Laboratorio II, modulo Segnali a tempo discreto (cfr.

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1 Laboratorio II, modulo Segnali a tempo discreto (cfr. e Luise, Vitetta, D Amico Teoria dei segnali analogici)

2 Equazioni di analisi Segnale periodico Segnale aperiodico

3 Equazioni di sintesi Segnale periodico Segnale aperiodico

4 Dal tempo continuo al tempo discreto f c = 1/T Frequenza di campionamento (nel seguito chiameremo T c )

5 Elaborazione di un segnale x(t) A/D DSP y(t) D/A La conversione da analogico a digitale permette il processamento del segnale con un sistema discreto (i.e. un PC, o in generale un Digital Signal Processor, DSP). Può essere necessario/utile, successivamente, convertire di nuovo il segnale in analogico.

6 Dal tempo discreto al tempo continuo bx(t) T T t Figura 15: Ricostruzione mediante interpolazione a mantenimento. bx(t) T T t Figura 1: Ricostruzione mediante interpolazione lineare.

7 Dal tempo continuo al tempo discreto Andiamo a campionare il nostro segnale, x(t):

8 Dal tempo continuo al tempo discreto x(t) 0 T æ t ± T (t) t il segnale campionato è un treno di impulsi le cui ampiezze rappresentano il segnale x(t) agli istanti di campionamento x(0) x(t ) x ± (t)

9 Dal tempo continuo al tempo discreto Andiamo a campionare il nostro segnale, x(t): x(t) ±(t t 0 )=x(t 0 ) ±(t t 0 ) alore del segnale in cui è centrato l im x ± (t) =x(t) ± T (t) = x(t) = +1X n= 1 +1X n= 1 ±(t nt ) x(nt ) ±(t nt )

10 Dal tempo continuo al tempo discreto Andiamo a campionare il nostro segnale, x(t): x s (t) = 1X n= 1 x(nt c ) (t nt c )

11 Dal tempo continuo al tempo discreto x(t) 0 T æ t ± T (t) t il segnale campionato è un treno di impulsi le cui ampiezze rappresentano il segnale x(t) agli istanti di campionamento x(0) x(t ) x ± (t)

12 Dal tempo continuo al tempo discreto Andiamo a campionare il nostro segnale, x(t): x s (t) = 1X x(nt c ) (t nt c ) n= 1 che, nel caso generale, sarà un segnale aperiodico

13 Trasformata di Fourier di una sequenza x(n) N 1 N 2 x p (n) n æ N N 0 n Utilizziamo il solito trucco di periodicizzare i segnali aperiodici

14 Dal tempo continuo al tempo discreto x s (t) = 1X n= 1 x(nt c ) (t nt c ) In analogia con quanto visto per i segnali aperiodici a tempo continuo: avremo, nel caso discreto:

15 Dal tempo continuo al tempo discreto (passaggi) Andiamo a campionare il nostro segnale, x(t): x s (t) = 1X n= 1 x(nt c ) (t nt c ) per le proprietà della trasformata della δ: X s (f) = 1X n= 1 x(nt c )e i2 fnt c F = ft c che è periodica in (frequenza normalizzata alla frequenza di campionamento)

16 Dal tempo continuo al tempo discreto (passaggi) X s (f) = 1X n= 1 x(nt c )e i2 fnt c F = ft c Effettuiamo il cambio di variabile, (frequenza normalizzata alla frequenza di campionamento) e chiamiamo: x[n] =x(nt c ) X(F )=Xs F T c quindi: X s (f) = X(F )= 1X n= 1 x(nt c )e i2 fnt c

17 Dal tempo continuo al tempo discreto Caso continuo: Caso discreto: Inoltre:

18 Dal tempo continuo al tempo discreto o, in altri termini: X X(F + 1) = X(F ) f + 1Tc = X(f) cioè è periodica, con periodo 1/T c : quindi vale l espansione in serie di Fourier: di cui sappiamo come valutare i coefficienti: x[n] =T c Z 1 2Tc 1 2Tc X(f)e i2 nft c df

