Processi stocastici A.A Corso di laurea Magistrale in Statistica Univ. degli Studi di Palermo

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1 Processi stocastici A.A Corso di laurea Magistrale in Statistica Univ. degli Studi di Palermo G. Sanfilippo 20 maggio 200 Registro delle lezioni. Lezione del 3 Marzo 200, 8-, ore complessive 3 Richiami di calcolo delle probabilità: eventi, operazioni tra eventi [3], algebra, sigma-algebra, misura di probabilità [5]. Insieme dei casi elementari. Commenti critici. Esercizi Sia A un algebra di eventi. Dimostrare le seguenti proprietà.. A, A 2,..., A n A n i= A i A, n N 2. A, A 2,..., A n A n i= A i A, n N Dato un insieme C di n elementi, dimostrare che l insieme delle parti di C, denotato con P(C), contiene 2 n elementi..2 Lezione del Marzo 200, 9-, ore complessive 5. Richiami di calcolo delle probabilità. Additività finita o numerabile. Funzioni misurabili e variabili aleatorie. Funzione distribuzione ([3, 5]). Sul significato soggettivo delle probabilità (de Finetti, 930). Introduzione ai processi. Classificazione di un processo in base al parametro e in base ai valori. Indagine trasversale e indagine longitudinale ([5]).

2 .3 Lezione del 0 Marzo 200, 8-, ore complessive 8. Processo di Bernoulli. Valore atteso condizionato [5, 2]. Passeggiata aleatoria semplice ([, 9, 3]). Problema di rovina di un giocatore ([9, 3, ]), equazione alle differenze finite. ([6]).. Dimostrare che la probabilità di durata infinita del gioco, nel problema di rovina di un giocatore, duri è uguale a Calcolare la durata media del gioco nel problema di rovina di un giocatore.. Lezione del Marzo 200, 9-, ore complessive 0. Applicazione del problema di rovina di un giocatore sui test di efficacia di un farmaco ([9]). Durata media del gioco e strategie di gioco nel problema di rovina di un giocatore ([6]). Diverse interpretazioni del problema di rovina di un giocatore. Esercizi. Simulazione delle differenti strategie di gioco nel problema di rovina di un giocatore..5 Lezione del 7 Marzo 200, 8-, ore complessive 3. Capitale infinito nel problema della rovina di un giocatore. Introduzione alla catene di Markov ([9, 8, 2, 6]). tempo discreto (DTCM) omogenea. Esempi. Catena di Markov a Matrice di transizione. Caratterizzazione di una DTCM omogenea mediante la matrice di transizione e le probabilità iniziali..6 Lezione del 8 Marzo 200, 9-, ore complessive 5. Richiami su: distribuzione normale, distribuzione χ 2 con n-gradi di libertà, distribuzione gamma, distribuzione geometrica. Catena di Markov a due stati: pioggia, non pioggia. Distribuzione del tempo di attesa per l arrivo del successivo giorno di pioggia. Cenni sull indipendenza stocastica condizionata [, 3]. 2

3 Homework Uno dei corsisti, scelto non a caso, dovrà illustrare al prossimo incontro almeno uno dei seguenti esempi:,2,3,,5,6,7,8 presenti in []. Estrazioni con restituzione da un urna di composizione incognita [3]. Richiami su: distribuzione Gamma, Funzione generatrice dei momenti e/o funzione caratteristica..7 Lezione del 2 Marzo 200, 8-, ore complessive 8. Esempio di DTCM Bonus-Malus. Matrice di transizione dopo n passi. Equazioni di Chapman Kolmogorov (dim). Diagramma degli stati. Classificazione degli stati in una DTCM. Classi comunicanti, chiuse, comunicanti e chiuse..8 Lezione del 25 Marzo 200, 9-, ore complessive 20. Esercitazione. Stati ricorrenti e transitori, stati assorbenti, tempo di primo passaggio, tempo medio di ritorno. Esercizio. Costruire la matrice di transizione corrispondente al diagramma degli stati illustrato in Figura B A C 0.2 Figura : Diagramma degli stati di una catena di Markov. Esercizio 2. Disegnare il diagramma degli stati relativo alla seguente matrice di transizione P =

