Laboratorio di Elaborazione di Dati, Segnali e Immagini Biomediche (Parte 3)

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1 Università degli Studi di Padova - Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica A.A. 7-8 Laboratorio di Elaboraione di Dati, Segnali e Immagini Biomediche (Parte 3) Prof. Giovanni Sparacino Dipartimento di Ingegneria dell Informaione Università di Padova web: http: RIPASSO SISTEMI LINEARI: LEGAME INGRESSO-USCITA {x(n)} Dominio del tempo y y n n n k h k a y x nk SISTEMA LINEARE {y(n)} n ayn... anyn N + bxn + bxn b M x nm (sistemi ARMA) Dominio trasformate Y() H( b Y() + a )X() + b + a b M a M N N X() H( B( A( B( ) A( ) X() ) ) b ) + a (sistemi ARMA) + b a + b M a M N N

2 RIPASSO TEORIA: DEFINIZIONE DI RISPOSTA IN FREQUENZA La circonferena in rosso è, al variare di f, il luogo dei punti sul piano complesso tali che ej π f/fs e Consideriamo H() per tutti i valori di sul cerchio unitario ej π f/fs Tale restriione è una funione complessa, ma di variabile reale f Indichiamo tale funione con H(e jπ f /F s ), o con H(f), che chiamiamo risposta in frequena del sistema (Fs/) (Fs/) Ovviamente, poichè l argomento e jπ f /Fs è periodico rispetto ad f di periodo F s, la funione H(e jπ f /Fs ) è periodica rispetto ad f di periodo F s Im j π f/fs () Re PIANO COMPLESSO Oss. Alcuni autori preferiscono considerare la risposta in frequena in funione 3 della variabile ωπf/fs, usando quindi la notaione H(e j ω ) o H(ω) RIPASSO TEORIA: SIGNIFICATO DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA La risposta in frequena H(e jπfts ) di un sistema lineare e tempo-invariante è una funione complessa di variabile reale f che, al suo variare fra e Fs, indica quanto, a regime, il sistema amplifica (vd. modulo) e sfasa (vd. fase) una sinusoide discreta di frequena f in ingresso al sistema sin(π f kts) H(e SISTEMA jπfts ) sin(π f kts + H(e jπfts )) SCHEMA VALIDO SOLO A REGIME!!! H(e jπfts ) viene usualmente studiata solo per f fra e Fs/

3 RISPOSTA IN FREQUENZA PER SISTEMI ARMA IN MATLAB: IL COMANDO FREQZ y n a y n ayn... anyn N + bxn + bxn b M x nm b Y() + a + b + a b M a M N N X() B( A( ) X() ) In Matlab B [b,b A [,a,...,b,...,a N M ]; ]; attenione a non dimenticarlo!!! Su B ed A agiscono i comandi filter, freq, Usando l istruione [H,F] freq(b,a,n,fs), si trovano N campioni, equispaiati fra ed Fs/, della risposta in frequena del sistema ARMA a coefficienti in B ed 5 A Esempio H( B( ) A( ) ) +.8 L istruione [H, F]freq([ -],[.8],,5) crea un vettore reale F e un vettore complesso H di dimensione che contengono, rispettivamente valori equispaiati fra e 5 (metà della frequena di campionamento, in questo caso 5 H) e i relativi campioni della risposta in frequena del sistema ARMA y(n) -.8y(n-)+x(n)-x(n-) (riferito a segnali campionati a 5 H) Per accedere al modulo di H uso l istruione abs, per accedere alla fase l istruione angle 6

4 H( B( ) A( ) ) DIAGRAMMA POLI-ZERI: IL COMANDO ZP_PLOT Dall ispeione del diagramma poli-eri, ottenuto dalla funione di trasferimento H() (notare che è messa in funione di ): N() H () D() si può capire qualitativamente come è fatta la risposta in frequena Esempio: H( B( ) A( ) ) +.8 equivale anche a H() N() D() +.8 Per il diagramma poli-eri, usare la custom function p_plot function []p_plot(,p,fc) %ZP_PLOT Disegna gli eri e i poli di una funione di trasferimento. % ZP_PLOT(, p, Fc) disegna il cerchio di raggio unitario, riferendolo % ad una frequena di campionamento Fc, % disegna gli eri, contenuti nel vettore, col simbolo 'o' in nero % disegna i poli, contenuti nel vettore p, col simbolo 'x' in rosso 8

