Lezione 5: Processi Stocastici - Analisi in frequenza

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1 ELABORAZIONE dei SEGNALI nei SISTEMI di CONTROLLO Lezione 5: Processi Stocastici - Analisi in frequenza Motivazioni Spettro e densità spettrale TD Proprietà formali Esempi Trasformata inversa Spettro e densità spettrale TC Proprietà formali Esempi Teorema del campionamento 5-1

2 Motivazioni Come per i segnali deterministici, anche per i processi stocastici è opportuno disporre di strumenti matematici per caratterizzarne il comportamento in frequenza, cioè descrivere le sue realizzazioni in termini di sinusoidi. Questa analisi riguarderà ovviamente solo i processi stazionari. Si baserà sulla trasformata di Fourier. Non si dovranno analizzare le singole realizzazioni, ma il comportamento medio dell insieme delle realizzazioni. Nell analisi dovremo formalmente distinguere i processi TC dai processi TD 5-2

3 Processi TD: spettro e densità spettrale Sia X(k) = X(t = kt c ) un processo stazionario a dati campionati con funzione di covarianza R x (k), k = 0. ± 1, ±2,.... Si definiscono allora le funzioni: Spettro Densità spettrale di potenza Φ x (z) = + k= R x (k)z k (1) φ x (ω) = Φ x (z = e jω ) = + k= R x (k) e jωk (2) Le funzioni Φ x (z) e φ x (ω) sono rispettivamente la Trasformata Zeta e la Trasformata di Fourier della successione bilaterale R x (k). Queste funzioni esistono (tecnicamente: la serie di potenze converge) a patto che R x (k) vada a zero abbastanza rapidamente al crescere di k. La variabile ω è detta pulsazione normalizzata e si misura in radianti. La pulsazione effettiva, in rad/s, è ω r = ω T c dove T c è il periodo di campionamento. 5-3

4 Proprietà formali Simmetria Φ(z) = Φ(z 1 ), φ(ω) = φ( ω) (3) Positività φ(ω) 0, ω (4) Periodicità φ(ω) = φ(ω + 2kπ), k = 0, ±1, ±2,... (5) È pertanto sufficiente definire la] densità spettrale per ω appartenente all intervallo [0, π], o equivalentemente per ω r [0, πtc. 5-4

5 Esempi Processo esponenzialmente correlato a dati campionati: R(k) = R(0)ρ k, ρ < 1 Φ(z) = R(0) φ(ω) = R(0) (1 ρ 2 ) (1 ρz)(1 ρz 1 ) (1 ρ 2 ) 1 + ρ 2 2ρcos(ω) (la serie converge per ρ < z < ρ 1 ) (densità spettrale continua) (6) Sinusoide con fase casuale: R(k) = A2 2 cos(kω 0) Φ(z) non definito in quanto la serie non converge φ(ω) = A2 4 [δ(ω ω 0) + δ(ω + ω 0 )] (densità spettrale a righe) (7) 5-5

6 Anti trasformate Dato lo spettro o la densità spettrale, si può ricavare la funzione di covarianza tramite la trasformata di Fourier inversa: R(k) = 1 2πj Φ(z)z k 1 dz (8) In particolare R(k) = 1 2π π R(0) = 1 2π π π φ(ω)e jkω dω (9) π φ(ω)dω (10) La prima formula è particolarmente utile nel caso in cui lo spettro sia una funzone razionale. Si puo usare il teorema dei residui per calcolare in maniera algebrica la funzione di covarianza. 5-6

7 Processi TC: spettro e densità spettrale Sia X(t)) un processo stazionario TC con funzione di covarianza R x (τ). Si definiscono allora le funzioni: Spettro Φ x (s) = R(τ)e sτ dτ (11) Densità spettrale di potenza φ x (ω) = Φ x (s = jω) = R(τ)e jωτ dτ (12) Le funzioni Φ x (s) e φ x (ω) sono rispettivamente la Trasformata di Laplace e la Trasformata di Fourier della funzione R x (τ). Queste funzioni esistono (tecnicamente: l integrale converge) a patto che R(τ) vada a zero abbastanza rapidamente al crescere di τ. 5-7

8 Proprietà formali Simmetria Φ(s) = Φ( s), φ(ω) = φ( ω) (13) Positività φ(ω) 0, ω (14) Dato lo spettro o la densità spettrale TC, si può ricavare la funzione di covarianza tramite la trasformata di Fourier inversa: R(τ) = 1 2πj s=jω Φ(s)e sτ ds (15) In particolare R(τ) = 1 2π R(0) = 1 2π + + φ(ω)e jωτ dω (16) φ(ω)dω (17) 5-8

9 Esempi Processo esponenzialmente correlato TC R(τ) = R(0) e τ /θ Φ(s) = R(0) 2θ (1 θs)(1 + θs) (l integrale converge per 1/θ < Re(s) < 1/θ) φ(ω) = R(0) 2θ 1 + θ 2 ω 2 (densità spettrale continua) (18) Sinusoide con fase casuale TC: R(τ) = A2 2 cos(ω 0τ) Φ(s) non definito poiché l integrale non converge φ(ω) = A2 4 [δ(ω ω 0) + δ(ω + ω 0 )] (densità spettrale a righe) (19) 5-9

10 Teorema del campionamento φ(ω): densità spettrale del processo TC φ c (ω): densità spettrale del processo ottenuto per campionamento; T c passo di campionamento. Teorema φ c (ω) = k= φ(ω + kω c ), ω c = 2π T c (20) Problema: sotto quali condizioni la densità spettrale del processo campionato riproduce fedelmente la densità spettrale del processo TC nella banda base, cioè nell intervallo di pulsazioni [ ω c /2, ω c /2]. Soluzione: bisogna evitare che, in banda base, lo spettro TC si sovrapponga (aliasing). Il passo di campionamento deve essere sufficentemente piccolo rispetto alla banda passante del processo. 5-10