4 Esercizio 3 (Bonus Malus System2). Consideriamo un automobilista che ogni anno paga un assicurazione di tipo bonus-malus. Supponiamo che ci siano classi di rischio C, C 2, C 3, C con premi rispettivamente e250,300,350,50.. Nel primo periodo l automobilista è inserito nella classe C. 2. Ogni anno l automobilista scende di una classe se non ha fatto incidenti in quell anno; sale di una classe se ha fatto un incidente; sale di due classi se ha fatto due incidenti; viene inserito nella classe C se ha fatto tre o piu incidenti. 3. Supponiamo che la variabile aleatoria Z n di incidenti nell n-esimo periodo abbia distribuzione di Poisson di parametro λ = 2 3 e che le Z n siano stocasticamente indipendenti.. Indicando con X n la classe di rischio dell automobilista nel periodo n + -esimo (X 0 è il primo anno) determinare la corrispondente matrice di transizione. Inoltre, calcolare il valore atteso del premio nel quarto periodo. 5. Scrivere l equazione ricorsiva X n = φ(x n, Z n ), n, per qualche funzione φ. Esercizio. Data la seguente catena di Markov P = stabilire se è irriducibile. Calcolare la periodicità di ogni stato. Il diagramma degli stati di tale catena riportato in Figura 2 mostra che S = C T dove C = {, 2, 3} è una classe irriducibile di stati ricorrenti positivi e T = {, 5} una classe di stati transitori. Inoltre per i C si ha p (3k) ii = > 0 per ogni intero k e p (n) ii = 0 per ogni n non multiplo di 3. Pertanto d i = 3 se i C. Per gli stati transitori il periodo non è definito..9 Lezione del 3 Marzo 200, 8-, ore complessive 23. Esercitazione: equazioni alle differenze, calcolo del tempo di durata nel problema della rovina di un giocatore. Catene di markov irriducibili a stati finiti e infiniti. Distribuzioni invarianti. Periodo []. Catene Ergodiche. 2

5 Figura 2: Diagramma degli stati. Teorema Ergodico. Catene regolari. Programma in R per il calcolo di distribuzioni stazionarie. Richiami sugli autovalori e sugli autovettori (vedi [7] )..0 Lezione del 07 Aprile 200, 8-, ore complessive 26. Introduzione ai processi di rinnovo e ai processi di conteggio. Tempi di attesa, tempi di interarrivo. Processo dei rinnovi in cui i tempi di interarrivo hanno distribuzione geometrica. Richiami su: distribuzione Geometrica, di Pascal, Esponenziale, Gamma, proprietà di assenza di memoria, somme di variabili aleatorie stocasticamente indipendenti. Processo di Poisson, costruzione e proprietà. Funzione di sopravvivenza di un numero aleatorio con distribuzione Gamma di parametri n, λ e funzione di ripartizione di un numero aleatorio con distribuzione di Poisson di paramtro λt. Esempi di processi di Poisson.. Lezione del 08 Aprile 200, 9-, ore complessive 28. Processo di Poisson: incrementi indipendenti ([8],[3]). Processo Uniforme ([8][]). Statistiche d ordine. Richiami sulla distribuzione Beta ([3]). Richiami sulle statistiche d ordine ([5]). Distribuzione della prima statistica d ordine nel processo uniforme ([8],[]). Esercizio. Calcolare la distribuzione dell ennesima statistica d ordine (max) nel processo uniforme. 5

6 .2 Lezione del Aprile 200, 8-, ore complessive 3. Processo di Uniforme: calcolo delle densità di probabilità congiunte e marginali delle statistiche d ordine, densità di Dirichelet, densità delle lacune, valori attesi delle lacune e delle statistiche d ordine. ([],[8],[3]). Processo di Poisson come caso limite di un processo Uniforme. Analogie tra processo Uniforme, di Poisson, Benrnoulli. Processo di Poisson condizionato e processo uniforme. Processo somma di processi di Poisson indipendenti (Superposition). Esercizi (vedi [2]).3 Lezione del 5 Aprile 200, 9-, ore complessive 33. Operatore di convoluzione. Distribuzione della variabile aleatoria somma due variabili aleatori indipendenti con distribuzione Uniforme in un intervallo [0, ]. Distribuzione della variabile aleatoria somma due variabili aleatori indipendenti con distribuzione Esponenziale di parametro λ (vedi Alcuniargomenti.pdf). Calcolo di P (X < X 2 ), con X, X 2 variabili aleatorie indipendenti ed esponenziali di ugual parametro Esercizio 5.. Distribuzione della variabile aleatoria somma due variabili aleatori indipendenti con distribuzione Uniforme in un intervallo [0, a], a > Somma di tre variabili aleatorie indipendenti di ugual parametro con distribuzione esponenziale.. Lezione del 28 Aprile 200, 8-, ore complessive 36. Altre definizioni equivalenti di un processo di Poisson. Processo di conteggio a incrementi indipendenti e stationari Splitting di un Processo di Poisson mediante un meccanismo Bernoulliano. Esercizi su splitting e superposition di un Processo di Poisson. Variabile aleatoria valore atteso condizionato..5 Lezione del 29 Aprile 200, 9-, ore complessive 38. Esercizi sul valore atteso condizionato. Campionamento da un processo di Poisson. Introduzione al Processo di Poisson non omogeneo. 6