5 H( ) B( A( ) ) +.8 H() N() D() +.8 H(), ristretta ai sul cerchio unitario, è H(e jπf / F s ) N(e D(e jπf / F s jπf / F s ) ) e e jπf / F jπf / F s s Esempio Consideriamo H() con due eri, complessi e coniugati, sul cerchio e due poli pure complessi e coniugati H() ( )( ) ( p )( p ) poli (x) e eri (o) sul piano complesso 5H 6H Considerare il modulo di H() per tutti i valori e j π f/fs per f (,F s /) significa calcolare: H p ej π f/fs H H() p p ovvero fare il prodotto tra due rapporti tra segmenti. Il secondo rapporto è sempre circa uno, mentre il primo diventa nullo in corrispondena della frequena 6 H. p

6 modulo H fase H TROVARE POLI e ZERI DI H() IN MATLAB. PRIMO PASSO: PASSARE DA H( - ) a H() Per calcolare correttamente poli e eri di H(), bisogna passare prima a potene positive, moltiplicando numeratore e denominatore di H( - ) per max(m,n) n n... n n Y() P + P X() Q Q d + d d + d Q P Q P N() X() D() In Matlab N [np,np,...,n ]; [d,d,...,d ]; D Q Q roots(n); proots(d); radici (complesse) del polinomio N() radici (complesse) del polinomio D()

7 Ricordare Per invocare correttamente la freq, bisogna fare riferimento a H() in funione di - (quella che corrisponde all equaione alle differene) Per trovare correttamente poli e eri (ovvero per non rischiare di omettere eri o poli multipli nell origine) mediante la roots, H() va portata in funione di 3 ESERCIZIO 3. Si consideri il sistema MA y(n) x(n)-x(n-) ) Disegnare il diagramma eri-poli servendosi della funione p_plot(eri, poli, freq_sampling) ) Dal diagramma, tracciare carta e penna il grafico del modulo della risposta in frequena, relativamente ad una frequena Fs5 3) Confrontare il proprio grafico con quello che emerge dopo aver usato l istruione [H,F] freq(b,a,n,fs) ) Che caratteristiche ha il filtro? Il sistema è a fase lineare? Come mai? 5) Qual e il guadagno in banda passante del sistema? Come si potrebbe normaliare ad?

8 BOZZA DI SOLUZIONE H() ( ) eri[]; poli[]; Fc5; p_plot(eri, poli, Fc) Per costruire a mano il diagramma del modulo della risposta in frequena, valuto il rapporto tra la distana dallo ero (segmento nero) e quella dal polo (segmento rosso), al variare di f 5 BOZZA DI SOLUZIONE H() ( ) eri[]; poli[]; Fc5; p_plot(eri, poli, Fc) b[ -]; a[]; Fc5; [H,F]freq(b,a,8,Fc); figure() subplot() plot(f,abs(h)) subplot() plot(f,angle(h)).5 poli (x) e eri (o) sul piano complesso 5H H X H

9 ESERCIZI DA FARE IN AULA ESERCIZIO 3. Considerare il filtro H() (- - )/( ) e, dal diagramma ero-poli, tracciare carta e penna il grafico del modulo della risposta in frequena, relativamente ad una frequena Fs5 H. Scrivere poi un programma Matlab che disegni diagramma ero-poli e risposta in frequena del filtro. Che caratteristiche ha il filtro? Confrontare la risposta in frequena ed il diagramma poli-eri con quelli dell eserciio 3.. Qual e il guadagno in banda passante del sistema? ESERCIZIO 3.3 Scrivere un programma Matlab che disegni diagramma ero-poli e risposta in frequena del filtro H() relativamente ad un campionamento a H Il sistema è a fase lineare? Come mai? Qual è il guadagno statico e come si potrebbe normaliare ad? 7 SOLUZIONE 3. H() poli (x) e eri (o) sul piano complesso 5H H X H

10 SOLUZIONE 3.3 H() ( + + ) +.5 poli (x) e eri (o) sul piano complesso 5H 3.5 5H X H ESERCIZIO 3. Dal diagramma poli-eri, valutare la stabilità dei sistemi A e B descritti dalle seguenti equaioni alle differene A) y(n).7y(n-)-.y(n-)+.5x(n)+.5x(n-)+.x(n-) B) y(n).5y(n-)-.5y(n-)+.5x(n)+.5x(n-)+.x(n-) Calcolare e visualiare la risposta all impulso unitario (arrestarsi alla lunghea ), (istruione filter)

11 SOLUZIONE 3. a) sistema stabile y(n).7y(n-)-.y(n-)+.5x(n)+.5x(n-)+.x(n-).5 poli (x) e eri (o) sul piano complesso ingresso 5H H H uscita SOLUZIONE 3. b) sistema instabile y(n).5y(n-)-.5y(n-)+.5x(n)+.5x(n-)+.x(n-).5 poli (x) e eri (o) sul piano complesso 5H.8 ingresso H H 6 uscita

