2.2.5 Approssimazione di un segnale in una base biortogonale (segnali rettangolari) Esercizi proposti... 46

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Cristoforo Visconti
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1 Indice 1 Operazioni elementari, convoluzione, correlazione Operazioni elementari Ribaltamento, traslazione, scalatura Convoluzione Convoluzione tra segnali somma di segnali elementari (delta, rettangoli, gradini) Convoluzione (segnale rettangolare ed esponenziale) Convoluzione tra segnali composti (triangolo ed esponenziale) Convoluzione normalizzata (gradino e segno) Convoluzione circolare tra due segnali di stesso periodo fondamentale Correlazione Cross-correlazione tra segnali di energia (rettangolo, triangolo) Cross-correlazione e convoluzione (rettangolo e segnale sinusoidale) Auto-correlazione di un segnale di energia (trapezio) Esercizi proposti Rappresentazione vettoriale dei segnali Prodotto scalare, ortogonalità e distanza tra segnali Prodotto scalare e distanza tra segnali di energia Prodotto scalare e distanza tra segnali di potenza Ortogonalità tra segnali Approssimazione di un segnale in uno spazio vettoriale Ortogonalizzazione di una base ed approssimazione di un segnale (segnali rettangolari) Ortogonalizzazione di una base ed approssimazione di un segnale (segnali sinusoidali nestrati) Approssimazione di un segnale esponenziale in una base ortogonale Rappresentazione in basi biortogonali (n-uple di numeri). 40 i

2 ii INDICE Approssimazione di un segnale in una base biortogonale (segnali rettangolari) Esercizi proposti Analisi di Fourier Trasformata di Fourier: principali proprietà Trasformata di Fourier di un segnale ad energia nita (esponenziale) Trasformata di Fourier di un segnale composto Trasformata di Fourier di segnali gaussiani Convoluzione tra sinusoidi e segnali ad energia nita Convoluzione tra segnali (sinusoide, sinc) Densità spettrale di energia (segnale esponenziale) Trasformata di Fourier di segnali periodici Sviluppo in Serie di Fourier di segnali sinusoidali e crosscorrelazione Sviluppo in Serie di Fourier (impulsi gaussiani) Sviluppo in Serie di Fourier (impulsi triangolari) Relazioni di Parseval Ortogonalità tra segnali (analisi nel dominio delle frequenze) Distanza tra segnali parametrici Rappresentazione vettoriale ed approssimazione di segnali (segnali di tipo sinc(.)) Esercizi proposti Sistemi a tempo continuo Classicazione dei sistemi Scalatura dell'asse dei tempi Sommatore Media mobile Classicazione di un sistema lineare tempo invariante Sistemi lineari tempo invarianti (LTI) Risposta al gradino di un sistema LTI Filtraggio di sinusoidi Filtraggio di un segnale periodico (derivatore) Filtraggio di un segnale somma di segnali elementari Esercizi proposti Variabili Casuali Richiami sul calcolo delle probabilità Esempi di calcolo delle probabilità Variabili casuali discrete Dado equilibrato Estrazioni e monete Palline e Urne Estrazioni del lotto

3 INDICE iii 5.3 Variabili casuali continue Caratterizzazione di variabili casuali continue Funzione di una variabile casuale uniforme (trapezio) Densità condizionata di una variabile continua Funzione di variabile casuale continua condizionata (triangolo) Vettori di variabili casuali Densità congiunta di due variabili casuali discrete (monete truccate e palline) Valori attesi condizionati di variabili casuali discrete (monete, palline, urne) Valori attesi condizionati di somme di variabili casuali Indipendenza ed incorrelazione di due variabili casuali continue Valori attesi condizionati di due variabili casuali uniformi Densità di probabilità di una funzione di due variabili casuali Densità di probabilità congiunta di due funzioni di due variabili casuali uniformi Densità di probabilità di una funzione di due variabili casuali non indipendenti Densità di probabilità di una funzione di due variabili casuali denite su domini rettangolari Funzione caratteristica congiunta di due variabili casuali Esercizi proposti Caratterizzazione di processi stocastici Caratterizzazione di processi stocastici Segnale sinusoidale con fase casuale Segnale periodico con fase casuale oppure ampiezza casuale Caratterizzazione di un processo gaussiano bianco Processo PAM rettangolare e segnale casuale costante Somma di processi gaussiani indipendenti Esercizi proposti Processi stocastici nei sistemi Processi stocastici nei sistemi Filtraggio di un rumore gaussiano bianco passa-banda Filtraggio di un rumore gaussiano (somma di rumori gaussiani) Filtraggio di un segnale periodico con fase casuale e rumore gaussiano Processo PAM e rumore gaussiano Prodotto di processi stocastici indipendenti (gaussiano e sinusoidale) Esercizi proposti

