Analisi di segnali variabili nel tempo: la trasformata di Fourier

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1 Analisi di segnali variabili nel tempo: la trasformata di Fourier Aniello (a.k.a. Daniele) Mennella Università degli Studi di Milano Dipartimento di Fisica 13 ottobre 2015 Laboratorio di strumentazione spaziale I Lezione 03

2 Serie di Fourier 13 ottobre 2015 Laboratorio di strumentazione spaziale I Lezione 03

3 Funzione di periodo 2π Una funzione continua di una variabile, f (t), periodica e di periodo 2π, può essere rappresentata come una serie di funzioni trigonometriche (seno e coseno). Termine costante Sommatoria su funzioni armoniche 13 ottobre 2015 Laboratorio di strumentazione spaziale I Lezione 03

4 Coefficienti di Fourier (periodo 2π) I coefficienti a n e b n della serie sono dati da: 13 ottobre 2015 Laboratorio di strumentazione spaziale I Lezione 03

5 Funzione di periodo P = 2h Se la funzione è periodica su un periodo qualunque P = 2h possiamo ricondurci al caso precedente effettuando un cambio di variabile x ( h / π) t da cui otteniamo t π x / h Lo sviluppo in serie assume la forma Con coefficienti 13 ottobre 2015 Laboratorio di strumentazione spaziale I Lezione 03

6 Esempio: y = x/2

7 Trasformata di Fourier 8 ottobre 2015 Laboratorio di strumentazione spaziale I Lezione 02

8 La trasformata continua Consideriamo una funzione continua definita sull'insieme dei numeri reali, f(t). Possiamo definire la seguente funzione, F( ω), denominata trasformata di Fourier. Se la variabile t rappresenta un tempo allora ω è la corrispondente frequenza angolare, ovvero 2πf, dove f, è una frequenza.

9 Legame con la serie di Fourier La trasformata di Fourier è strettamente collegata ai coefficienti della serie di Fourier. Se f(t) è periodica di periodo 2h, infatti, allora F( ω) è definita nell'intervallo [-h, h]: Se consideriamo le frequenze discrete che definiscono la serie di Fourier abbiamo ω n = π n / h per cui risulta evidente che, per una funzione periodica, si ha:

10 La trasformata discreta Consideriamo, ora, una funzione definita soltanto in N punti equispaziati in un intervallo [0, T 0 ]. L'intervallo temporale fra i vari punti è δt = T 0 / (N 1). La funzione, pertanto, sarà definita solo nei punti {t 0 = 0, t 1 = δt,, t k = k δt,, t N 1 = (N 1) δt}.

11 La trasformata discreta La funzione, in questo caso, può essere descritta come una serie di impulsi (matematicamente delle funzioni delta di Dirac) agli istanti t k. La trasformata di Fourier, in questo caso, diventa:

12 Le frequenze Poiché la funzione è definita solo in un insieme finito di istanti, anche i valori delle frequenze nei quali è definita la trasformata di Fourier discreta saranno in numero finito e pari a N Alla lista dei tempi t k corrisponde una lista analoga di frequenze, ν k data da: {ν 0 = 0, ν 1 = 1 / (N δt),, ν k = k / (N δ t),, ν N 1 = (N-1) / (N δt) }. dove la frequenza ν 0 = 0 corrisponde alla componente continua del segnale (ovvero al suo valor medio)

13 Le frequenze Poiché la funzione è definita solo in un insieme finito di istanti, anche i valori delle frequenze nei quali è definita la trasformata di Fourier discreta saranno in numero finito e pari a N Alla lista dei tempi t k corrisponde una lista analoga di frequenze, ν k data da: {ν 0 = 0, ν 1 = 1 / (N δt),, ν k = k / (N δ t),, ν N 1 = (N-1) / (N δt) }. dove la frequenza ν 0 = 0 corrisponde alla componente continua del segnale (ovvero al suo valor medio)

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15 Periodicità La frequenza più bassa (diversa da zero) è ν 1 = 1 / (N δt). Questa corrisponde all'inverso del periodo principale del segnale. Se il segnale non è periodico, ma è definito su un intervallo temporale finito [0, T 0 ], la trasformata di Fourier discreta assume comunque che il segnale sia periodico e di periodo principale T 0. T 0 eccetera eccetera

16 Trasformata diretta e inversa La trasformata di Fourier diretta (che trasforma un segnale dal dominio del tempo a quello delle frequenze) è, pertanto: Si può dimostrare che la trasformata di Fourier inversa (che trasforma un segnale dal dominio delle frequenze a quello del tempo) è:

17 Esempio Consideriamo l'esempio precedente senza il termine t 2 e campioniamo 51 punti nell'intervallo [0 s, 10 s] 1 Hz 2 Hz 0 Hz (termine DC)

18 Modulo della trasformata di Fourier Anche se la funzione di partenza è una funzione reale di variabile reale, la trasformata di Fourier assume valori complessi. Il modulo di ciascun elemento è legato all'ampiezza di ciascuna componente di Fourier. Termine DC di ampiezza 5 1 Hz 2 Hz DC Componente a 1 Hz di ampiezza 0.87 Componente a 2 Hz di ampiezza 1.19 Che frequenze sono?