7 .6 Lezione del 5 Maggio 200, 8-, ore complessive. Processo di Poisson non omogeneo (NNP (λ(t)), N t+s N s P (Λ(t + s) Λ(t + s))). Funzione valore medio in un NNP, Λ(t) = t 0 λ(s)ds. Processo di Poisson non omogeneo ottenuto come campionamento da un processo di Poisson (p(t) = λ(t)λ). Cenni al Processo di Poisson randomizzato (vedi [3, ]) P (N t+s N s = n) = 0 e λt (λt) n g(λ)dλ n!. Trasformata di Laplace e funzione di sopravvivenza del tempo di attesa sino al primo arrivo in un processo di Poisson randomizzato. Esercizio 6. Dato un processo di Poisson di intensità α =, sia t (0, a). Calcolare la probabilità p dell evento (N t < 2). Inoltre, supposto vero l evento (N a = 5), calcolare la probabilità p 0 dell evento (N t = 0) (condizionata a (N a = 5)) e la funzione generatrice ψ(t) di N t (N a = 5) p = p 0 = ψ(t) =.7 Lezione del 6 Maggio 200, 9-, ore complessive 3. Richiami sulla funzione caratteristica ([0]) (φ X (t) = E(e itx )) di una variabile aleatoria X. Richiami sulla funzione generatrice delle probabilità (p(z) = + n=0 zn p n. Processo di Poisson composto [8, 9] Z t = N t i= Z i, calcolo del valore atteso e della funzione caratteristica E(e iθzt ) = e λt( φi(θ)) Esercizio (dei amici) sulle statistiche d ordine in un processo di Poisson..8 Lezione del 2 Maggio 200, 8-, ore complessive 6. Ancora sul processo di Poisson composto ([9, 8]) Esercitazione.9 Lezione del 3 Maggio 200, 9-, ore complessive 8. Catene di Markov continue 7

8 .20 Lezione del 9 Maggio 200, 8-, ore complessive 5. Classificazione di un processo. Funzione media, autocorrelazione, autocovarianza. Processi stazionari. Processi normali e moto Browniano ([9, 5]). Richiami sulla distribuzione normale multivariata. Funzione caratteristica di un vettore aleatorio [2]..2 Lezione del 20 Maggio 200, 9-, ore complessive 53. Moto Browniano come limite di una passeggiata aleatoria ([9]). Processi autoregressivi ([9]) e stazionarietà. Riferimenti bibliografici [] K. Baclawski, M. Cerasoli, and G. C. Rota. Introduzione alla probabilità. Unione Matematica Italiana, 98. [2] P. Baldi. Calcolo delle probabilita. McGraw-Hill, [3] P. Billingsley. Probability and measure. [] L. Daboni. Calcolo delle probabilità ed elementi di statistica. UTET. [5] G. Dall Aglio. Calcolo delle probabilità. Zanichelli. [6] W. Feller. An Introduction to Probability Thoery and Its Apllications. John Wiley & Sons. vaire edizioni. [7] E. Gregorio. Dispense di Algebra Lineare. gregorio/autovalori.pdf. [8] V. G. Kulkarni. Modeling and Analysis of Stochastic Systems. Chapman & Hall, 995. [9] S. M. Ross. Introduction to Probability Models. Academic Press. [0] G. Sanfilippo. Dispense: Alcuni argomenti di Calcolo delle Probabilità. Sito del docente. [] G. Sanfilippo. Dispense: Catene di Markov. Sito del docente. [2] G. Sanfilippo. Dispense: Processi di Rinnovo. Sito del docente. [3] R. Scozzafava. Incertezza e Probabilità. Zanichelli,