massimo (λ ) rende il nome di tilità marginale della moneta quando sia massimizzata l utilità del consumatore. 5

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