La funzione di risposta armonica

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1 Funzione di risposta armonica - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Controlli Automatici L La funzione di risposta armonica DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Analisi armonica di segnali Funzione di risposta armonica - 2 Segnali periodici: serie di Fourier Una funzione si dice periodica di se soddisfa la relazione: Esempio: 4 intero pulsazione della funzione Periodica di Funzione di risposta armonica - 3 Proprietà: date due funzioni periodiche con periodi tra loro commensurabili (ovvero tali che con interi), la loro somma risulta essere una funzione periodica di Esempi (combinazioni lineari di e ):

2 Funzione di risposta armonica In generale la combinazione lineare di funzioni sinusoidali è un segnale periodico di Funzione di risposta armonica - 5 Risultato fondamentale: Una qualunque funzione periodica di può essere rappresentata mediante la serie di Fourier Formulazioni alternative: Forma esponenziale Forma trigonometrica Relazione tra i coefficienti delle formulazioni: Calcolo dei coefficienti: Funzione di risposta armonica - 6 Dato che per ogni si ha che (integrale sul di funzione periodiche), Quindi Ovvero: 2

3 Definizioni: Funzione di risposta armonica - 7 armoniche componente continua a armonica (fondamentale): k a armonica: peso del modulo della k a armonica sfasamento della k a armonica Definizioni: Funzione di risposta armonica - 8 Esistono segnali il cui sviluppo in serie e composto da un numero finito di termini, ovvero per i quali il peso dei coefficienti al di fuori di un certo intervallo hanno un peso trascurabile rispetto agli altri: Si definisce banda del segnale l intervallo di pulsazioni compreso tra la minima e la massima pulsazione significativa segnali a banda limitata se e finito; segnali a banda illimitata altrimenti Sviluppare un segnale in serie di Fourier equivale a fare una analisi armonica, cioè rappresentare il segnale nel dominio delle frequenze Segnali non periodici: trasformata di Fourier Funzione di risposta armonica - 9 Data una funzione (a valori reali o complessi) si definisce trasformata di Fourier la funzione complessa di variabile reale definita come Trasformata inversa: complessa reale Coniugata di 3

4 Funzione di risposta armonica - la relazione tra e risulta biunivoca e quindi le due rappresentazioni hanno lo stesso contenuto informativo La funzione viene detta anche spettro di e detto spettro di ampiezza e detto spettro di fase La relazione mette in evidenza come il segnale sia scomponibile in una infinità non numerabile di componenti sinusoidali dette armoniche La trasformata di Fourier rappresenta una estensione ai segnali non periodici del risultato ottenuto per segnali periodici con lo sv iluppo in serie di Fourier Funzione di risposta armonica - Relazione con la trasformata di Laplace: Trasformata di Fourier Trasformata di Laplace Nella condizioni di convergenza della trasformata di Laplace (ovvero funzione temporale nulla per tempi negativi ed ascissa di convergenza di a valori negativi) di ha che le due trasformate soddisfano la relazione Si può verificare che i coefficienti della serie di Fourier per segnali periodici si possono ottenere campionando la relativa trasformata di Fourier alle pulsazioni Esempi di spettri Funzione di risposta armonica - 2 La presenza di armoniche a frequenze elevate è legata alla derivata del segnale temporale: a segnali più bruschi corrispondono spettri che si estendono a frequenze più elevate Segnale temporale 25 Spettro serie di Fourier ( )

5 Segnale temporale smussato 25 Spettri serie di Funzione Fourier di( risposta ) armonica Analisi armonica di sistemi dinamici Funzione di risposta armonica - 4 Dall analisi in frequenza di segnali temporali Dalla sovrapposizione degli effetti per sistemi lineari Dall unione di questi due risultati acquista quindi significato studiare la risposta di sistemi dinamici a fronte di ingressi sinusoidali Funzione di risposta armonica - 5 Studieremo quindi il comportamento in frequenza di un sistema dinamico, cercando di capire come il sistema risponde a regime a sollecitazioni a determinate frequenze. Questo studio porterà a definire la funzione di risposta armonica del sistema. Ipotesi: sistema asintoticamente stabile (tutti i poli di a parte reale <)? Risposta a regime? Sviluppando in fratti semplici: Contributo poli di Contributo ingresso 5

6 Sviluppando Funzione di risposta armonica - 6 Dalle formule di Eulero si ottiene ovvero, riscrivendo, Modulo: Argomento: Quindi, anti-trasformando: Funzione di risposta armonica - 7 (vedere parte 3) Termine transitorio Termine di regime Ogni sistema dinamico lineare tempo invariante asintoticamente stabile sollecitato da un ingresso sinusoidale risponde a regime con una uscita sinusoidale alla stessa frequenza della forzante e con una ampiezza e una fase che dipendono dalla frequenza (oltre che dalla ampiezza e fase della forzante). Funzione di risposta armonica Funzione di risposta armonica - 8 Dalle considerazioni precedenti sembra naturale definire, come funzione compatta che cattura il comportamento in frequenza di un sistema dinamico, la seguente funzione di risposta armonica dai passaggi precedenti Funzione complessa di variabile reale il cui modulo rappresenta il fattore di amplificazione/attenuazione a regime dell ampiezza di ingressi sinusoidali alla frequenza e l argomento lo sfasamento tra ingresso e uscita NB: non dipende da e 6

7 Funzione di risposta armonica - 9 Teorema del regime permanente Un sistema lineare stazionario con funzione di trasferimento razionale fratta avente i poli a parte reali negativa soggetto ad eccitazione sinusoidale presenta, a regime, una risposta sinusoidale avente la stessa frequenza dell eccitazione. La funzione di risposta armonica e legata alla funzione di trasferimento dalla relazione. Funzione di risposta armonica - 2 Osservazione importante: il legame tra funzione di trasferimento e funzione di risposta armonica assume un grande significato pensando che quest ultima si presta ad una identificazione sperimentale (analisi delle risposte a fronte di ingressi sinusoidali) lineare stazionario asint. stabile?? * * Valore del modulo e argomento di alla frequenza Funzione di risposta armonica - 2 Modellistica fisica Sperimentazione Funzione di trasferimento Funzione di risposta armonica?? Vedremo, studiando i metodi grafici per la rappresentazione della funzione di risposta armonica, che sarà possibile mettere in diretta relazione l andamento (sperimentale) della funzione di risposta armonica con la posizione di poli/zeri della funzione di trasferimento 7

8 Sistemi semplicemente stabili o instabili Funzione di risposta armonica - 22 Modi naturali (non smorzati) del sistema Modi forzanti Per sistemi semplicemente stabili o instabili la funzione di risposta armonica contiene informazioni relative alla parte della risposta associata all ingresso Significato fisico molto meno interessante Funzione di risposta armonica - 23 Metodi di rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica Tre possibili rappresentazioni Funzione complessa di variabile reale logaritmico Diagramma di Nyquist Diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) Diagramma di Nichols 8