Segnali e trasformate

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1 Segnali e trasformate - 1 Corso di Laurea in Ingegneria dell Automazione Segnali e trasformate DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Controlli Automatici L

2 Segnali e trasformate - 2 Segnali tempo continui Sono funzioni reali di variabile reale: la variabile indipendente rappresenta il tempo descrivono l andamento temporale delle variabili di interesse importante caratterizzarne le proprietà Segnali canonici: normalmente nulli per t<0 gradino unitario rampa parabola Segnali periodici cosinusoide: caratterizzata da ampiezza, pulsazione e fase

3 Segnali e trasformate - 3 Segnali periodici Un segnale si dice periodico di periodo T se T è il più piccolo numero reale per cui la 1 è verificata Un segnale costante è periodico di periodo nullo Pulsazione caratteristica Periodica di periodo 2

4 Segnali e trasformate - 4 Segnali periodici Proprietà: date due funzioni periodiche con periodi tra loro commensurabili (ovvero tali che con interi), la loro somma risulta essere una funzione periodica di periodo periodo periodo periodo periodo periodo

5 Segnali e trasformate - 5 Segnali periodici periodo periodo periodo periodo periodo In generale la combinazione lineare di funzioni sinusoidali è un segnale periodico di periodo

6 Segnali e trasformate - 6 La serie di Fourier Risultato fondamentale: Data una funzione complessa di variabile reale periodica con periodo T, si ha La successione è lo spettro di Fourier del segnale, è lo spettro di ampiezza e è lo spettro di fase La conoscenza dello spettro di ampiezza e fase permette di ricostruire il segnale originario Se il segnale è reale, si ha

7 Segnali e trasformate - 7 Formulazioni alternative La serie di Fourier si ottiene la forma trigonometrica

8 La serie di Fourier e l analisi armonica Segnali e trasformate - 8 Ogni segnale periodico è scomponibile nella somma di una costante, la componente continua, e di una infinità numerabile di cosinusoidi, le armoniche, a pulsazioni multiple dell armonica fondamentale Il peso di ogni armonica è stabilito dallo spettro di ampiezza Proprietà Una funzione pari è sviluppabile in soli serie di coseni, cioè F sn = 0 Una funzione dispari è sviluppabile in soli serie di seni, cioè F cn = 0 Teorema di Parseval La potenza media associata al segnale, se esiste, è definita dallo spettro di ampiezza

9 La serie di Fourier e l analisi armonica Segnali e trasformate - 9 Per analisi armonica si intende lo studio dello spettro, cioè la rappresentazione del segnale nel dominio delle frequenze e non del tempo Esistono segnali il cui sviluppo in serie e composto da un numero finito di termini Si definisce banda del segnale l intervallo di pulsazioni compreso tra la minima e la massima pulsazione dei termini non nulli Segnali con un numero infinito di termini non nulli sono in principio a banda illimitata se il segnale è a potenza finita, l ampiezza dello spettro di fase tende necessariamente a zero al crescere della pulsazione da un punto di vista pratico, si parla di banda del segnale, la cosiddetta banda essenziale, intendendo la banda in cui è confinata una percentuale data, solitamente il 95% o il 99%, della potenza totale del segnale

10 Segnali e trasformate - 10 Esempi di spettri La presenza di armoniche a frequenze elevate è legata alla derivata del segnale temporale: a segnali più bruschi corrispondono spettri che si estendono a frequenze più elevate Segnale temporale Spettro serie di Fourier ( )

11 Esempi di spettri Segnale temporale smussato Spettri serie di Fourier ( ) Segnali e trasformate - 11

12 Segnali e trasformate - 12 La trasformata di Fourier Data un segnale (a valori reali o complessi) si definisce trasformata di Fourier la funzione complessa di variabile reale definita come Rappresenta l estensione ai segnali non periodici della serie di Fourier Non tutti i segnali ammettono trasformata, l integrale deve esistere Trasformazione inversa Spettro di ampiezza Spettro di fase Per segnali reali è sufficiente la conoscenza dello spettro per pulsazioni positive

13 Segnali e trasformate - 13 La trasformata di Fourier Linearità Forma trigonometrica Un segnale che ammette trasformata di Fourier è esprimibile come somma non numerabile di funzioni elementari cosinusoidali Si può definire il concetto di banda limitata e banda essenziale di un segnale analogamente a quanto fatto per segnali periodici Un segnale diverso da zero in un intervallo di tempo finito può avere banda illimitata Teorema di Parseval

14 Segnali e trasformate - 14 Esempio Impulso rettangolare

15 Segnali e trasformate - 15 La trasformata di Laplace La trasformata di Fourier ha una chiara interpretazione fisica, ma non tutti i segnali di interesse sono trasformabili La trasformata di Laplace si applica ad una qualunque funzione a valori complessi coniugati o reali e di variabile reale esiste per praticamente tutti i segnali di interesse risulta definita per ogni s appartenente al semipiano del piano di Gauss posto a destra di una retta parallela alla asse immaginario la cui posizione dipende da f(t) (dominio di convergenza)

16 Segnali e trasformate - 16 La trasformata di Laplace Sotto talune (non restrittive) ipotesi la trasformata di Laplace risulta univoca e la trasformazione inversa risulta definita come dove è una qualunque ascissa appartenente al dominio di convergenza di Notazione: Le due funzioni hanno lo stesso contenuto informativo (trasformazione biunivoca).

17 Proprietà della trasformata di Laplace Segnali e trasformate - 17 Linearità Derivazione Integrazione Traslazione temporale Teorema valore iniziale Teorema valore finale

18 Trasformazione segnali elementari Segnali e trasformate - 18

19 Trasformazione segnali elementari Segnali e trasformate - 19 Riferimento a tabella per trasformazioni meno elementari

20 Segnali e trasformate - 20 Esempi trasformazione funzioni complesse

21 Segnali e trasformate - 21 La soluzione delle equazioni differenziali lineari Trasformata di Laplace strumento utile Esempio: equazione omogenea di ordine 1 Antitrasformazione utilizzo della formula: scomodo si sfruttano funzioni elementari di cui si conosce la trasformata per ordini più elevati si sfrutta la formula di derivazione ricorsivamente necessario conoscere tutte le condizioni iniziali necessarie

22 Segnali e trasformate - 22 La soluzione delle equazioni differenziali lineari A partire da EDO lineari omogenee, si ottengono sempre trasformate di Laplace per la soluzione in forma razionale fratta Equazioni non omogenee con condizioni iniziali nulle conoscendo la trasformata della u(t) si ricava Y(s) e poi per antitrasformazione la y(t) nel caso di U(s) razionale fratta, anche la Y(s) sarà ancora razionale fratta per quanto visto nella lezione precedente, per calcolare il segnale è sufficiente conoscere l antitrasformata dei termini elementari attenzione, se il polo è complesso si ottiene un segnale complesso

23 Segnali e trasformate - 23 Antitrasformazione di funzioni razionali fratte Si utilizza lo sviluppo in fratti semplici calcolo dei coefficienti di ogni termine dello sviluppo già visto poli semplici reali poli semplici complessi coniugati

24 Segnali e trasformate - 24 Rappresentazione grafica (molteplicità 1)

25 Segnali e trasformate - 25 Antitrasformazione di funzioni razionali fratte poli multipli reali poli multipli complessi coniugati

26 Segnali e trasformate - 26 Rappresentazione grafica (molteplicità > 1)

27 Segnali e trasformate - 27 Corso di Laurea in Ingegneria dell Automazione Segnali e trasformate Fine DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Controlli Automatici L