INFERRE COLLANA DI PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA

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1 INFERRE COLLANA DI PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA 3

2 Direttore Corrado TANASI Università degli Studi di Palermo Comitato scientifico Giuseppe RAO Università degli Studi di Palermo Francesco RUSSO University of Cape Town Francesco TULONE Università degli Studi di Palermo

3 INFERRE COLLANA DI PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA Credo che il calcolo delle probabilità sia l unica branca della matematica in cui buoni autori ottengono spesso risultati completamente sbagliati. Charles P La collana è orientata verso due direzioni diverse ma connesse tra loro. La prima ha come obiettivo quello di trasferire gradualmente al lettore (studente o meno) un messaggio preciso, anche se a prima vista ovvio: i metodi della matematica pura sono fondamentali e formano il tessuto connettivo essenziale al calcolo delle probabilità e alla statistica. Ciò non è scontato, perché si nota una carenza significativa nel panorama editoriale italiano di testi orientati in tal senso. Questa chiave di lettura, quindi, privilegia testi con linguaggio formale della matematica pura nella teoria delle probabilità e della statistica matematica, senza escludere le applicazioni. I volumi sono pensati per gli studenti delle scuole di matematica. La seconda direzione, usando un linguaggio meno formale ma pur sempre essenziale e rigoroso, riguarda l applicazione del calcolo delle probabilità e della statistica descrittiva a specifici temi, quali la teoria dei giochi, le scienze naturali, la chimica, la farmacia, la medicina, l ingegneria, la biologia, la sociologia, l economia e la finanza.

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5 Corrado Tanasi Calcolo delle probabilità con elementi di Statistica matematica II edizione

6 Aracne editrice Copyright MMXVI Gioacchino Onorati editore S.r.l. unipersonale via Sotto le mura, Canterano (RM) (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: maggio 2016

7 Indice Introduzione 1 Algebra degli eventi Algebra di Boole Elementi di calcolo combinatorio Probabilità di un evento Stupirsi di un evento poco probabile Dove cade un fulmine? Teorema delle probabilità totali Probabilità di alcuni giochi popolari Legge del caso? Lotto Superenalotto WinforLife Diagramma ad albero Il problema della rovina del giocatore Formula di Bayes Variabili aleatorie discrete Modelli discreti Speranza matematica (o valore atteso) Speranza matematica e gioco equo Speranza matematica come operatore lineare Disuguaglianza di Schwarz

8 8 Indice Speranza matematica di una funzione di una variabile aleatoria Varianza Notizie storiche e significato dei momenti Coefficiente di correlazione di due variabili aleatorie Variabile aleatoria di Bernoulli La variabile aleatoria polinomiale La variabile aleatoria ipergeometrica La speranza matematica e la varianza di una H(a, b, n) Variabile aleatoria geometrica Variabile aleatoria di Poisson La distribuzione di Poisson come limite della binomiale Modelli continui Introduzione Variabile aleatoria qualunque Funzione di ripartizione di una variabile aleatoria qualunque Variabili aleatorie assolutamente continue Cenni sull integrale di Riemann-Stieltjes Momenti di una variabile aleatoria qualunque Disuguaglianza di Hölder Disuguaglianza di Markov e di Bienaymé-Tchebychev La mediana e i quantili Variabili aleatorie continue La variabile aleatoria uniforme La variabile aleatoria normale o di Laplace- Gauss N (m, σ) Cos è normale? Ulteriori proprietà della Normale Approssimazione normale alla distribuzione binomiale La tavola di Galton Variabili aleatorie esponenziali

9 Indice Un atomo non ha memoria Amnesia discreta e continua Variabile aleatoria di Cauchy Variabili aleatorie n dimensionali Leggi di probabilità congiunte Variabili aleatorie bidimensionali Speranza matematica condizionata di una variabile aleatoria La retta di regressione e dei minimi quadrati Variabile aleatoria normale bidimensionale Somma di due variabili aleatorie La funzione caratteristica Teorema di inversione Esempi di funzione caratteristica di variabili aleatorie note La funzione caratteristica in R n Successioni di variabili aleatorie Convergenza in probabilità Convergenza in legge Convergenza in media quadratica La legge dei grandi numeri Il caso domato Quando un campione è numeroso? Distribuzioni legate alla normale La variabile aleatoria χ La distribuzione di t-student La distribuzione di Behrens-Fisher-Snedecor La distribuzione Gamma La distribuzione delle statistiche campionarie Introduzione Campioni e popolazioni e tecniche di campionamento Media e varianza empirica

