Esempi di uso e applicazioni di Matlab e simulink. 1) Uso delle funzioni ode23 e ode45 per l'integrazione di equazioni differenziali con Matlab

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1 Esempi di uso e applicazioni di Matlab e simulink ) Uso delle funzioni ode23 e ode45 per l'integrazione di equazioni differenziali con Matlab Sia dato da integrare una equazione differenziale scalare di ordine N del tipo: n d x n dt = n n 2 d x d x f (,,..., x, t) n n 2 dt dt Associando ad ogni derivata un elemento di un vettore, tale equazione può essere riscritta come un sistema di N equazioni del primo ordine (in cui si sottointende la variabile indipendente t), nel modo seguente: x() = f ( x(),..., x( N )) x(2) = x()... x( N ) = x( N ) In pratica, alla grandezza non derivata si associerà la componente x(n), alla derivata prima x(n) e così via. Si ottiene così un vettore x (che chiameremo "stato") di derivate successive della variabile x ed una rappresentazione "compatta" del sistema di N equazioni del primo ordine è la seguente: dx = f ( x, t) dt dove x è un vettore di stato, t la variabile indipendente (si considererà sempre il tempo) e f è una funzione che ritorna la derivata (vettoriale) dello stato sulla base dei valori di x e t. Per trovare la soluzione di questa equazione differenziale, si invoca la funzione Matlab ode23 o ode45: ode23('xprime', t0, tfinal, x0); ode45('xprime', t0, tfinal, x0); dove: xprime è un possibile nome di un mfile che definisce la funzione da integrare. La funzione deve calcolare il vettore derivata dello stato x, dato lo stato e il tempo corrente. Deve perciò avere due argomenti di ingresso (t ed x) e ritornare un vettore colonna delle derivate degli stati (lo si chiami, ad esempio, xdot): t0 è il tempo di inizio integrazione tfinal è il tempo di fine integrazione x0 è il vettore delle condizioni iniziali su x()...x(n) x i = dxi dt Il sistema di N equazioni visto sopra può perciò essere realizzato dalla seguente funzione, definita dal file xprime.m: function xdot = xprime(t,x) xdot = [f(x()...x(n)); x(2);... ; x(n)] Si ricorda che xprime, xdot, t0, tfinal e x0 sono nomi di fantasia. Viene ora dato un esempio di uso delle funzioni ode23 e ode45 (si noti la sintassi lievemente diversa, spiegata nell'help di Matlab). In particolare, si voglia vedere l'andamento della soluzione dell'equazione del primo ordine:

2 y( t) = y( t) a) si definisce il sistema di equazioni differenziali nel file yprimo.m % function yprime = yprimo(t,y); yprime = (y()); b) Si definiscono le condizioni iniziali, il tempo di inizio e fine simulazione e si richiama una delle due funzioni per l'integrazione col metodo di RungeKutta (terzo o quinto ordine). % file prova23.m % T0=0; TFIN=0; Y0=0; [T,Y]=ode23('yprimo',T0,TFIN,Y0,e5,); plot(t,y) % file prova45.m % T0=0; TFIN=0; Y0=0; [T,Y]=ode45('yprimo',T0,TFIN,Y0,e,); plot(t,y) 2) Studio della risposta impulsiva di sistemi stabili e instabili con Matlab Il programma stabilit.m mostra come, in funzione della posizione dei poli di un sistema, la risposta impulsiva tenda a zero in caso di poli tutti a parte reale negativa. Nel caso vi sia un polo nell'origine, la risposta a regime sarà diversa da zero. Infine, se un polo ha parte reale positiva, la risposta diverge. clc clg echo on % Si definiscono i poli e zeri del sistema da simulare % % N.B. I poli sono tutti stabili % zeri=[4 ]; poli=[6 2 0]; K=0; % Si converte la rappresentazione polizeriguadagno in una razionale % [num,den]=zp2tf(zeri,poli,k); % Si definisce il supporto temporale su cui si vuole fare la simulazione %

3 t = 0:.0:0; % Si determina la risposta impulsiva % y = impulse(num,den,t); ; % Si visualizza il risultato % plot(t,y) ; % Si definiscono i poli e zeri del sistema da simulare % % N.B. I poli sono tutti stabili e uno nell'origine % zeri=[4 ]; poli=[6 0 0]; K=0; [num,den]=zp2tf(zeri,poli,k); t = 0:.0:0; y = impulse(num,den,t); plot(t,y) % Si definiscono i poli e zeri del sistema da simulare % % N.B. I poli sono tutti stabili, tranne uno % zeri=[4 ]; poli=[6 2 0]; K=0; [num,den]=zp2tf(zeri,poli,k); t = 0:.0:0; y = impulse(num,den,t); plot(t,y)

