Introduzione generale. Cenni storici. 1 Problema di de Mèrè e soluzione. martedì 27 febbraio 2007

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1 Corso di Calcolo delle probabilità - SIGAD -A.A. 2007/2008 Registro provvisorio delle Lezioni tenute da: Giuseppe Sanfilippo Settimana Giorno Lezione Lez N. Argomento Effettuata =SI Introduzione generale. Cenni storici. Problema di de Mèrè e soluzione. martedì 27 febbraio 2007 Proposizioni logiche, eventi, indicatori, esempi, relazioni e operazioni logiche (unione, intersezione, negazione, 2 implicazione). Formule di De Morgan. Diagrammi di Venn, partizioni finite dell evento certo, esempi. 3 Esercitazione sugli eventi e sulle operazioni logiche. Richiami di calcolo combinatorio: Permutazioni; mercoledì 28 febbraio 2007 disposizioni semplici e con ripetizione; combinazioni semplici. Fattoriale, coefficiente binomiale, sviluppo del binomio di Newton (dim.intuitiva). Calcolo del numero di sottoinsiemi di un insieme finito. 4 Esercizi. Diagramma delle alternative in una passeggiata aleattoria. Combinazioni con ripetizione, calcolo (con dim) del numero di soluzioni intere non negative di una equazione. Calcolo (con dim.) del numero di modi di distribuire n palline in r urne, coefficiente multinomiale, cenno allo giovedì marzo 2007 sviluppo della potenza ennesima di un multinomio. 5 Esempi dal libro di testo Ross, pag.0 Criterio classico di valutazione della probabilità. Esercitazione: gioco del lotto, lanci di dadi, gioco del poker. Proprietà fondamentali della probabilità, probabilità dell'evento contrario, probabilità e partizione. Teorema 6 delle probabilità totali per due eventi.

2 2 3 martedì 6 marzo 2007 mercoledì 7 marzo 2007 giovedì 8 marzo 2007 martedì 3 marzo 2007 mercoledì 4 marzo 2007 Probabilità totali per tre eventi (con dim). Principio di inclusione/esclusione (no dim). Cenno al Problema delle concordanze o degli accoppiamenti: calcolo della probabilità che ci siano zero concordanze. Commenti critici sulla definizione classica, esempi vari, 7 cenni all impostazione frequentista, aspetti critici. Impostazione Assiomatica: algebre e sigma-algebre di eventi; spazi probabilizzabili e spazi di probabilità. Classe di Borel e insiemi boreliani. Assiomi della probabilità. Critiche sulla sigma-additività della probabilità. Esempio: estrazione 8 di un intero a caso. Costituenti generati da una famiglia di n eventi, esempi, 9 dipendenza e indipendenza logica, esercizi. 0 Esercitazione Definizione soggettiva della probabilità, criterio della scommessa, condizione di coerenza, alcune proprietà, valutazioni di probabilità coerenti su n eventi arbitrari Esempio di de Finetti sulla probabilità di vittoria Italiana in 2 una gara Cenno al criterio della penalizzazione. Coerenza e proprietà della probabilità. Definizione di combinazione lineare convessa di n numeri e sue proprietà. Dimostrazione delle condizioni necessarie e sufficienti per la coerenza di una valutazione di probabilità su un evento e su una partizione dell'evento certo (pag.8-8 appunti, 3 escluso penalizzazione). Probabilità e quote di scommessa. Probabilità coerenti su due eventi incompatibili e involucro convesso generato dai 4 punti Q Problema delle concordanze. Approssimazione del numero 5 di nepero Enunciato del teorema per la verifica della coerenza di una valutazione probabilistica su una famiglia arbitraria di 6 eventi. Esercitazione Numeri aleatori semplici, casi particolari, forma canonica, 7 calcolo dei valori possibili.

