Distribuzioni di probabilità discrete. Prof.ssa Fabbri Francesca Classe 5C

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1 Distribuzioni di probabilità discrete Prof.ssa Fabbri Francesca Classe 5C

2 Esempio Consideriamo un urna con 6 palline Verdi e 4 palline Gialle; estraiamo senza reimmissione 3 palline e valutiamo l evento: esce una pallina verde. Può uscire zero, una, due o tre volte. Il numero di volte che esce la pallina verde è una Variabile Casuale perché ad ogni suo valore possiamo associare un valore di probabilità: X P(X) 1/30 3/10 1/2 1/6 p(0) = C 4,3 C 10,3 = p(1) = C 6,1 C 4,2 C 10,3 = 4 3 = ! 10! 3! 1! : 3! 7! = = ! 10! = ! 2! : 3! 7! = 3! 2! = p(2) = C 6,2 C 4,1 C 10,3 = p(3) = C 6,3 C 10,3 = ! 10! = ! 4! : 3! 7! = 3! 2! = = ! 10! 3! 3! : 3! 7! = = 1 6

3 Variabili casuali Definizione: Una Variabile Casuale X è una funzione definita sullo spazio campionario (che è l insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento) che associa ad ogni evento un numero reale. E 1, E 2,, E n X si dice V. C. DISCRETA se i possibili valori assunti da X sono in numero finito o in una infinità numerabile (cioè sono valori in N, insieme dei numeri naturali) X si dice V. C. CONTINUA se assume valori in un intervallo di R (insieme dei numeri reali).

4 Distribuzione di Probabilità Definizione: A ciascun valore assunto dalla Variabile Casuale X si fa corrispondere la probabilità dell evento a cui il valore è associato: p i è la probabilità che la variabile X assuma il valore x i Ovviamente è 0 p i 1 L insieme di tali probabilità costituisce la DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA della V. C. X Ed inoltre gli eventi sono incompatibili (ossia la loro intersezione è vuota) quindi: p 1 + p p n = 1

5 Funzione di ripartizione

6 Funzione di ripartizione Osservazione La funzione di ripartizione F(X) è definita nell insieme dei numeri reali e assume valori compresi tra 0 e 1: F :! [ 0;1] F( x ) i = P( X x ) i = p p i F( x) = 0 se x < x 1 i p se x k i x < x i+1 k=1 1 se x x n

7 Esempio Urna con 10 palline: 6 Verdi e 4 Bianche. Si estraggono senza reimmissione 3 palline. Sia X= n. palline verdi uscite X P(X) 1/30 3/10 1/2 1/6 F(x) 1/30 1/3 5/6 1 F(x) = 0 se x < 0 1/ 30 se 0 x < 1 1/ 3 se 1 x < 2 5 / 6 se 2 x < 3 1 se x 3 Si può usare la funzione di ripartizione per trovare, ad esempio, la probabilità che le palline verdi si presentino più di una volta. Tale valore è P( X > 1) = P( X 2) = 1 P( X 1) = = 2 3 =

8 Valor medio di una V.C. Valor Medio=Valore Atteso=Speranza Matematica

9 Varianza di una V.C. La Varianza informa di quanto sono concentrati i valori della Variabile Casuale X intorno al Valor medio M(X).

10 Deviazione Standard Deviazione standard=scarto quadratico medio E un indice che misura la dispersione dei valori intorno al valore atteso, ossia indica quanto i dati si discostano da un determinato valore aspettato. Vale il seguente teorema

11 Distribuzione uniforme Definizione: discreta Si dice che una V. C. discreta ha DISTRIBUZIONE UNIFORME se tutti i suoi valori hanno la stessa probabilità. Se i valori di X sono 1, 2, 3,, n e tutti hanno probabilità p = 1, si può dimostrare che il valor n medio di X è: M(X)=(n+1)/2 e la varianza è Var(X)=(n 2-1)/12

12 Es. Distribuzione Uniforme Si lancia un dado regolare. Sia X= valore della faccia uscita sul dado X P(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 F(x) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1 F(x) = 0 se x < 1 1/ 6 se 1 <= x < 2 2 / 6 se 2 <= x < 3 3 / 6 se 3 <= x < 4 4 / 6 se 4 <= x < 5 5 / 6 se 5 <= x < 6 6 / 6 = 1 se x >= 6

13 Distribuzione Binomiale Definizione: Si dice che una V. C. discreta X ha DISTRIBUZIONE BINOMIALE (O DI BERNOULLI) se X descrive il numero di volte che si può verificare un evento aleatorio di probabilità p su n prove. Se i valori di X sono 0, 1, 2, 3,, n e vogliamo determinare P(X=k) cioè la probabilità di avere esattamente k successi su n prove, vale: n P( X = k) = k pk ( 1 p) n k Si può dimostrare che il valor medio di X è: M(X)=np e la varianza è Var(X)=np(1-p)=np

14 Es. Distribuzione Binomiale Urna con 32 palline; 8 Nere e 24 Bianche. Si estraggono consecutivamente 5 palline con reimmissione. Sia X = uscita pallina nera. F(x) = X P(X) 0,237 0,395 0,264 0,088 0,015 0,001 F(x) 0,237 0,632 0,896 0,984 0, se x < 0 0,237 se 0 x < 1 0,632 se 1 x < 2 0,896 se 2 x < 3 0,984 se 3 x < 4 0,999 se 4 x < 5 1 se x 5 L'evento in esame rientra nello Schema di Bernouilli o delle prove ripetute: p n,k = n k pk (1 p) n k con p=8/32=1/4, n=5 e k variabile da 0 (nessuna pallina nera) a 5 (tutte e cinque nere).