4 3) Determinazione del diagramma di Bode e Nyquist di una generica funzione di trasferimento. clc % pulisce la finestra di testo echo on % % % Determinazione del diagramma di Bode % % di una generica funzione di trasferimento % % % clg csi=0.; Wn=0; % pulisce la finestra grafica % definizione dei parametri del sistema del II ordine den=[ 2*csi*Wn Wn^2]; % Definizione della funzione di trasferimento num=[]; % Coefficenti discendenti dei polinomi di num e den w=logspace(0,2,000); % definizione delle frequenze a cui calcolare % modulo e fase della f.d.t. Provare a cambiare % il numero di elementi a [modulo,fase]=bode(num,den,w); % calcolo di modulo e fase subplot(2);loglog(w,modulo); subplot(22);semilogx(w,fase); % disegna in due posizioni diverse % i digrammi del modulo e delle fasi subplot(); [Re,Im]=nyquist(num,den,w); % rimette la finestra grafica singola % calcola le componenti del diagramma plot(re,im) % disegna il diagramma di Nyquist echo off 4) Simulazione della risposta al gradino di un sistema del secondo ordine. M/k.s 2B/k.s sec_ord.m

5 I dati M, B e k sono introdotti dalla command window di matlab. I dati di uscita sono visualizzati su un oscilloscopio e scritti contemporaneamente sulla variabile matlab "". Si deve dimensionare questa variabile in modo adeguato, perchè di default dà solo 000 elementi. 5) Uso di Multiplexer Signal Gen. Switch s f.d.t untitled.mat Sine Wave To File selezion.m Questo programma simulink consente di simulare la risposta di un sistema il cui ingresso è connesso fino ad un certo istante ad una sinusoide e poi ad un generatore di segnali. L'uscita viene indirizzata sia all'oscilloscopio, sia ad una variabiel matlab ed infine salvata su un file di estensione.mat. 6) Uso di Demultiplexer Mux Mux inout.mat To File Signal Gen. step Switch s f.d.t. Sine Wave untitled.mat To File Demux Demux selmpx.m Questo è un esempio di come si possano accorpare più variabili scalari in una vettoriale, mediante l'uso del blocco multiplexer (mux) e, viceversa, sia possible estrarre una o piu' componenti scalari da una variabile vettoriale mediante l'uso del blocco demultiplexer (demux). Si noti come nel file inout.mat vengano salvate sia l'ingresso che l'uscita del sistema. 7) Versione simulink del programma contdig.m. Si vada a verificare che è possibile cambiare l'istante in cui viene applicato il gradino. Inoltre, lasciando il passo di integrazione variabile, si noti che il comando "plot()" renda un grafico "strano" dell'uscita.

6 out Gain s 2.92s5.76 contsim.m 8) Simulazione della risposta al gradino di un sistema del secondo ordine controllato tramite un regolatore PID. PID PID Controller 0 s 22s2 pid.m Si veda come è possibile cambiare "al volo" (cioè in corso di simulazione) i parametri del regolatore. 9) Simulazione di un sistema con un anello algebrico. K Gain algebrai.m L'uscita del sistema dovrebbe portarsi istantaneamente al valore K/(K) e l'errore a /(K). La simulazione avviene però come programma sequenziale, in cui l'uscita inizialmente viene posta a 0, l'errore viene calcolato pari a. A questo punto, l'uscita vale K e viene confrontata con l'ingresso. C'è quindi un assestamento verso il valore vero dell'uscita dopo un certo numero di passi di simulazione. A seconda della versione di simulink, gli anelli algebrici vengono risolti automaticamente oppure vengono segnalati come illeciti e la simulazione si blocca. 0) Simulazione di un sistema discreto che comanda uno continuo. E' possibile salvare sul vettore "time" l'insieme degli istanti della simulazione. Si ricordi di mantenere l'intervallo di simulazione fisso e pari ad un sottomultiplo intero di quello di campionamento del sistema discreto.

7 Step Input z 3 s Discrete Zero Order Hold Clock time discrete.m cmd