3 4 5 6 giovedì 5 marzo 2007 martedì 20 marzo 2007 mercoledì 2 marzo 2007 giovedì 22 marzo 2007 martedì 27 marzo 2007 mercoledì 28 marzo 2007 giovedì 29 marzo 2007 martedì 3 aprile 2007 mercoledì 4 aprile Previsione, interpretazione meccanica e con il criterio della scommessa, casi particolari, esempi. Previsione del numero aleatorio di n eventi equiprobabili. Esempi. Dimostrazione del teorema per la verifica della coerenza di una valutazione di probabilità su una famiglia arbitraria 9 finita di eventi. (Sia cond. Nec. che suff.) 20 Esercitazione Teorema Fondamentale delle probabilità coerenti (cenni sulla dimostrazione). Combinazione lineare convessa di 2 probabilità coerenti. Estensione di valutazioni coerenti di probabilità, Massimo e 22 minimo evento logicamente dipendente. 23 Esercitazione sulla coerenza e sulla previsione 24 Esercitazione sulla coerenza e sulla previsione Definizione di Evento Condizionato. Proprietà. Definizione 25 di probabilità per gli eventi condizionati. Teorema delle probabilità composte (con dim.) e corollario. 26 Considerazioni sulle probabilità nulle Formula di disintegrazione, teorema delle probabilità 27 composte in generale, esercizi su probabilità condizionate Problema dei 3 prigionieri. Introduzione al teorema di 28 Bayes Teorema di Bayes. Probabilità iniziali, finali, verosimiglianze. Confronto tra criterio di masssima 29 verosimiglianza e approccio baeysiano. Eventi stocasticamente indipendenti. Esempi e 30 controesempi. 3 Esercizio sul teorema di Bayes. (5 minuti) Teorema sugli eventi stocasticamente indipendenti (con dim.). 32 Introduzione alla distribuzione binomiale. Distribuzione binomiale, previsione e varianza, punto di massimo, studio analitico del grafico. Massimo intero contenuto. 33 Diagramma delle traiettorie del numero di successi.

4 7 8 giovedì 5 aprile 2007 martedì 0 aprile 2007 mercoledì aprile 2007 giovedì 2 aprile 2007 venerdì 3 aprile 2007 martedì 7 aprile 2007 mercoledì 8 aprile 2007 giovedì 9 aprile 2007 Estrazioni con restituzione da un'urna di composizione nota. Estrazioni senza restituzione da un'urna di 34 composizione nota: equiprobabilità degli eventi. Estrazioni senza restituzione. Cenno sulla scambiabilità 35 degli eventi. Distribuzione ipergeometrica. Comportamento asintotico. 36 Proprietà di linearità della previsione. Varianza di un numero aleatorio semplice. Scartoquadratico medio. 37 Proprietà della varianza. Standardizzazione. 38 Covarianza. Esempi. Coefficiente di correlazione lineare e proprietà. Cenno sulla retta di regressione. Incorrelazione. Incorrelazione tra 39 indicatori di eventi. Esempi sul coefficiente di correlazione. Covarianza di combinazioni lineari di numeri aleatori. Varianza di una combinazione lineare di numeri aleatori. Matrice delle 40 varianze e delle covarianze (cenno sulle forme quadratiche semidefinite positive). 4 Richiami di cardinalità. Diagonalizzazione di Cantor. Probabilità su famiglie infinite di eventi. Introduzione alle 42 variabili aleatorie dicrete. Funzione di ripartizione. Proprietà. Funzione di ripartizione dell'indicatore di un evento. Distribuzione Geometrica. Proprietà di assenza di memoria della distribuzione 43 geometrica, caratterizzazione. Distribuzione di Pascal. Varianza della distribuzione 44 binomiale. Varianza della distribuzione ipergeometrica. Previzione e varianza di numeri aleatori discreti. Calcolo della prevsione e della varianza di un numero aleatorio con 45 distribuzione geometrica. 46 Esercitazione.