15 Distribuzione di Poisson Premessa: Quando si cerca il valore relativo alla probabilità ad un evento raro (con piccola probabilità) rispetto ad un numero molto elevato di prove (tutte effettuate nelle stesse condizioni), lo schema delle prove ripetute di Bernoulli risulta di difficile applicazione (per i calcoli coinvolti). In tale situazione torna utile una distribuzione come quella di Poisson che è un modello teorico per risolvere situazioni di questo tipo e che risulta una buona approssimazione di Bernoulli, specie se il numero n è grande. Si chiama anche distribuzione degli eventi rari. Definizione: Si dice che una V. C. discreta X ha DISTRIBUZIONE di POISSON se X descrive il numero di volte in cui si verifica un determinato fenomeno in un intervallo temporale o spaziale. I valori di X sono k=0, 1, 2, 3,, n e vale: dove λ corrisponde al Valor Medio ed anche alla Varianza della distribuzione, cioè λ=np, quando n è grande e p è piccolo. λè il numero medio di eventi per intervallo di tempo. P( X = k) = e λ λ k k!

16 Distribuzione di Poisson La distribuzione di Poisson: è definita per valori interi non negativi; è illimitata; approssima la distribuzione binomiale di parametri n e p, ponendo λ=np (n grande, p piccolo) Si dimostra che per una distribuzione di Poisson vale λ=m(x)=var(x). P( X = k) = e λ λ k k! All aumento del valore λ, la distribuzione della probabilità tende a diventare simmetrica attorno al valor medio.

17 Es.1 Distribuzione di Poisson Macchina produce pezzi difettosi con p=0,006. Su 500 pezzi, calcolare: 1. Nessun pezzo sia difettoso; 2. Risultino difettosi 3 pezzi 3. Risultino difettosi più di 5 pezzi Vale λ=np=500*0,006=3 1. P X = 0! 0,050 0! 2. P X = 3 3. ( ) = e P(X > 5) = 1 P(X 5) = = 1 (P X = 0 ( ) = e !! 0,224 ( ) + P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) + P( X = 4) + P X = 5 ( ))! 0,084

18 Es.2 Distribuzione di Poisson A uno sportello bancario arrivano in media 30 persone all ora. Calcolare la probabilità che in 5 minuti arrivino: 1. 4 persone; 2. Meno di 3 persone; 3. Più di 4 persone. Vale 30:60 =λ:5, cioè λ=2,5: P( X = 4) = e 2,5 2,5 4 4! P(X < 3) = P(X 2) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2)! 0,5438 = 54,38% P(X > 3) = 1 P(X 3) = 1 P X = 0 ( ) + P( X = 1) + P( X = 2) + P(X = 3)! 0,1336 ( )!

19 Es.3 Distribuzione di Poisson La distribuzione di Poisson è il modello adatto ad interpretare situazioni descritte da una v.c. binomiale di cui si conosce il valor medio ma non i valori esatti di n e di p (pur essendo possibile supporre n grande e p piccolo ) Al centralino di un Numero Verde, in un ora di punta, arrivano in media 60 chiamate. Qual è la probabilità che il numero effettivo di telefonate arrivate a quel centralino in un ora di punta sia 50? Si può ipotizzare che per la v.c. X che indica il numero effettivo di telefonate (come detto sopra ) sia caratterizzata da un n grande (molti potenziali utenti) e p piccolo (raramente un singolo utente chiama tale Numero Verde ). Allora il modello di Poisson è applicabile con λ=60: P( X = 50) = e !! 0,023 = 2,3% P( X = k) = e k k! In particolare: indica la probabilità che telefonino 50 persone a quel Numero Verde in un ora di punta. Nelle ipotesi di cui sopra, calcolare la probabilità che nei primi 5 minuti di un ora di punta arrivino più di 6 telefonate. Anche senza la proporzione (60 :5 =60Chiamate:Ychiamate), si hanno 5 chiamate in 5 minuti. Posso usare il modello di Poisson con λ=5 ( ) P Y = k P(Y > 6) = 1 P(Y 6) = 1 P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(Y = 4) + P(Y = 5) + P(Y = 6) 5 0 P(Y > 6) = 1 e 5 0! ! ! ! ! ! !! 0.23 ( ) = e 5 5 k k!