Statistica. Lezione : 17. Variabili casuali

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1 Corsi di Laurea: a.a Diritto per le Imprese e le istituzioni Scienze Internazionali dello Sviluppo e della Cooperazione Statistica Variabili casuali Lezione : 17 Docente: Alessandra Durio 1

2 Contenuti Definizione di variabile casuale Funzione di ripartizione V.c. Discrete: Funzione di distrubuzione di probabilità V.c. Continue: Funzione di densità di probabilità I momenti delle variabili casuali Docente: Alessandra Durio 2

3 Esempio introduttivo variabili casuali (i) Consideriamo l esperimento casuale si lancia una moneta due volte e si prende nota della faccia esposta verso l alto ad ogni lancio. L insieme dei possibili esiti è S = {e1 = T1T2, e2 = T1C2, e3 = C1T2, e4 = C1C2} Se la moneta è regolare possiamo supporre equiprobabili gli eventi elementari, cioè P(ei) = 1/4, con i = 1, A questo esperimento casuale è associata una scommessa tra un giocatore ed il Banco: il giocatore vince 10 euro nel caso si verifichi l evento e1 = T1T2 il giocatore perde 15 euro nel caso si verifichi l evento e2 = C1C2 il giocatore non vince e non perde alcuna somma nei restanti casi. Si rende necessario introdurre uno strumento che permetta di trattare tale aspetto monetario. Docente: Alessandra Durio 3

4 Esempio introduttivo variabili casuali (ii) Intuitivamente possiamo associare a ciascuno degli eventi elementari un numero che indica l ammontare di denaro che verrà incassato o sborsato in corrispondenza del verificarsi di quell evento e1=t1t2 +10 e2=t1c2 0 e3=c1t2 0 e4=c1c2 15 Ciò facendo, abbiamo definito un applicazione, che possiamo indicare con X, che ad ogni evento elementare dell insieme S associa uno ed un solo un numero reale X(ei) = x i. Data la natura casuale dell esperimento, i valori che possono essere assunti dall applicazione X sono anch essi numeri aleatori; X viene allora detta variabile casuale, nel seguito indicata semplicemente con v.c. Docente: Alessandra Durio 4

5 Definizione di variabile Casuale Dato lo spazio probabilizzato (Insieme dei possibili esiti S, Algebra A, Probabilità P) e lo spazio probabilizzabile (insieme dei numeri reali R, Algebra di Borel B) si dice variabile casuale una applicazione X : ( ) = x che ad ogni evento elementare ei di S associa un numero reale X e i detto realizzazione, o determinazione, della variabile casuale e tale che soddisfi la seguente proprietà di misurabilità: B B, S IR X 1 (B) = A A Docente: Alessandra Durio 5

6 Osservazioni: Il codominio R di una v.c. costituisce un nuovo spazio dei possibili esiti che riassume attraverso X lo spazio S associato all esperimento casuale. Perché si possa definire una misura di probabilità sul nuovo spazio dei possibili esiti, occorre associare ad esso un algebra che è l algebra di Borel per la quale vengono definiti eventi gli intervalli del tipo B =]a; b] e, per definizione, sono elementi dell algebra tutte le unioni, intersezioni e complementi degli intervalli come B. In sostanza una variabile casuale permette di trasportare la modellizzazione di un esperimento casuale in un nuovo ambiente. Sul nuovo spazio (insieme dei numeri reali R, algebra di Borel B) dobbiamo definire la probabilità indotta dall applicazione X in modo che questa sia strettamente legata alla misura di probabilità definita sullo spazio (insieme dei possibili esiti S, Algebra A): ( ) B B, P X (B) = P(X 1 (B)) = P { e i : X(e i ) B} Docente: Alessandra Durio 6

7 Esempio introduttivo variabili casuali (iii) l codominio del la variabile casuale X definita nell esempio introduttivo è costituito dal sottoinsieme di R { 15; 0; 10} Ha pertanto senso definire gli eventi: la somma incassata è pari a 10 euro, cioe` l intervallo degenere [10] la somma incassata non supera i 5 euro, cioè l intervallo aperto ] ; 5] la somma incassata è superiore o al più uguale a 0 euro, cioè l intervallo chiuso a destra ed aperto a sinistra [0; + [ la somma incassata è compresa tra 0 e 20 euro, estremi inclusi, cioè l intervallo chiuso [0; 20] P X (] ;5]) = P ({ e i : X(e i ) ] ;5] }) = P { e 4, e 3, e } 4 ( ) = 3 4 In modo analogo si determinano le probabilità indotte per tutti gli altri eventi OSSEVIAMO che la misura di probabilità indotta da P sarà interamente determinabile a partire dalla conoscenza della P X in corrispondenza alle determinazioni della v.c. X cioè ai punti 15, 0, 10 Docente: Alessandra Durio 7