10 10 Indice Campione di Laplace -Gauss Stime e test d ipotesi Definizioni Efficienza di uno stimatore La verosimiglianza e stimatori di massima verosimiglianza Elementi della teoria dell informazione Stimatore efficiente Statistica esaustiva Quantità di informazione di una statistica Stimatori bayesiani Stime intervallari Test d ipotesi Generalità sulla teoria dei test Test tra ipotesi semplici Catene di Markov il caso irriducibile Primo esempio di convergenza Secondo esempio di non convergenza Definizione di catena di Markov Grafico associato a una catena di Markov La matrice di transizione della catena Uso della matrice di transizione P Scrittura con vettori riga Scrittura con vettori colonna Dallo stato n allo stato n + m. La matrice P m Matrici stocastiche. Una osservazione Catena di Markov irriducibile Catena di Markov regolare Legge invariante di una catena irriducibile Convergenza di una catena irriducibile Qual è il limite eventuale? In termini di matrici Convergenza di una catena irriducibile Enunciati ed esempi

11 Indice Calcolo esplicito dello stato al tempo n Catene di Markov irriducibili periodiche Esempi Catene di Markov riducibili Esercizi

12 12 Presentazione Indice degli autori

13 Introduzione Decisamente la matematica è una disciplina ambiziosa, infatti ha sviluppato strumenti di una scienza impensabile: quella del caso. Immaginiamo una teoria razionale e coerente, che voglia rendere conto di ciò che, per sua natura, è sfuggente e sembra inaccessibile alla ragione: il caso. Ora gli eventi casuali interessano al filosofo, che cerca di dare risposta al quesito: il caso esiste nel mondo reale? La fisica, con la teoria quantistica, introduce l aleatorio all interno stesso dei suoi modelli di materia. La matematica, con la teoria delle probabilità, sviluppa indagini e fornisce mezzi di conoscenza del caso. La psicologia si occupa dell aleatorio ponendosi la questione se esso sia qualcosa di reale o di soggettivo. Ogni persona d altra parte fa delle congetture, che poi giudica, su cui ragiona e poi regola i propri atti e interessi in funzione delle loro probabilità, è quello che nella vita pratica ci accompagna costantemente. La filosofia segue un tipo di riflessione che verosimilmente non si chiuderà mai. Anche se l approccio al soggetto viene affrontato dal filosofo in maniera interessante, questo ci aiuta poco. La fisica quantistica propone un modello che non prova l esistenza del caso e come la filosofia, non fornisce la definizione formale del caso e non risponde alla questione della sua esistenza nel mondo. Restano la matematica e la psicologia le due discipline sono più di tutte in grado di farci scoprire e fare luce sull aleatorio. Diversi domini della matematica studiano il caso. Le probabilità sono in grado di misurare il caso, di predire se non i dettagli di un processo aleatorio, almeno in grandi linee di fornirne alcune caratteristiche globali. Uno dei meravigliosi risultati della teoria delle probabilità è che da eventi casuali ne può scaturire una struttura, in altri termini da un insieme disordinato si può scorgere un certo determinismo. Vedremo in questo 13

