1.1 Classicazione dei Segnali Segnali periodi e non periodici Un segnale x(t) è denito periodico se esiste una costante T > 0 per cui

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1 1 Sistemi e Segnali Utilizziamo il termine sistema per descrivere un set di elementi o di blocchi funzionali che vengono connessi insieme in modo tale da poter raggiungere un determinato obbiettivo. Nei sistemi di telecomunicazione l'obbiettivo è il trasferimento delle informazioni. Il sistema risponde ad un segnale che appare al suo ingresso. Per i nostri scopi, deniamo un segnale come funzione ordinaria del tempo. Il valore del segnale in un dato istante potrà essere reale o complesso. I segnali che osserviamo sicamente, tramite strumenti come voltmetri, amperometri, oscilloscopi, ecc..., sono segnali che presentano valori reali. Comunque spesso useremo la notazione complessa per trattare segnali con valori reali in quanto alcuni modelli matematici ed alcuni calcoli vengono in qualche modo semplicati ricorrendo ad una notazione complessa. 1.1 Classicazione dei Segnali Segnali deterministici e segnali casuali. Nei sistemi di comunicazione incontreremo due grosse categorie di segnali deniti come segnali deterministici e casuali. I primi (determinisctici) possono essere modellizzati tramite espressioni matematiche esplicite. Un segnale del tipo, ad esempio, x(t) = 5sin0t è un segnale deterministico. Un segnale casuale è un segnale per il quale c'è un certo grado di incertezza sul fatto che accada. Un esempio di segnale casuale è l'uscita di una radio sintonizzata su una determinata frequenza alla quale non vi siano rtasmissioni: il ricevitore risponderà con un rumore derivante da disturbi atmosferici e dalla circuiteria interna Segnali periodi e non periodici Un segnale x(t) è denito periodico se esiste una costante T > 0 per cui x(t) = x(t + T ), < t < Il più piccolo valore di T > 0 che soddisfa l'equazione precedente viene denito periodo del segnale. Un segnale per il quale non esiste un valore di T che soddis quella equazione prende il nome di segnale aperiodico o di segnale non periodico. 1

2 1.1.3 Energia e potenza dei segnali Se un segnale x(t) è la caduta di tensione ai capi di un resistore da 1 Ohm, allora il valore istantaneo della sua potenza è x(t). Il modulo al quadrato è qui usato per la possibilità che x(t) sia un segnale complesso. L'energia dissipata nell'intervallo di tempo ( T, T ) è data da: E T x = T x(t) dt e la potenza media dissipata dal segnale durante l'intervallo è S T x = 1 T T x(t) dt deniamo x(t) come energia del segnale se e solo se 0 < E x <, in cui E x = lim T T x(t) dt deniamo x(t) come potenza del segnale se e solo se 0 < S x <, in cui 1 S x = lim T T T x(t) dt Segnali impulsivi Esiste una classe di segnali descritti da funzioni singolari che gioca un ruolo molto importante nerll'analisi dei segnali. Le funzioni singolari, dette anche funzioni generalizzate o distribuzioni sono astrazioni matematiche che non esistono in sistemi sici. In ogni caso sono utili nell'approssimare alcune condizioni limite nei sistemi reali. Una funzione singolare usata frequentemente per l'analisi dei segnali in sistemi di comunicazione è l'impulso unitario o funzione delta di Dirac δ (t). L'impulso unitario δ (t)non è una funzione matematicamente in senso stretto e viene normalmente denita tramite un integrale. In modo più specico, se x(t) è una funzione continua all'istante t = t 0 allora δ (t t 0 ) è denita da:

3 ˆ b a x (t) δ (t t 0 ) dt = { x (t 0 ) se a < t 0 < b 0 altrove Questa funzione, così come è stata appena denita, ha le seguenti proprietà: δ (t) dt = 1 { δ (t) = 0 per t 0 δ (t) non è denita per t=0 δ (at) = 1 a δ (t), a 0 δ (t) = d [u (t)] dt in cui u(t) è la funzione gradino denita come: { 1 per t > 0 u (t) = 0 per t < 0 Molte funzioni convenzionali approssimano δ (t) al limite. Ad esempio [ ( 1 t lim u a 0 a a + 1 ) ( t u a 1 )] = δ (t) 1 lim ɛ 0 πt sinπt ɛ = δ (t) ˆ B lim exp (±jπft) df = δ (t) B B Possiamo trattare la δ (t)come funzione ordinaria a condizione che tutte le conclusioni siano basate sulle proprietà di integrazione di δ (t) indicate { b nell'equazione x (t) δ (t t x (t 0 ) se a < t 0 < b a 0) dt = 0 altrove 3