8 Contenuti Definizione di variabile casuale Funzione di ripartizione V.c. Discrete: Funzione di distrubuzione di probabilità V.c. Continue: Funzione di densità di probabilità I momenti delle variabili casuali Docente: Alessandra Durio 8

9 Funzione di ripartizione La modellizzazione di un esperimento casuale con l introduzione delle variabili casuali consente di operare con strumenti matematici che rendono più semplice e generalizzabile lo studio dei fenomeni casuali. Con la definizione di funzione di ripartizione introduciamo uno strumento analitico che permette di valutare agevolmente la probabilità che una variabile casuale assuma valori non superiori ad una data soglia. F(x) = P X (] ;x]) = P { e i : X(e i ) x} ( ) = P(X x) La funzione di ripartizione (brevemente f.d.r) di una generica v.c. X esprime, per ogni valore x dell asse reale, la massa di probabilità cumulata nell intervallo ], x]. Docente: Alessandra Durio 9

10 Esempio introduttivo Funzione di ripartizione Con riferimento all esempio del lancio delle due monete, la funzione di ripartizione della variabile casuale X risulta essere definita come segue: In questo caso la funzione di ripartizione assume un andamento a scalini e presenta dei salti in corrispondenza ai punti di discontinuità 15, 0, 10 Docente: Alessandra Durio 10

11 Proprietà della Funzione di ripartizione ha codominio [0; 1] e tende a 0 per x che tende a - e tende a 1 per x che tende a è continua a destra monotona non decrescente per ogni a, b R con a < b, la misura di probabilità indotta P X e la funzione di ripartizione sono legate in modo univoco dalla relazione: P X (]a;b]) = P X (] ;b]) P X (] ;a]) = F(b) F(a) Se conosciamo la funzione di ripartizione di una v.c. siamo in grado dunque di determinare la probabilità di qualunque evento. Inoltre: le variabili casuali vengono definite di tipo continuo o discreto a seconda della natura della loro funzione di ripartizione Docente: Alessandra Durio 11

12 Contenuti Definizione di variabili casuali Funzione di ripartizione V.c. Discrete: Funzione di distrubuzione di probabilità V.c. Continue: Funzione di densità di probabilità I momenti delle variabili casuali Docente: Alessandra Durio 12

13 Definizione di v.c. discreta e funzione di distribuzione di probabilità La v.c. X è detta discreta se la sua funzione di ripartizione è continua a tratti e possiede punti di discontinuità in corrispondenza alle sue determinazioni Per una v.c. discreta è possibile definire la funzione di distribuzione di probabilità p(x), la funzione che ad ogni determinazione x i associa la probabilità p(x i ) che la variabile X assuma tale valore. La probabilità p(x i ) si ottiene dalla funzione di ripartizione come limite per h che tende a zero della differenza tra F(x i ) e F(x i -h) Per questa la relazione tra funzione di distribuzione di probabilità e funzione di ripartizione si ha che nota la prima è possibile ricavare la seconda e viceversa. Infatti, qualunque sia x R vale l uguaglianza F(x) = P X (] ;x]) = p(x i ) x i x Docente: Alessandra Durio 13

14 Esempio introduttivo Funzione di distribuzione di probabilità Con riferimento all esempio del lancio delle due monete, la funzione di distribuzione di probabilità della variabile casuale X che descrive il gioco è: Osserviamo che la somma di tutte le p(x i ) è uguale a 1 3 p(x i ) =1/4 +1/2 +1/4 =1 i=1 Questo è un risultato che può essere esteso a qualsiasi variabile casuale di tipo discreto. Docente: Alessandra Durio 14

15 Esempio riassuntivo variabili casuali discrete Si immagini di disporre di un urna contenente quattro palline indistinguibili al tatto e numerate progressivamente a partire da 1 e che, di fronte al semplice esperimento casuale estrazione di una pallina dall urna, si sia interessati alla probabiltà, ad esempio, all evento A : {il # impresso sulla pallina estratta è il 2 o il 3}. Se introduciamo la v.c. X = {# impresso sulla pallina estratta}, tale v.c. ha dominio l insieme S = {e j = j} j=1,...,4 e codominio l insieme degli interi {x i = i} i=1,...,4. e la sua funzione di distribuzione di probabiltà è: La probabilità dell evento A si può calcolare con la f.di distribuzione di probabilità: P(A) = P(X = 2) + P(X = 3) = p(x 2 ) + p(x 3 ) = 2/4 = 0.5 oppure con la funzione di ripartizione: Docente: Alessandra Durio 15