19 Il teorema di Nyquist Quando campioniamo un segnale continuo in modo discreto perdiamo delle informazioni. Il teorema di Nyquist dice che se vogliamo descrivere il segnale analogico senza introdurre errori allora dobbiamo campionarlo a una frequenza almeno doppia rispetto alla frequenza massima del segnale: ν c > 2ν max. La frequenza ν Ny = ν c / 2 è detta frequenza di Nyquist Nel nostro caso la frequenza massima è data da ν max = 2 Hz e il segnale è campionato a ν c = 5 Hz, per cui il teorema è marginalmente soddisfatto. La frequenza di Nyquist è ν Ny = 2.5 Hz.

20 Il teorema di Nyquist Il teorema di Nyquist ci suggerisce anche il significato dei picchi a frequenze maggiori di ν Ny È facile notare che la trasformata di Fourier è simmetrica rispetto a ν Ny, per cui i picchi a ν > ν Ny non sono altro che le immagini speculari dei picchi a frequenza inferiore. Lo spettro, pertanto, ha senso rappresentarlo per ν ν Ny moltiplicando per un fattore 2 tutti gli elementi aventi frequenza non nulla.

21 Spettro di ampiezza OK Termine DC di ampiezza 5 1 Hz 2 Hz DC Non OK Non OK Componente a 1 Hz di ampiezza 1.74 Componente a 2 Hz di ampiezza 2.38 Ampiezza non nulla

22 Leakage È un effetto che si ha quando il segnale è poco campionato (anche se viene rispettata la condizione di Nyquist) Si creano delle componenti a frequenze spurie a spese delle componenti effettivamente presenti nel segnale Proviamo ora a effettuare la stessa analisi campionando a 50 Hz, per cui la frequenza di Nyquist (la frequenza massima significativa) è 25 Hz

23 Effetto del campionamento OK OK 1 Hz 2 Hz DC OK

24 Aliasing Cosa succede se campioniamo con una frequenza che non rispetta la condizione di Nyquist? Consideriamo ancora il nostro esempio, effettuando un campionamento a 3.5 Hz (la condizione di Nyquist richiede che ν c > 4 Hz) Appare una componente che non esiste nel segnale originale. È un alias della componente a 2 Hz

25 Aliasing Calcoliamo in dettaglio le caratteristiche di questo fenomeno. Consideriamo una generica componente sinusoidale a frequenza ν campionata a una frequenza ν c. La frequenza di Nyquist è ν Ny = ν c /2 = 1 / (2 δt) Possiamo esprimere la frequenza del segnale come ν = ( p+q)/(2 δt), che possiamo anche scrivere ν = ( p+q) ν Ny. p è un intero e q è un numero frazionario (< 1). È immediato verificare che se p = 0 allora la condizione di Nyquist è soddisfatta. Consideriamo il caso di p 0.

26 Aliasing Calcoliamo in dettaglio le caratteristiche di questo fenomeno. Consideriamo una generica componente sinusoidale a frequenza ν campionata a una frequenza ν c. La frequenza di Nyquist è ν Ny = ν c /2 = 1 / (2 δt) Possiamo esprimere la frequenza del segnale come ν = ( p+q)/(2 δt), che possiamo anche scrivere ν = ( p+q) ν Ny. p è un intero e q è un numero frazionario (< 1). È immediato verificare che se p = 0 allora la condizione di Nyquist è soddisfatta. Consideriamo il caso di p 0.

27 Aliasing Espandiamo la funzione sin(π(p+q)k) = 0 se p è intero Abbiamo che due casi p pari p dispari

28 Aliasing Se p è pari allora cos(π p k) = 1 La frequenza originale ν appare nello spettro alla frequenza q volte la frequenza di Nyquist ν 1, pari a

29 Aliasing Se p è dispari allora cos(π p k) = cos(π k) = (-1) k = 0 perché sin(π k) = 0 Analogamente al caso di p pari si vede che la frequenza originale ν appare nello spettro alla frequenza ν 2 = (1-q) / 2δt = (1 q) ν Ny.

30 Esempio Frequenza di campionamento Frequenza di Nyquist Frequenza più alta del segnale ν s = 3.5 Hz = 7/2 Hz ν Ny = 7/4 Hz ν = 2 Hz da cui risulta evidente che p = 1 e q = 1/7 Poiché p è dispari si ha che la frequenza di 2 Hz la ritroviamo nello spettro a ν 2 = (1 q)ν Ny = = (1-1/7) x 7/4 Hz = 3/2 Hz

31 Esempio Frequenza di campionamento Frequenza di Nyquist Frequenza più alta del segnale ν s = 3.5 Hz = 7/2 Hz ν Ny = 7/4 Hz ν = 2 Hz da cui risulta evidente che p = 1 e q = 1/7 Poiché p è dispari si ha che la frequenza di 2 Hz la ritroviamo nello spettro a ν 2 = (1 q)ν Ny = = (1-1/7) x 7/4 Hz = 3/2 Hz