Esercitazione ENS su processi casuali (13 e 14 Maggio 2008)

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1 Esercitazione ES su processi casuali ( e 4 Maggio 2008) D. Donno Esercizio : Calcolo di autovalori e autovettori Si consideri un processo x n somma di un segnale e un disturbo: x n = Ae π 2 n + w n, n = 0,, 2 dove A è una variabile casuale con E [ A 2] =. Il disturbo w n è bianco, complesso, di potenza pari a 0. (w n C(0; 0.)) ed è indipendente dal segnale. a) Si calcoli la matrice di covarianza R del processo x n. b) Si calcolino gli autovalori e gli autovettori della matrice di covarianza R. Soluzione a) Usando una notazione vettoriale per i segnali, posso esprimere il processo x n come x = la cui matrice di covarianza risulta: x = A + w w 2 w = Aa + w R = E[xx ] = E[(Aa + w) (A a + w )] = E[ A 2 ]aa + E[ww ] = R a + R w =. = E[ A 2 ] + σwi 2 =.. si noti la simmetria Hermitiana. b) Ora calcolo autovalori e autovettori della matrice di covarianza. Per gli autovalori, impongo det(λi R) = 0, e cioè: λ. det λ. = 0 = (λ 0.) 2 (λ.) = 0 λ. Quindi, gli autovalori della matrice di covarianza R sono: λ = {0., 0.,.}. Si noti che gli autovalori della matrice di covarianza R possono anche essere calcolati come somma degli autovalori della matrice di covarianza del segnale R a e gli autovalori della matrice di covarianza del rumore R w. Infatti, noto subito che gli autovalori della matrice di covarianza del rumore R w (è già diagonale) sono λ w = {0., 0., 0.}, e facendo i calcoli troverei che gli autovalori della matrice di covarianza del segnale R a sono: λ a = {0, 0, }, da cui sommando troverei che λ = λ a + λ w = {0., 0.,.}. Adesso calcolo gli autovettori associati a questi autovalori. Per λ =. risolvo il sistema: 2 e (R.I) e = 0 = 2 e 2 = 0 2 e

2 Il sistema ha un grado di libertà, per cui posso scegliere ad esempio e =, da cui sostituendo nel sistema e risolvendo trovo {e = ; e 2 = ; e = }. L autovettore e relativo all autovalore λ =. è: e = λ =. Si noti il termine di normalizzazione /, in modo che l autovettore risulti essere a norma unitaria. Per gli autovalori λ 2, = 0. risolvo: e (R 0.I) e = 0 = e 2 = 0 e Si noti che le tre righe del sistema sono combinazioni lineari di una sola riga, quindi il sistema ha due gradi di libertà. Ad esempio, se considero l equazione e = e 2 + e, mi accorgo che le altre due equazioni sono combinazioni lineari di quest ultima. Per l autovalore λ 2 = 0. scelgo, ad esempio, (e 2 = ; e = ), da cui trovo e = 0. L autovettore e 2 relativo all autovalore λ 2 = 0. è: e 2 = 2 0 λ 2 = 0. Per l autovalore λ = 0. scelgo, ad esempio, (e 2 = ; e = ), da cui trovo e = 2. L autovettore e relativo all autovalore λ = 0. è: e = 2 λ = Esercizio 2: Matrici di covarianza di trasformate Si consideri un processo y n ottenuto convolvendo circolarmente un processo x n gaussiano bianco di potenza unitaria (σ 2 x = ) con una sequenza {,, 0, 0} di periodo =4. a) Si determini la matrice di covarianza 4 4 del processo y n. b) Si determinino gli autovalori e autovettori della matrice di covarianza di y n. c) Si determini la densità spettrale di potenza di y n e la stima della potenza di y n. Soluzione a) La sequenza X di quattro campioni casuali, a valor medio nullo e varianza unitaria si può indicare in notazione matriciale come: x = x x ; E [xx ] = R x = = I Convolviamo periodicamente x con il filtro h n = {h 0, h, h 2, h } = {,, 0, 0} ed otteniamo il vettore y le cui componenti sono: y n = h k x n k = h 0 x n + h x n ;, n = 0,...; 2

3 Per la ciclicità, so che x = x. In termini matriciali si ha: y 0 y = y y 2 = x y x h h h h h h h h 0 = x x = hx Calcoliamo ora R y, la matrice di covarianza di y, circolante per la ciclicità della convoluzione: R y = E [ yy ] = hr x h = come si potrebbe ottenere direttamente dalla funzione di autocorrelazione della sequenza {y n }. Si noti che la matrice R y è di Toeplitz. Il filtraggio passa - basso fatto con la convoluzione con il filtro h n comporta uno zero alla frequenza di yquist. b) É peraltro evidente che la matrice R y ha un autovalore nullo e l autovettore corrispondente è la sinusoide alla frequenza di yquist. R y = 0 Per calcolare gli autovalori ed autovettori di R y, si puo ricorrere alla trasformazione di Fourier discreta che diagonalizza la matrice. Indicando con Y il vettore relativo alla trasformata discreta di Fourier di y, con H quello corrispondente a h, e con R Y la matrice di autocovarianza di Y: Y = Wy; H = Wh = [H 0, H, H 2, H ] ; W = La matrice di autocovarianza di Y risulta essere: R Y = E [YY ] = WR y W = σ H H H H 2 = La matrice R y è diagonalizzata dalla trasformazione di Fourier poichè: y = W Y W = W R y = W R Y W = W R Y W Gli autovettori normalizzati della matrice R y sono appunto le sinusoidi (le righe o le colonne della matrice W) che devono avere ampiezza / per essere ortonormali. Pertanto gli autovalori della matrice R y sono proprio gli elementi della matrice R Y / (il periodogramma) ed in questo caso: [4, 2, 0, 2]