16 Contenuti Definizione di variabili casuali Funzione di ripartizione V.c. Discrete: Funzione di distrubuzione di probabilità V.c. Continue: Funzione di densità di probabilità I momenti delle variabili casuali Docente: Alessandra Durio 16

17 Definizione di v.c. continua e funzione di densità di probabilità Quando il codominio di una variabile casuale ha la potenza del continuo la massa di probabilità si distribuisce su di esso e la funzione di ripartizione cresce in modo continuo, tra zero ed uno, al tendere di x all infinito; in tali casi si parla di v.c. continue. Se esiste una funzione reale non negativa che descrive come si distribuisce su R la massa di probabilità definita da P X, allora tale funzione, detta densità di probabilità, coincide, quasi ovunque, con la derivata della funzione di ripartizione e la variabile casuale che la ammette è detta continua. Se la v.c. X è continua allora la funzione di ripartizione è derivabile e la sua derivata coincide quasi ovunque con la funzione di densità di probabilità: Docente: Alessandra Durio 17

18 Funzione di densità di probabilità: area e probabilità In altri termini, possiamo dire che l area sottesa alla funzione f(x) in un intervallo ]a; b] rappresenta la probabilità che la v.c. X assuma valori appartenenti all intervallo stesso. Docente: Alessandra Durio 18

19 Esempio riassuntivo variabili casuali continue Si immagini che ad un dato esperimento casuale sia associata la variabile casuale continua X con funzione di densità di probabilità Integrando tra zero e x otteniamo la corrispondente funzione di riapartizione: Per esercizio: verificare che la funzione f(x) è effettivamente una funzione di densità di probabilità in quanto, entro il suo dominio di definizione (l intervallo reale [0; 2]), è non negativa e l area ad essa sottesa è unitaria Calcolare la P(0.5<X<1.5) Docente: Alessandra Durio 19

20 Contenuti Definizione di variabili casuali Funzione di ripartizione V.c. Discrete: Funzione di distrubuzione di probabilità V.c. Continue: Funzione di densità di probabilità I momenti delle variabili casuali Docente: Alessandra Durio 20

21 Definizione di Momento di ordine r di una v.c. X Data una v.c. X si dice momento di ordine r (con r=0,1,2, ) il numero reale risultante da: & ( E[X r ] = ' ( ) i R x i r p(x i ) x r f (x)dx Il momento di ordine r=1 si dice media di X (o valore atteso) Il momento di ordine r=2 è utile per il calcolo della varianza di X se X è una v.c. Discreta se X è una v.c. Continua & ( µ = E[X] = ' )( & ( µ 2 = E[X 2 ] = ' )( i R i R x i p(x i ) x f (x)dx x i 2 p(x i ) x 2 f (x)dx se X è una v.c. Discreta se X è una v.c. Continua se X è una v.c. Discreta se X è una v.c. Continua La VARIANZA di X è definita come: σ 2 = V[X] = E[(X E[X]) 2 ] Ma si può calcolare facendo la differenza di due momenti: V[X] = E[X 2 ] ( E[X] ) 2 Docente: Alessandra Durio 21

22 Esempio di calcolo di media e varianza di una v.c. X Quale esperimento casuale si consideri il lancio di una moneta regolare ripetuto tre volte, il cui insieme dei possibili esiti è: S={TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC,CCC} Se introduciamo la v.c. X = {numero di Teste ottenute nella sequenza}, è facile notare che si tratta di una variabile casuale di tipo discreto che assume i valori interi 0, 1, 2, 3. Tale v.c. possiede la seguente distribuzione di probabilità La media di X: Il momento secondo: " x i % " # & = % # $ p(x i )' $ 1/8 3/8 3/8 1/8 & ' i=1,2,3,4 4 E[X] = x i p(x i ) = =1.5 = µ i=1 4 E[X 2 ] = x 2 i p(x i ) = = 3 i=1 E da questi due ricaviamo la varianza di X: V[X] = E[X 2 ] ( E[X] ) 2 = = 0.75 = σ 2 Docente: Alessandra Durio 22

23 Concetti Introdotti Variabile cauale Funzione di ripartizione di una variabile casuale Funzione di probabilità per variabili casuali discrete Funzione di densità di probabilità per variabili casuali continue Momenti di variabili casuali: valore atteso (media), varianza Docente: Alessandra Durio 23