, mentre Y è una variabile geometrica di costante q = 1 2. (1 q) n = q (1 q) 3 1 q = (1 2 )3 = 1 8. n=0

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1 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULLE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE Esercizio. Sono date due urne denominate rispettivamente A e B. A contiene palline bianche e 6 palline rosse, B contiene 8 palline bianche e 8 palline rosse. Si estraggono ripetutamente, con reimmissione, delle palline da ciascuna urna. Sia la v.a. numero di estrazioni di palline rosse da A prima dell estrazione della prima pallina bianca. Sia la v.a. numero di estrazioni di palline rosse da B prima dell estrazione della prima pallina bianca. i) Si determini P ( 3) e P ( 3). è una variabile geometrica di costante p 8, mentre è una variabile geometrica di costante q. P ( 3) p (3) p( p) 3 8 (3 8 )3, 3, P ( 3) q( q) n q( q) 3 n3 n ( q) n q ( q) 3 q ( )3 8. ii) Si determini P ( + ). Si deve considerare il vettore aleatorio (, ) di densità p, (i, j) p( p) i q ( q) j e si devono sommare le probabilità relative ai punti che giacciono nella regione in cui +. Quindi calcolo j i+ p, (i, j) i+ p( p) i q ( q) j i j i+ i j 8 (3 8 )i ( )j+.

2 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULLE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE i+ i j 8 (3 8 )i ( )j+ i i i 6 (3 i+ 8 )i ( j ( )j ) 6 (3 8 )i ( ( )i+ ) 8 (3 8 )i + i 64 ( 3 6 )i iii) Si determini la densità della v.a. +. Si considera di nuovo il vettore aleatorio (, ) di densità p, (i, j) p( p) i q ( q) j e per determinare p Z (h) dove Z + si devono sommare le probabilit a p, (i, j) tali che i+j h. Per esempio per determinare p Z () si devono sommare le probabilità relative ai punti sulla linea tratteggiata in figura. Si ottiene p Z (h) i+jh p, (i, j) i+jh 6 (3 8 )i ( )j h ( 3 8 )h j ( )j 4 ( )h 6 (3 8 )h. j

3 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULLE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE 3 6 es. : i + j Esercizio. Siano e variabili aleatorie indipendenti: la prima con legge di Poisson di parametro, la seconda con legge di Bernoulli di parametro 3. i) Si calcoli P ( + ). Si deve considerare il vettore aleatorio (, ) di densità 3 e se j i! p, (i, j) 3 e se j i! Quindi P ( + ) p, (, ) + p, (, ) + p, (, ) + p, (, ) e. ii) Si determini la densità discreta della variabile aleatoria Z +.

4 4 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULLE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE i + j h p Z () p, (, ) 3 e, p Z (h) p, (h, ) + p, (h, ) 3 e (h )!, + 3 e h! 3 e (h )! ( + h ). iii) Si calcoli E[Z] e V ar( 3Z). E[Z] E[( + )] E[ + ] E[ ] + E[]E[ ] , V ar( 3Z) 9V ar( + ) 9V ar() + 9V ar( ) 9 +. Esercizio 3. Il numero di chiamate che vengono fatte ad un centralino in un certo intervallo di tempo si comporta come una v.a. di Poisson di parametro. i) Calcolare la probabilità che al centralino in quell intervallo di tempo non arrivino chiamate. La variabile aleatoria in questione è una Poisson di parametro. Quindi ricaviamo allora p (n) e n n!, p () e.3. ii) Calcolare la probabilità che al centralino in quell intervallo di tempo arrivino almeno chiamate. P ( ) P ( ) (p () + p ()) (e + e ), 93. Esercizio 4. Un urna contiene palline bianche e palline rosse. Se ne estraggono e si lancia una moneta equlibrata tante volte quante sono le palline bianche dell estrazione. Sia in numero di teste e in numero di croci.

5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULLE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE i) Determinare le densità delle variabili, e del vettore aleatorio (, ). Chiamiamo Z la variabile aleatoria numero di palline bianche estratte. che Z è una varialbile aleatoria binomiale B(, ). Quindi p z(j) ( j). Di conseguenza, per i,,...,, P ( i) P ( i Z j) P (Z j), dove j se i > j, ( ) P ( i Z j) j i j se i j. P ( i) i! i! j, j i j, j i ( ) j i j ( ) j! ( j)!(j i)!i! ji i h! ( i)!i!! ( j)!(j i)!! ( i h)!(h)! +i i h +j j h+i i! ( i h)!(h)! ( ) i ( ) i i +i h h h ( ) i +i ( + ) i ( ) ( 3 i 4 ) i ( 4 )i, quindi B(, 4 ). Poiché sappiamo che si ha che anche B(, 4 ). Per determinare la densità congiunta ragioniamo nel seguente modo: si ha { se i + j k, P ( i, j Z k) P ( i Z k) se i + j k, h

6 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULLE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE quindi e quindi, se i + j si ha p, (i, j) se i + j k, ( ) P ( i, j Z k) i + j i i+j se i + j k, P (Z k) P (Z i + j) ( ) i + j, P ( i, j Z k) P (Z k) k mentre se i + j > si ha p, (i, j). ii) Dire se e sono indipendenti.! i!j!( i j)! Non sono indipendenti: la matrice della probabilità congiunta è triangolare. +i+j, Esercizio. Siano, due v.a. geometriche indipendenti, la prima tale che P ( ) P ( ) e la seconda di parametro. Sia Z +. i) Determinare le densità della variabile aleatoria Z. Abbiamo p (n) p( p) n, quindi p () p e p () p( p), da cui si ha che p p( p), cioè p p e finalmente p. Quindi e sono due variabili aleatorie geometriche indipendenti di costante. Quindi il vettore aleatorio (, ) ha densità Quindi p Z (k) k j ii) Calcolare P ( 3 Z ). p, (i.j) i+j+. k (k j)+j+ k+ k + k+. j Dalla definizione sappiamo che P ( 3 Z ) P ( 3 Z ) P (Z ) P ( 3) P ( ). P (Z ) P ( 3 ) P (Z )

7 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULLE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE 7 Resta da calcolare P ( ) (P ( ) + P ( )) 4 e P (Z ) (P (Z ) + P (Z ) + P (Z ) + P (Z 3) + P (Z 4)) Quindi iii) Calcolare P (Z 3). P ( 3 Z ) P (Z 3) P (Z 3) P ( 3) P ( ) P ( 3) P ( 3) P ( 3) P ( 3) P ( ) 4. iv) Determinare E[Z]. E[Z] E[( + )] E[ ] + E[]E[ ] 4.