19 Equazioni di analisi Tempo continuo Tempo discreto

20 Equazioni di sintesi Tempo continuo x[n] =T c Z 1 2Tc 1 2Tc X(f)e i2 nft c df Tempo discreto x[n] = Z X(F )e i2 nf df Tempo discreto (a partire dalla trasformata in F)

21 Trasformata Discreta di Fourier (DFT) purtroppo ancora siamo lontani dalla realtà, in un caso reale: il numero di campioni nel tempo è finito anche le frequenze sono in numero finito e non nel continuo In questo caso si dimostra che: X[k] = 1 N NX 1 x[n]e i2 k n N x[n] = NX 1 X[k]e i2 k n N n=0 k=0

22 La condizione di Nyquist Campionare il segnale è equivalente a moltiplicarlo per un treno di impulsi: x s (t) = 1X x(nt c ) (t nt c ) n= 1 Usando il teorema di prodotto e convoluzione e le proprità della δ: da cui: X s (f) = 1 T c X s (f) =X(f) 1 T c 1 X k= 1 X f 1 X k= 1 k T c f = f c 1 X k T c k= 1 X (f kf c )

23 La condizione di Nyquist X(f) la larghezza del segnale nel dominio delle frequenza è la sua banda (B) a) B 1 X ± (f) 1 T B f a) f c > 2B b) f c = 2B c) f c < 2B b) c) f c B f c B X ± (f) 1 T f c B X ± (f) 1 T B f c f c f f f c B f c f

24 La condizione di Nyquist X s (f) = 1 T c 1 X k= 1 La trasformata di Fourier di una sequenza è la periodicizzazione della trasformata del segnale originale, con una periodicità pari alla frequenza di campionamento f c = 1/T c. Per garantirsi l assenza di aliasing, la frequenza di campionamento deve essere tale che: X f k T c f c = 1 T c 2B dove B è la banda del segnale

25 Aliasing

26 Aliasing

27 Aliasing

28 Trasformata Discreta di Fourier (DFT) Caso reale: il numero di campioni nel tempo è finito anche le frequenze sono in numero finito e non nel continuo X[k] = 1 N NX 1 x[n]e i2 k n N x[n] = NX 1 X[k]e i2 k n N n=0 k=0 Se si acquisisce un segnale per un tempo T p con una frequenza di campionamento f c = 1/T c, in totale si avranno N = T p /T c campioni. Lo spettro di Fourier avrà una risoluzione di f p = 1/T p e la frequenza massima che sarà rappresentata è N*f p, cioè 1/T c = f c (cfr. Nyquist)

29 Trasformata Discreta di Fourier (DFT) Caso reale: il numero di campioni nel tempo è finito anche le frequenze sono in numero finito e non nel continuo X[k] = 1 N NX 1 x[n]e i2 k n N x[n] = NX 1 X[k]e i2 k n N n=0 k=0 Se si acquisisce un segnale per un tempo T p con una frequenza di campionamento f c = 1/T c, in totale si avranno N = T p /T c campioni. Lo spettro di Fourier avrà una risoluzione di f p = 1/T p e la frequenza massima che sarà rappresentata è N*f p, cioè 1/T c = f c (cfr. Nyquist*) *in realtà N/2 elementi della DFT (FFT) sono usati per le frequenze negativi

30 FFT su Labview In Labview è disponibile un blocchetto (subvi) per fare la DFT (in particolare la FFT) e la sua inversa: Spiegazioni e dettagli qui:

31 20 10 campionamento sound format 3278 Power Spectrum su Labview 0.01 interruttore :00: PM MM/DD/YY Frequenza di taglio alta Frequenza di taglio bassa 0 Bandpass t0 dt Y 0 t0 dt Y 1 t0 dt Segnale vs tempo Y 00:00: PM MM/DD/YY 0.02 size(s) Segnale E Spettro di potenza 1E8 Spettro di potenza Segnale vs tempo 1 1E10 1E12 Posizione Frequ error out Bandpass t0 dt Y stop Spettro di potenza Spettro di potenza t0 dt Segnale vs tempo Y Per il power spectrum diverse implementazioni sono possibili: t0 Spettro di potenza dtsegnale vs tempo Y * Amp sa 00:00: PM MM/DD/YY *calcolandolo a mano dai termini della FFT