Frequenza: Hertz e Ordini 1

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1 Frequenza: Hertz e Ordini qi segnali vanno preparati ai ini delle elaborazioni successive. q Siamo nella ase di conversione del segnale analogico in un segnale digitale. q Il processo di digitalizzazione è alla base delle moderne tecniche di trattamento dei segnali. Registratore q Due asi distinte caratterizzano la digitalizzazione: il campionamento la quantizzazione q Il campionamento consiste nel deinire gli istanti di tempo in corrispondenza dei quali i dati devono essere osservati. Trasduttore Ampliicatore Plotter Stampante... Condizionatore di segnale Convertitore A/D Analizzatore q La quantizzazione è la conversione del valore dei dati in una orma numerica. Ferrara Aprile 6 Frequenza: Hertz e Ordini - Media Sincrona

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6 Frequenza: Hertz e Ordini qcampionamento a determinati intervalli di tempo il convertitore A/D legge il valore istantaneo del segnale. q Solitamente il campionamento avviene ad intervalli di tempo regolari. q L intervallo di tempo t c tra due campionamenti successivi è detto intervallo di campionamento. q Il suo inverso S = / t c èdetto requenza di campionamento. q Frequenza di yquist Il teorema di Shannon ci assicura che se il segnale che stiamo campionando ha una banda di requenza limitata superiormente da, allora non si compie errore di ALIASIG. = q ALIASIG -alterazione nella lettura del contenuto in requenza del segnale. S Ferrara Aprile 6 Frequenza: Hertz e Ordini - Media Sincrona

7 Frequenza: Hertz e Ordini 3 qella pratica, dato che non si conosce a priori il contenuto in requenza del segnale da analizzare, ainché sia soddisatto il teorema di Shannon, occorre eliminare dai dati analogici tutte le requenze superiori a S /. q Si usano dei iltri passa-basso (iltri Anti-Aliasing. q La requenza di campionamento è quindi pari a circa.5 volte la requenza di taglio del iltro. S AA.8 =.8 S =. 56 AA q Siccome la unzione di risposta dei iltri presenta sempre una certa pendenza in corrispondenza della requenza di taglio ( AA, si suole porre quest ultima ad un valore pari a circa l 8 % della requenza di yquist. Ferrara Aprile 6 Frequenza: Hertz e Ordini - Media Sincrona 3

8 Spettri: Trasormata di Fourier Trasormata Finita di Fourier Trasormata Discreta di Fourier Registratore Trasduttore Ampliicatore Plotter Stampante... Condizionatore di segnale Convertitore A/D Analizzatore Trasormata DISCRETA di FOURIER Trasormata FIITA di FOURIER Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB

9 Trasormata Finita di Fourier q Trasormata di Fourier i π X = t ( x( t e dt X ( k, T* = q E una unzione della variabile continua q Trasormata Finita di Fourier T* iπ x( t e q E una unzione della variabile discreta k t dt Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB

10 Trasormata Finita di Fourier: Risoluzione dello spettro q Trasormata Finita di Fourier X ( k, T* = T* x( t e iπ t dt q La distanza tra due linee spettrali contigue è la RISOLUZIOE D dello spettro = T * T* periodo di acquisizione Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB 3

11 Trasormata Finita di Fourier: il enomeno del leakage q È importante sottolineare che la risoluzione dipende solo dal periodo di acquisizione T*. q on è detto che il segnale possieda eettivamente una requenza pari a o qualcuno dei suoi multipli. = T * q ello spettro si addensano linee attorno alla requenza del eettiva del segnale. q Si parla di leakage (dispersione. Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB 4

12 Trasormata Finita di Fourier: le Finestre q Per diminuire la dispersione si utilizzano le cosiddette inestre: prima di calcolare la Trasormata di Fourier, si moltiplica il segnale x(t per una opportuna unzione w(t. x w ( t = x( t w( t [ x ( t ] F[ x( t w( t ] = F w = X ( g W ( g dg Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB 5

13 Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB 6 Trasormata DISCRETA di Fourier (DFT q Trasormata di Fourier q Trasormata inversa di Fourier = dt e t x X t i π ( ( = d e X t x t i π ( ( = = ( ( n n k i e n x k X π = = ( ( n n k i e k X n x π q Trasormata DISCRETA di Fourier q Trasormata inversa DISCRETA di Fourier

14 Trasormata DISCRETA di Fourier (DFT q Trasormata DISCRETA di Fourier X ( k = n= x( n e iπ k n q La RISOLUZIOE D dello spettro = T * = t S = S T* periodo di acquisizione t S S intervallo di campionamento requenza di campionamento numero di punti (potenza di FAST FOURIER TRASFORM (FFT Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB 7

15 FFT in MATLAB Trasormata Diretta X=t(x Trasormata Inversa X=it(x ESEMPIO x ( t = x A cos( t m + π T* periodo di osservazione = s numero di punti = 6 x m = 3 = Hz A = 5 Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB 8

16 x(t = k / /+ /+ =6 x ( t = x A cos( t m + π x m = 3 = Hz A = 5 Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB 9

17 k X(k = /d 48. X ( k = = x( n e iπ k n 4 n / /- /+ -/ /+ -(/ IDICI Il primo valor medio da a / (/- requenze positive da /+ a (/- requenze negative Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB

18 k X(k = /d X(/d = 48. -/ -(/- 4-4 / - /+ 48. /+ 4 4 /- Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB

19 =[:/-]*d plot(,abs(x (:/- X=t(x plot(abs(x =[-/:/-]*d plot(,abs(tshit(x k / /+ /+ /d -/ -(/- - - /- Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB

20 k / /+ /+ X(k = X(k = x ( t = x A cos( t m + π X=t(x plot(abs(x X=t(x X=X*/ X(=X(/ plot(abs(x x m = 3 = Hz A = 5 Ferrara Aprile 6 FFT e PSD in MATLAB 3