4 Infatti: c) La stima della potenza di y n è pari a: P y = /2 /2 /2 /2 = 4 = 2 S y (k) dove S y (k) è la densità spettrale di potenza per la sequenza y n, con S y (k) = E ( Y k 2) /2 /2 /2 /2 dove Y k è la trasformata di Fourier discreta di y n. I termini E ( Y k 2) sono i termini sulla diagonale della matrice di covarianza R Y di Y. Infatti: R Y = E [YY ] = E( Y 0 2 ) E( Y 2 ) E( Y 2 2 ) E( Y 2 ) = da cui ricavo S y (k) = E ( Y k 2) La stima della potenza di y n è quindi pari a: = diag (R Y) = {4, 2, 0, 2}. P y = 4 S y (k) = = 2. Esercizio : Matrice di covarianza e sua inversa Si consideri il processo y n = {y 0,..., y } con = ottenuto convolvendo circolarmente x n con il filtro h n con periodo =, con x n (0, σx), 2 σ =, h n = {h 0, h, h 2 } = {,, 0}. a) Si determini la matrice di covarianza R y della sequenza filtrata y n, e calcolarne gli autovalori. b) Si calcoli l inversa della matrice di covarianza R y. Poi si calcolino gli autovalori della matrice di covarianza inversa R y Soluzione e si analizzi la struttura di R y in relazione a quella di R y. 4

5 a) Come fatto nell esercizio precedente, essendo x n bianco, la sua matrice di covarianza è R x = σ 2 xi = I. Poi convolvo circolarmente la sequenza bianca x = [, x, ] T con il filtro h n e ottengo il vettore y: y = y 0 y y 2 = x = hx la matrice di covarianza di y è: R y = E [ yy T ] = hr x h T = Come visto nell esercizio precedente, per avere gli altri autovalori ed autovettori di R y si puo ricorrere alla trasformazione di Fourier discreta che diagonalizza la matrice. La matrice di covarianza di Y (trasformata di Fourier discreta di y) è: R Y = E [ YY T ] = W H R y W = σx 2 H H H 2 2 = Gli autovalori della matrice R y sono gli elementi della diagonale della matrice R Y /: λ R = {4,, }. = b) L inversa della matrice R y è: R y = , e gli autovalori sono λ Rinv = {0.25,, }. Si noti che la matrice R y è di Toeplitz (così come lo era pure R y ). Inoltre si noti che gli autovalori della matrice inversa λ Rinv sono il reciproco degli autovalori λ R della matrice R y. Sempre dall esercizio precedente, sappiamo anche che gli autovalori della matrice R y sono i valori della densità spettrale di potenza della sequenza filtrata y n (avendo segnale d ingresso x n bianco): λ R = { H 0 2, H 2, H 2 2 }. Andiamo ora ad analizzare la struttura della matrice R y. Si consideri un filtro g n che sbianchi il filtro h n. Si abbia cioè dove G k = H k = G k 2 = H k 2, {h n } H k ; {g n } G k indicando con la doppia freccia la corrispondenza indotta dalla trasformazione di Fourier. Ora ricavo il filtro g n a partire da h n = {,, 0}. La trasformata di Fourier discreta di h n è Da cui ricavo G k : H k = n=0 h n W nk = 2 n=0 h n e 2π nk = {H 0, H, H 2 } = {2, 2 2 i, i} G k = = {G 0, G, G 2 } = { H k 2, i, 2 2 i} 5

6 e infine, antitrasformando, g n = G k W nk = 2 G k e 2π nk = {g 0, g, g 2 } = { 2, 2, 2 } = 2 ( )n Suppongo ora di voler convolvere circolarmente la sequenza d ingresso x n con il filtro g n. La nuova sequenza filtrata è z n = x n g n. In termini matriciali: z = gx = g 0 g 2 g g g 0 g 2 g 2 g g 0 x = 2 x e la matrice di covarianza di z è: R z = E [ zz T ] = gr x g T = Ricorrendo di nuovo alla trasformata di Fourier, trovo che gli autovalori di R z sono i valori della densità spettrale di potenza della sequenza filtrata z n : λ z = { G 0 2, G 2, G 2 2 } = {0.25,, }. Quindi la matrice di covarianza inversa R y (con R y relativo alla sequenza filtrata y n = x n h n ) equivale alla matrice di covarianza R z relativa al processo z n = x n g n, dove g n è il filtro che sbianca h n (tale che G k = H k ). Inoltre, gli autovalori di R y sono λ R = { H 0 2, H 2, H 2 2 }, e gli autovalori della sua inversa R y sono λ Rinv = { G 0 2, G 2, G 2 2 } = { H 0, 2 H, 2 H 2 }. 2 Si noti che la caratteristica di fase del filtro g n può essere qualsiasi, basta che il modulo della trasformata di g n sia il reciproco del modulo della trasformata di h n ( G k = H k ). Si trascuri il fatto che il filtro inverso (e quindi la sua autocorrelazione) sarà di lunghezza infinita. 6

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