4 iv INDICE 8 Campionamento e quantizzazione Campionamento e quantizzazione (sistemi non LTI) Interpolazione non ideale di un segnale campionato Interpolazione di una sinusoide sotto-campionata Filtraggio di un segnale campionato ed interpolato Interpolazione di un segnale campionato distorto Interpolazione lineare di un segnale somma di due segnali campionati Processo bianco campionato e quantizzato Segnale rumoroso quantizzato (quantizzatore uniforme con tanti livelli) Quantizzatore a 2 livelli Campionamento e quantizzazione di un processo stocastico Segnale rumoroso campionato e quantizzato (**) Interpolazione (non ideale) di un processo campionato e quantizzato (***) Esercizi proposti Appendice (Complementi di teoria dei segnali) Segnali elementari Segnali elementari di uso comune Spazi vettoriali dei segnali Spazio dei Segnali Distanza tra segnali Spazio Vettoriale Base di uno spazio vettoriale Norma Prodotto Scalare Relazioni tra distanza, norma, prodotto scalare Rappresentazione di un segnale rispetto ad una base Basi biortogonali Basi ortonormali Metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt Relazioni di Parseval Approssimazione di un segnale rispetto ad una base Teorema di decomposizione Approssimazione di segnali ai minimi errori quadrati Cross-correlazione tra segnali Convoluzione normalizzata e convoluzione circolare Trasformata di Fourier Denizione della trasformata di Fourier Interpretazione della trasformata come prodotto scalare Principali proprietà della trasformata di Fourier

5 INDICE v Trasformata di Fourier di segnali elementari Proprietà dell'impulso di Dirac Trasformata di Fourier di un segnale periodico e legami con la serie di Fourier Densità spettrali di energia e di potenza Sistemi a tempo continuo Classicazione di un sistema Denizione di Sistema Linearità Tempo-invarianza Memoria Causalità Stabilità Sistemi lineari e lineari tempo invarianti Sistemi lineari Sistemi lineari tempo invarianti Analisi in frequenza dei sistemi LTI Sistemi a Fase Lineare Filtri ideali Classicazione di sistemi LTI Memoria Causalità Stabilità Caratterizzazione di un sistema LTI in termini di correlazione Variabili casuali Misura di probabilità Elementi di calcolo combinatorio Variabili casuali Esempi di variabili casuali Prove ripetute indipendenti Vettori di variabili casuali Variabili casuali congiuntamente gaussiane Variabili casuali condizionate Valori attesi condizionati Teoremi limite Processi stocastici Denizione di processo stocastico Medie d'insieme Legami tra due o più processi stocastici Medie temporali Ergodicità Densità spettrale di potenza Processi ciclo-stazionari Esempi di processi stocastici fondamentali Processi puramente casuali

6 vi INDICE Processi di Markov Processi gaussiani Rumore bianco Segnale periodico a fase casuale Processi PAM Processo di Poisson Passeggiate a caso e processo di Wiener-Levy Filtraggio di un processo stocastico Trasformazione mediante un sistema non LTI Somma e prodotto di processi stocastici Moltiplicazione tra due processi incorrelati Somma di due processi Campionamento Introduzione Campionamento ideale Interpolazione ideale del segnale campionato Teorema del campionamento Filtraggio anti-aliasing Altri ltri di interpolazione Mantenitore (Sample and Hold) Interpolazione lineare Campionamento ed interpolazione di un processo stocastico Quantizzazione Quantizzazione di un segnale Quantizzatore uniforme con tanti livelli Analisi spettrale del rumore di quantizzazione Quantizzatore ottimo Bibliograa 340

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