4 1.1.5 Classicazione dei sistemi Matematicamente un sistema è una relazione funzionale fra l'ingresso x (t)e l'uscita y (t). Possiamo scrivere la relazione fra ingresso ed uscita come y (t 0 ) = f [x (t) ; < t < ] ; < t 0 < basandoci sulle proprietà di questa relazione, possiamo classicare i sistemi come segue: Sistemi lineari e non lineari. Un sistema viene denito lineare quando è applicabile il Principio di Sovrapposizione degli Eetti [P.S.E.], ovvero se y 1 (t) = f [x 1 (t)] y (t) = f [x (t)] quindi, per un sistema lineare, f [a 1 x 1 (t) + a x (t)] = a 1 y 1 (t) + a y (t) Viceversa, ogni sistema in cui non sia applicabile il P.S.E. viene denito sistema non lineare. Sistemi Tempo-Varianti e Tempo-Invarianti. Un sistema viene denito essere tempo-invariante se ad uno spostamento temporale in ingresso corrisponde uno spostamento temporale in uscita in modo che, se allora y (t) = f [x (t)] y (t t 0 ) = f [x (t t 0 )] ; < t, t 0 < Un sistema che non soddis questa condizione viene denito tempo-variante 4

5 Sistemi Causali e Non Causali Un sistema causale (o sico) è un sistema la cui risposta non ha inizio prima che venga applicata una funzione in ingresso. Detto in altre parole, il valore dell'uscita all'istante t = t 0 dipende esclusivamente dai valori dell'ingresso x (t) per t t 0 ovvero y (t 0 ) = f [x (t) ; t t 0 ] ; < t, t 0 < I sistemi non causali non soddisfano la precedente relazione. Non esistono nel mondo reale ma possono essere approssimati utilizzando un ritardo di tempo. La classicazione dei sistemi e dei segnali data in queste righe ci aiuterà a trovare un modello matematico opportuno al ne di analizzare un dato sistema. 1. Rappresentazione dei segnali mediante la serie di Fourier Il tecnico di un sistema di comunicazioni spesso si occupa della posizione del segnale nel dominio della frequenza e della sua banda piuttosto che dell'analisi transitoria. Così, saremo interessati all'analisi stato stazionario per la gran parte del tempo. La serie di Fourier fornisce un modello nel dominio della frequenza per segnali periodici utile per analizzare il loro contenuto in frequenza e per calcolare la risposta a regime di reti con ingresso periodico. Segnali aventi energia nita in un intervallo nito e segnali che periodici con energia nita, entro ciascun periodo, possono essere entrambi rappresentati dalla serie di Fourier Serie Complessa Esponenziale di Fourier Un segnale x (t) avente energia nita nell'intervallo di tempo (t 1, t ) può essere rappresentato per valori di t pressocché ovunque nell'intervallo (t 1, t ) tramite una somma di esponenziali complessi della forma x (t) = C x (nf 0 ) exp (jπnf 0 t), t 1 < t < t ; j = 1, f 0 = 1 t t 1 in cui exp (y) indica e y. I coecienti dello sviluppo in serie sono dati da: 5

6 C x (nf 0 ) = 1 ˆ t x (t) exp ( jπnf 0 t) dt t t 1 t 1 Queste equazioni ci dicono che un segnale denito in un intervallo di tempo di ampiezza T 0 = t t 1 può essere espanso utilizzando solo quelle componenti di frequenza che sono multipli interi della frequenza fondamentale f 0 = 1 T 0. I coecienti C x (nf 0 ) sono numeri complessi e vengono chiamati componenti spettrali di x (t). Le frequenze nf 0 per n prendono il nome di frequenze armoniche o, più brevemente, di armoniche. Se x(t) è continua a tratti, allora la serie (sommatoria) data in equazione converge a x(t) ovunque questa sia nita e continua. Siccome tutti i segnali sici sono niti e continui (anche se, talvolta, i loro modelli matematici non lo sono), vedremo che la serie sarà identica nell'intervallo (t 1, t ). Al di fuori di questo intervallo la funzione e la sua serie di Fourier non devono essere uguali. Ed ancora, se x(t) ha una discontinuità nita in t = t 0, t 0 (t 1, t ), allora la serie di Fourier converge alla media aritmetica dei valori della funzione su entrambi i lati della discontinuità; in altri termini la serie converge a: x (t 0 ɛ) + x (t 0 + ɛ) lim ɛ 0 Sebbene la serie di Fourier possa essere utilizzata per rappresentare qualsiasi funzione ad energia nita in un intervallo nito (t 1, t ), è un modello particolarmente utile per segnali periodici ad energia nita in ogni periodo. 1.. Rappresentazione in Serie di Fourier di Segnali Periodici Un segnale di potenza x (t) periodico di periodo T 0 può essere rappresentato da una serie esponenziale di Fourier della forma: in cui e x (t) = C x (nf 0 ) exp (jπnf 0 t), C x (nf 0 ) = 1 T 0 0 < t < T 0 x (t) exp ( jπnf 0 t) dt f 0 = 1 T 0 6

