Corso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori

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1 Esercizio 1 Corso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori May 7, 21 Commenti e correzioni sono benvenuti. Mi scuso se ci fosse qualche errore banale di calcolo, nonché per l italiano non proprio manzoniano. Nota: ho utilizzato come definizio/notazione di polinomio caratteristico di una matrice M il polinomio Det(λ M), piuttosto che detm λ. Si trovino gli autovalori ed i corrispondenti autovettori della matrice 2 3 A := Soluzione Cerchiamo prima gli autovalori di A. Il polinomio caratteristico di A è λ 2 3 Det(λ1 A) = Det 1 λ (.1) 1 1 λ 1 Sviluppando il determinante lungo la terza colonna 1 si ha ( [ ]) λ 2 3 Det(λ1 A) = (λ 1) Det = (λ 1)((λ 2)λ 3) = 1 λ 1 C est plus facile... (λ 1)(λ 2 2λ 3) = (λ 1)(λ + 1)(λ 3). 1

2 Quindi il polinomio caratteristico ha tre radici distinte, (λ 1 = 1,λ 2 = 1,λ 3 = 3), e dunque queste tre radici sono autovalori. Dobbiamo ora determinare gli autovettori pertinenti ai tre autovalori, cioè, per i = 1, 2, 3 fissati dobbiamo trovare i vettori Ψ i che soddisfino AΨ i = λ i Ψ i, o, in modo equivalente, (λ i 1 A)Ψ i =. 1. i = 1,λ 1 = 1. Dobbiamo considerare il nucleo della matrice 1 A, ovvero trovare i vettori (non nulli) Ψ 1 = (x,y,z) che soddisfino (sostituendo λ = 1 nella equazione (.1)), x y z =. (.2) In altre parole, dobbiamo risolvere, nelle tre variabili x,y,z, il sistema x + 3y = x + y = (.3) x + y = Le soluzioni di questo sistema sono: (x =,y =,z = qualsiasi), e dunque gli autovettori di A relativi all autovalore λ = 1 sono: Ψ 1 =, z. z Note: i) Notando che, per esempio, la prima riga della matrice qui sopra è 2 volte la terza più la seconda, ci si può ridurre, in luogo di (.3), a considerare il sistema di due equazioni { x + y = x + y = (Ovviamente, le soluzioni sono le stesse). In generale, però, è meglio tenersi le tre equazioni; infatti, se per caso avessimo sbagliato a calcolare il polinomio caratteristico di A e/o le sue radici, tenendo le tre equazioni ci accorgeremmo, (o, almeno, dovremmo accorgerci), che il sistema analogo al (.3) con λ non autovalore, ha solo la soluzione banale x =,y =,z = ). Peraltro, come si vedrà, in questo esercizio sarà facile vedere quale riga eliminare. ii) Che (,,z) sia un autovettore di A relativo all autovalore 1 dovrebbe essere lampante guardando la forma della matrice A. 2

3 2. i = 2,λ 2 = 1. In questo caso dobbiamo cercare il nucleo della matrice A = In questo caso, la prima riga è 3 volte la seconda, quindi ci si può limitare a risolvere il sistema di due equazioni in tre variabili { x y = x y 2z = La soluzione generale di questo sistema è data dalle terne (x,x, ), e dunque la famiglia di autovettori Ψ 2 relativi all autovalore λ 2 = 1 è x Ψ 2 = x x. 3. i = 3,λ 3 = 3. In questo caso ho (31 A) = Il sistema da risolvere è, dunque, { x + 3y = x y + 2z = Sottraendo le due equazioni trovo 4y 2z = z = 2y; sostituendo questo nella terza equazione ho x y + 4y = }{{} =3 y da cui trovo che la soluzione genrale è data dalle terne ( 3y,y, 2y). Dunque, l autovettore Ψ 3 è 3y Ψ 3 = y 2y y.. 3

4 1 Esercizio 2 Si trovino gli autovalori ed i corrispondenti autovettori della matrice A := Soluzione Sviluppando il determinante di λ A (per esempio, lungo la prima riga, ma non ci sono differenze significative tra le varie scelte possibili) si ottiene det(λ A) = λ 3 6λ λ 6 = Da qui si osseva che λ 1 = 1 è una radice. Si osserva poi (con Ruffini, ad esempio) che det(λ A) = (λ 1)(λ 2 5λ + 6) = (λ 1)(λ 2)(λ 3). Dunque gli autovalori di A sono 1, 2, 3. Calcoliamo gli autovettori relativi a λ 1 = 1. Dobbiamo risolvere x x 3 1 y = y, z z ovvero il sistema lineare 3x + y + z = 3x y z = x y + z = Osserviamo che le prime due equazioni sono coincidenti, e quindi possiamo risolvere (nelle 3 variabili (x, y, z)) il sistema ridotto formato dalle ultime due equazioni (che sono, come si vede, indipendenti), i. e.: { 3x y z = x y + z = Dalla seconda abbiamo z = x + y (1.1) 4

5 sostituendo nella primasi trova 3x y (x + y) = che dà y = 2x. Risostituendo nella (1.1) si ha infine z = x + ( 2x) = x. Dunque gli autovettori relativi all autovalore λ 1 = 1 sono dati dalla famiglia = x (1, 2, 1), x Con calcoli analoghi si vede che gli autovettori relativi a λ 2 e λ 3 sono, rispettivamente, = x (1, 1, 1), e = x (1, 1, ) Esercizio 3 Si consideri la matrice M = (1.2) Se ne calcolino gli autovalori, e si determini l autospazio (cioè la famiglia ad un paramentro di autovettori) relativo all unico autovalore intero di M. Soluzione Il determinante di λ M, cioè il polinomio caratteristico di M è: λ 3 2 Det(λ M) = Det 2 λ 1 2 = λ3 3λ 2 9λ λ + 1 Non è difficile notare che λ 1 = 1 è una radice del polinomio caratteristico (i coefficienti di Det(λ M) sommano a zero). Utilizzando, ad esempio, la regola di Ruffini, otteniamo la fattorizzazione Det(λ M) = (λ 1) ( λ 2 2λ 11 ). Il discriminante del fattore di secondo grado di questa espressione è = = 48 = 2 4 3, e le radici corrispondenti non sono numeri interi (λ ± = 1 ± 2 3). Dunque la radice intera cercata è λ = 1. 5

6 Per finire l esercizio dobbiamo calcolare l autovettore relativo a λ = 1, ovvero trovare (almeno un) vettore non nullo ψ che soddisfi Detto Mψ = ψ. ψ = dovremo risolvere il sistema lineare ovvero , = = Prendendo come equazioni indipendenti di quest ultimo sistema le prime due si ha { 2ψ1 + 2 = 2 = 2 da cui l autovettore cercato si può scrivere nella forma parametrica 1 ψ = 1. 1,. 6