I diagrammi di Bode. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica. Controlli AutomaticiL. Diagrammi di Bode
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1 Diagrammi dibode - 1 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Controlli Automatici L I diagrammi di Bode DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Diagrammi di Bode Diagrammi dibode - 2 Funzione di trasferimento in forma fattorizzata (costanti di tempo) Funzione di risposta armonica associata 4 fattori elementari: Guadagno statico Poli/zeri origine Poli/zeri reali Poli/zeri complessi coniugati Diagrammi dibode - 3 Vedremo che il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) potrà esre eguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo e possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare il valore dell ampiezza in scala logaritmica. Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi Dati quindi complessi e interi si ha che 1
2 Diagrammi dibode - 4 fattori elementari fattori elementari Fattori elementari Diagrammi dibode - 5 Fa guadagno statico zero origine zero reale zeri c.c. I contributi dei poli si ottengono da quelli degli zeri mplicemente cambiando gno (ribaltamento attorno all as delle ascis) I contributi di poli/zeri multipli si ottengono mplicemente da quelli a molteplicità singola moltiplicando per la molteplicità Diagrammi dibode - 6 espressa in decibel: (db) Diagramma logaritmico Fa (gradi) Frequenze (rad/c) Diagramma mi-logaritmico Scala logaritmica (possibilità di rapprentare con il dovuto dettaglio grandezze che variano in campi molto estesi) 2
3 Guadagno statico Diagrammi dibode - 7 Fa Zero (polo) nell origine Diagrammi dibode - 8 Fa 4 pendenza Diagrammi dibode - 9 Polo nell origine : Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene mplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all as delle ascis 4 pendenza
4 Zero (polo) reale Diagrammi dibode - 1 Fa NB: andamento indipendente dal gno di 4 3 pendenza (valore assoluto dello zero) fa: caso Diagrammi dibode Pha Diagram Tangente al punto di flesso Semiretta a 1 8 Punto di flesso Pha (degree) diagr. approx diagr. reale..fa: caso Diagrammi dibode - 12 NB: il diagramma delle fasi è speculare rispetto all as Pha Diagram Punto di flesso - Pha (degree) diagr. approx diagr. reale 4
5 Polo reale: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene mplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all as delle ascis Diagrammi dibode Zeri (poli) c.c. Diagrammi dibode Magnitude Diagram 7 6 Pendenza Il comportamento per frequenze prossime a può discostarsi molto dal diagramma asintotico dipendentemente dal valore di ) ampiezza Calcoliamo la frequenza del minimo della funzione Diagrammi dibode - 15 Il valore del minimo è alla frequenza e vale Magnitude Diagram Al calare di la frequenza di picco tende verso e il valore del picco tende a Il diagramma non dipende dal gno di
6 Fa: caso Diagrammi dibode Pha Diagram Tangente al punto di flesso Pha Diagram Pha (degree) Pha (degree) Frequancy (rad/c) Diagramma approssimato Fa: caso Diagrammi dibode - 17 Pha Diagram Pha Diagram - -4 Pha (degree) Pha (degree) Diagrammi dibode - 18 Poli c.c.: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene mplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all as delle ascis 6 4 Il valore del massimo è alla frequenza - e vale -4 Tracciamento dei diagrammi asintotici analogo al caso precedente
7 -1 1 Caso poli cc instabili: stesso andamento per il diagramma delle ampiezze e ribaltamento rispetto l as delle frequenze per il diagramma delle fasi Diagrammi dibode Il valore di picco alla 6 Diagrammi dibode - 4 frequenza PICCO DI RISONANZA viene detto Fisicamente rapprenta il fattore di amplificazione massima della coppia di poli a fronte di sollecitazioni alla FREQUENZA DI RISONANZA Il valore di minimo alla 6 4 Diagrammi dibode - 21 BodeDiagram frequenza viene detto - PICCO DI ATTENUAZIONE Fisicamente rapprenta il fattore di attenuazione massima della coppia di zeri a fronte di sollecitazioni alla FREQUENZA DI RISONANZA
8 Tabella riassuntiva Diagrammi dibode (rad/c) 4 (rad/c) (rad/c) (rad/c).tabella riassuntiva Diagrammi dibode (rad/c) 4 (rad/c) (rad/c) (rad/c).tabella riassuntiva Diagrammi dibode (rad/c) (rad/c) (rad/c) (rad/c) 8
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