12 ESERCIZIO 3.5 ULTERIORI ESERCIZI (DA FINIRE EVENTUALMENTE A CASA ENTRO IL PROSSIMO LAB) Si consideri il sistema MA (vd eserciio., leione scorsa) y(n) x(n)+x(n-)+x(n-)+x(n-3)+x(n-) riferito a Fs H Disegnare il diagramma eri-poli servendosi della funione p_plot(eri, poli, freq_sampling) Dal diagramma, tracciare carta e penna il grafico del modulo della risposta in frequena Confrontare il proprio grafico con quello che emerge dopo aver usato l istruione [H,F] freq(b,a,n,fs) Capire, dalla risposta in frequena, il motivo della risposta nulla (a regime) al segnale sinusoidale per certe frequene critiche (vd eserciio., leione scorsa) ESERCIZIO 3.6 Usando l istruione [H,F] freq(b,a,n,fs), valutare il grafico della risposta in frequena del sistema descritto dall equaione y(n) y(n-) + x(n) - x(n-5) riferito a Fs H. Capire similitudini e differene con quanto trovato all eserciio precedente 3 Accenno soluione 3.5 y(n) x(n)+x(n-)+x(n-)+x(n-3)+x(n-) H( H() ) H() 3 ( ) Per trovare le radici di numeratore e di denominatore di H(): eriroots([ ]) poli[ ] Per ottenere il diagramma eri-poli in Matlab rispetto alla frequena di H p_plot(eri,poli,)

13 poli (x) e eri (o) sul piano complesso 5H B[ ]; A[]; N5; Fs/.; [H,F] freq(b,a,n,fs); figure() subplot() plot(f,abs(h)) title(['risposta in frequena (Fs' numstr(fs) ')']) ylabel('modulo') subplot() plot(f,angle(h)); ylabel('fase (radianti)') xlabel('frequena (H)') 5 risposta in frequena (Fs) modulo 3 5H x H molteplicità fase (radianti) frequena (H) 5 Accenno soluione 3.6 y(n) y(n-) + x(n) - x(n-5) H() 5 5 H() 5 Per ottenere il diagramma eri-poli: poli (x) e eri (o) sul piano complesso 5H eriroots([ -]) poliroots([ - ]) p_plot(eri,poli,) 5H x molteplicità x H Il diagramma ero-poli coincide con il precedente, a parte la presena di un polo e di uno ero aggiuntivi in (fattore (-) comune sia a numeratore che a denominatore) 6

14 Accenno soluione 3.6 % realiaione ARMA clear all 5 risposta in frequena (Fs) B[ -]; A[ -]; N5; Fs/.; [H,F] freq(b,a,n,fs); figure() subplot() plot(f,abs(h)) title(['risposta in frequena (Fs' numstr(fs) ')']) ylabel('modulo') modulo fase (radianti) frequena (H) subplot() plot(f,angle(h)); ylabel('fase (radianti)') xlabel('frequena (H)') 7 ESERCIZIO 3.7 Scrivere un programma Matlab che, considerando una alla volta le seguenti funioni 5 ) H(). (Fc) +.5 ) H() (Fc) ESERCIZI DA FARE PER CASA PER PREPARAZIONE ALL ESAME 3) H() (Fc).9 ) 5) H() + (Fc) + H() (Fc) ) H() (Fc) ) H() (Fc) + ne calcoli poli e eri (istruione roots) ne faccia il diagramma eri - poli sul piano complesso servendosi della funione p_plot(eri, po li, freq_sampling) - cercare di prevedere da questo diagramma come risulterà il grafico della risposta in frequena ne plotti il grafico della risposta in frequena (istruione [H,F]freq(b,a,8,Fc)) si confronti l andamento trovato con la posiione di poli e eri sul piano complesso 8

15 SOLUZIONE 3.7 H(). 5.5 poli (x) e eri (o) sul piano complesso risposta in frequena - MODULO 5H H H risposta in frequena - FASE SOLUZIONE 3.7 H() poli (x) e eri (o) sul piano complesso 8 risposta in frequena - MODULO 5H H H.5 risposta in frequena - FASE

16 SOLUZIONE 3.7 H().9.5 poli (x) e eri (o) sul piano complesso.5 risposta in frequena - MODULO 5H H H risposta in frequena - FASE SOLUZIONE 3.7 H() +.5 poli (x) e eri (o) sul piano complesso risposta in frequena - MODULO H 3.5 H x H risposta in frequena - FASE

17 SOLUZIONE 3.7 H() poli (x) e eri (o) sul piano complesso.5 risposta in frequena - MODULO H H H risposta in frequena - FASE SOLUZIONE 3.7 H() poli (x) e eri (o) sul piano complesso 3H 6 5 risposta in frequena - MODULO H H risposta in frequena - FASE

18 SOLUZIONE 3.7 H() +.5 poli (x) e eri (o) sul piano complesso risposta in frequena - MODULO 3H H H 3 risposta in frequena - FASE

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