7 Si noti che questa serie ha la stessa forma della precedente se sostituiamo t 1 = T 0, t = T 0. La dierenza fondamentale è che la serie a paragrafo 1..1 è valida per t (t 1, t ) mentre quella precedente è valida per ogni t. Questa proprietà è dovuta alla periodicità di x(t). Riportiamo di seguito qualche impor- Proprietà della Serie di Fourier tante proprietà della Serie di Fuorier: Se x(t) è reale, allora C x (nf 0 ) = C x ( nf 0 ) in cui l'asterisco indica il complesso coniugato. Se un segnale x(t) a valori reali presenta simmetria in funzione del tempo sia pari (x (t) = x ( t)) sia dispari (x (t) = x ( t)), allora I {C x (nf 0 )} = 0 se pari R {C x (nf 0 )} = 0 se dispari Per x(t) reale o complesso vale il Teorema di Parseval: 1 T 0 0 T 0 x (t) dt = C x (nf 0 ) Un segnale x(t) a valori reali può essere rappresentato da una serie trigonometrica di Fourier della forma x (t) = A 0 + A n cos πnf 0 t + n=1 B n sin πnf 0 t I coecienti di questa serie sono reali e sono legati ai coecienti della serie complessa esponenziale di x(t) da n=1 in cui C x (nf 0 ) = A n + Bn exp ( jφ n ), n = 1,, 3,... φ n = arctan ( Bn A n ), n = 1,, 3,... 7

8 Spettro di Segnali Periodici. I coecienti della serie di Fourier di un segnale vengono visualizzati in due graci nel dominio della frequenza, uno mostra l'ampiezza delle componenti spettrali in funzione della frequenza e l'altro mostra gli angoli di fase in funzione della frequenza. Questi due graci vengono chiamati, rispettivamente, spettro d'ampiezza e spettro di fase. Talvolta prendono anche il nome di righe spettrali. Un altro graco spesso usato nell'analisi nel dominio della frequenza è la densità spettrale di potenza (psd) G x (f) del segnale x(t). Il teorema di Parseval per segnali di potenza periodici asserisce che lim T 1 T T x (t) dt = C x (nf 0 ) Il termine a sinistra della precedente equazione rappresenta la potenza media normalizzata del segnale e C x (nf 0 ) è la distribuzione spettrale di potenza. Ora, se poniamo che la funzione densità spettrale di potenza G x (f) sia una funzione reale, pari e non negativa della frequenza che dà la distribuzione di potenza nel dominio della frequenza, allora abbiamo G x (f) = C x (nf 0 ) δ (f nf 0 ) La densità spettrale di potenza della potenza di un segnale periodico è, in natura, impulsiva e ciò sta ad indicare che unità non nulle della potenza sono concentrate a frequenze discrete. Si può dimostrare che S x = lim T T x (t) dt = ˆ G x (f) df I diagrammi spettrali vengono chiamati a due lati se mostrano sia le componenti di frequenza positive che quelle negative mentre i diagrammi spettrali in cui, alla frequenza f = nf 0, viene mostrata la somma delle ampiezze delle componenti a f = +nf 0 e f = nf 0 prendono il nome di diagrammi a lato singolo. Vedremo che è più conveniente usare i diagrammi spettrali a due lati. Esempio. Per la forma d'onda rettangolare mostrata in gura si ottenga la rappresentazione in serie di Fourier esponenziale complessa e si re- 8

9 alizzino i diagrammi dell'ampiezza, della fase e della densità spettrale di potenza. 9