5 9 0 martedì 24 aprile 2007 mercoledì 25 aprile 2007 giovedì 26 aprile 2007 martedì maggio 2007 giovedì 3 maggio 2007 venerdì 4 maggio 2007 martedì 8 maggio 2007 mercoledì 9 maggio 2007 Distribuzioni assolutamente continue. Densità di probabilità, funzione di ripartizione, previsione e varianza nel continuo. Distribuzione Uniforme: densità, calcolo della costante di normalizzazione, funzione di ripartizione, 47 previsione e varianza. Distribuzione esponenziale: densità (studio analitico e grafico), calcolo della costante di normalizzazione, funzione di ripartizione, funzione di sopravvivenza, calcolo della 48 previsione e della varianza Proprietà di assenza di memoria e caratterizzazione della 49 distribuzione esponenziale. Distribuzione normale standard (studio analitico e utilizzo 50 delle tavole) Previsione e varianza della distribuzione normale standard. Famiglia delle distribuzioni normali. Trasformazioni lineari. Previsione e varianza della distribuzione normale. 5 Cambiamento di scala nella distribuzione esponenziale. Esercitazione sulle distribuzioni normali e sull'utilizzo delle 52 tavole della normale. Esercitazione sulla funzione di ripartizione della 53 distribuzione normale. Distribuzione chi quadro. Distribuzione Beta, funzione gamma, Distribuzione 54 Gamma. Vettori aleatori discreti e continui. Vettori aleatori discreti: 55 distribuzioni marginali, marginali condizionate. 56 Indipendenza stocastica, correlazione, esempi. Distribuzione di Poisson: approssimazione della distribuzione binomiale; calcolo della previsione e della 57 varianza. Cenni sui processi di Poisson. Calcolo della distribuzione di probabilità del numero di arrivi in [0,t] in un processo di 58 Poisson.

6 Distribuzione della somma di numeri aleatori indipendenti con distribuzione di Poisson, calcolo delle distribuzioni giovedì 0 maggio marginali condizionate alla somma. Simulazione: metodo dell'inversa della funzione di 60 ripartizione. Esercitazione sulle distribuzione di Polya. Extra venerdi maggio Simulazione di un numero aleatorio con distribuzione esponenziale. 63 Vettori aleatori continui. Indipendenza e incorrelazione. Funzione di ripartizione bidimensionale, proprietà. martedì 5 maggio 2007 Distribuzione uniforme su un rettangolo. Esempio di distribuzione bidimensionale su un triangolo: calcolo delle 64 densità marginali e condizionate. Esempi di variabili aleatorie incorrelate e stocasticamente dipendenti. Distribuzione uniforme in un cerchio di centro l'origine, calcolo delle densità marginali. Distribuzione di mercoledì 6 maggio 2007 funzioni di variabili aleatorie, calcolo della densità e dei 2 65 momenti, esempi. Disuguaglianza di Jensen, esempi e verifica. Momenti e 66 momenti centrali di ordine k. Distribuzione della somma di variabili aleatorie. Integrale di convoluzione. Somma di due variabili aleatorie con 67 distribuzione uniforme. giovedì 7 maggio 2007 Definizione della funzione caratteristice e della funzione generatrice dei momenti. Alcune proprietà della funzione caratteristica.funzione caratteristica di una variabile 68 aleatoria bernoulliana. Dispositivi in serie o in parallelo. Distribuzione del minimo, EXTRA venerdì 8 maggio 2007 del massimo e della somma di due variabili aleatorie con 69 distribuzione esponenziale stocasticamente indipendenti. 70 Esercitazione sulle probabilità condizionate. Calcolo della funzione caratteristica di alcune distribuzioni martedì 22 maggio notevoli: binomiale, poisson, geometrica, pascal (cenno), normale, esponenziale, gamma (cenno).

7 3 mercoledì 23 maggio Derivate di ordine r della f.c. e calcolo dei momenti di una distribuzione (dimostrazione per r=). Funzione caratteristica della somma di v.a. indipendenti. Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Cebicev. Convergenza in probabilità. Legge debole dei grandi numeri. Teorema di Bernoulli. Convergenza in legge o in distribuzione. Teorema centrale del limite: enunciato e dimostrazione. giovedì 24 maggio 2007 Applicazione del teorema centrale del limite: approssimazione normale della distribuzione binomiale 76 (Teorema di De Moivre-Laplace) Esercitazione sui vettori aleatori e sulle probabilità EXTRA venerdì 25 maggio condizionate. 78 Esercitazione sulle probabilità condizionate.