14 14 Introduzione corso come la probabilità manipola il caso, quali sono le leggi, come è possibile comprendere e usare i fenomeni aleatori. Presentiamo, in forma chiara e accessibile, i fondamenti del calcolo delle probabilità, presupponendo solo la conoscenza di elementi del calcolo infinitesimale. Il testo è rivolto agli studenti delle Scuole di Scienze Applicate e di Base, in particolare agli studenti della facoltà di Ingegneria, Scienze Matematiche e Informatiche e Scienze Fisiche e Naturali ed Economia. Diamo ora in sintesi, una rassegna degli argomenti trattati nei singoli capitoli, sarà sottinteso che per quasi ogni nuova nozione introdotta, viene accompagnata da esempi ed esercizi svolti. Nel Capitolo 1 si costruisce l ambiente matematico idoneo a definire la probabilità di un evento. Introducendo gli elementi fondamentali di calcolo combinatorio, si è in grado poi di risolvere vari problemi e di dare esempi. Nei Capitoli 2 e 3 con gli assiomi di algebra e σ-algebra di probabilità e di σ-algebra probabilità subordinata, si dimostrano vari teoremi utili, riguardanti la probabilità di variabili aleatorie discrete e si prova il teorema della probabilità totale. Prendendo spunto da alcuni giochi popolari: Superenalotto, Lotto, Winforlife.. se ne calcola la probabilità e si prova che in tutti i casi si tratta di giochi non equi, si verifica l inequità in dettaglio nel caso del gioco del Lotto e Superenalotto. Infine si presenta la formula di Bayes, ricca di implicazioni. Si definisce poi il momento di qualunque ordine finito, con un breve excursus storico sull argomento. Dopo aver analizzato i modelli classici di variabili aleatorie discrete, si definisce e si fornisce qualche caratterizzazione del coefficiente di correlazione. Nel Capitolo 4 si motiva l uso dei modelli di variabili aleatorie continue e mediante l integrale di Riemann-Stieltjes si entra nell ambito matematico dei modelli probabilistici di variabile aleatoria di tipo continuo e assolutamente continuo. Si introducono, in questo ambito, i momenti di qualunque ordine finito e le disuguaglianze di Hölder, di Markov di Bienaymé-Tchebychev, si esaminano poi alcuni modelli classici di variabile aleatoria continue, come la uniforme, di Laplace Gauss, ed esponenziale.

15 Introduzione 15 Nel Capitolo 5 la nozione di variabile aleatoria si estende al caso multidimensionale e si analizzano alcune leggi di probabilità congiunte. Si definisce la nozione di funzione caratteristica di una variabile aleatoria uno e multidimensionale se ne sottolinea la ragion d essere, insieme e la sua utilità nella teoria delle probabilità e si dimostra il teorema di inversione. Il Capitolo 6 presenta vari tipi di convergenza: in Probabilità, in Legge e in Media Quadratica. Il capitolo si chiude con la legge forte dei grandi numeri e le dimostrazioni del teorema di Levy e del fondamentale teorema del limite centrale definito come il teorema del caso domato. Il Capitolo 7 tratta di variabili aleatorie legate alla distribuzione normale, introduce la nozione statistica secondo Fisher di un campione con brevi nozioni di tecniche di campionamento e la variabile aleatoria χ 2, di T-student. La nozione di media e varianza campionaria si studiano nei dettagli, si dimostra l interessante Teorema di Geary, il capitolo si chiude con l ovvia conseguenza del teorema di Bernstein. Nel Capitolo 8 mostra come usare i dati per stimare di alcuni parametri di interesse e introduce la nozione di efficienza di una statistica e limite di Cramer-Rao. Si prosegue con la nozione di massima verosimiglianza e di statistica esaustiva e di stima per intervalli. Gli argomenti introdotti sono accompagnati da esempi. Poi si introducono i test d ipotesi semplici con il metodo di Neyman-Pearson, l argomento è accompagnato da esempi sia teorici che numerici. Una buona parte dell arsenale della teoria della probabilità viene impiegato in questi ultimi capitoli, in un mixing di risultati teorici e di indirizzo puramente pratico. Nell ultimo capitolo si trattano le catene di Markov. Alcuni esempi ci faranno strada per capire due tipi di catene, quelle irriducibili e non irriducibili con cui si chiude il capitolo.

16 16 Presentazione Indice degli autori

17 Capitolo 1 Algebra degli eventi 1.1 Algebra di Boole Definizione 1. Consideriamo una famiglia non vuota A e supponiamo che in A siano definite tre operazioni interne che indicheremo con, e c. La famiglia A si dice algebra di Boole, se sono verificati i seguenti assiomi: 1) (A B) =(B A), (A B) =(B A), proprietà commutativa di e, A, B A. 2) (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C), A, B, C A, proprietà associativa. 3) A (A B) =A, A (A B) =A, A, B, C A, proprietà di assorbimento. 4) A (B C) =(A B) (A C) e A (B C) =(A B) (A C), A, B, C Aproprietà distributiva di rispetto a e viceversa. 5) (A c A) B = B, (A c A) B = B, A, B Aproprietà del complementare. Esempi di algebre di Boole: 1. Lo spazio euclideo n-dimensionale R n con le ordinarie operazioni di intersezione, unione e passaggio al complementare di sottoinsiemi di R n. 17