Modelli di probabilità

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1 Modelli di probabilità Corso di STATISTICA Ordinario di, Università di Napoli Federico II Professore supplente, Università della Basilicata a.a. 0/0 Obiettivo dell unità didattica Definire i concetti di base sulla teoria delle variabili casuali e dei modelli di probabilità discreti e continui Contenuti Definizione di variabile casuale Modelli discreti di probabilità Modelli continui

2 Variabile Casuale Una Variabile Casuale è una regola (funzione reale) che associa ad E (evento elementare di S) uno ed un solo numero reale Per ogni Evento dello Spazio Campionario la v.c. X assume il valore reale x E E E 3 E 6 E 5 E 4 S x x 3 3 x R Il ruolo delle variabili casuali La prova ha dato quel particolare risultato La v.c. X ha generato quel particolare valore x Sarà possibile associare una misura di probabilità allo spazio numerico della v.c. utilizzando la misura di probabilità definita sui sottoinsiemi dello spazio campionario S. "Si verifica l'evento E con probabilità P(E)" "La v.c. X assume il valore x con probabilità P(x)" 4

3 Le variabili discrete Una v.c. X è una variabile che assume valori nello spazio dei numeri reali secondo una funzione di probabilità P(X). S E X(E) P[X(E)]! Rappresentazione grafica dello schema di costruzione di una v.c. discreta 0 5 Esempio: estraendo casualmente una famiglia con 3 figli e annotando il genere (Maschio, Femmina) dei 3 figli, i possibili risultati della prova sono: E E E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 E 8 S={MMM,MMF,MFM,FMM,MFF,FMF,FFM,FFF} /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 Definiamo la variabile casuale X= numero dei figli maschi { E8} { E5 E6 E7} { E E3 E4} { E } X 0 3 p i /8 3/8 3/8 /8 6 3

4 Schematicamente Esempi di prove: lancio di un dado, di una moneta, estrazione di un numero al lotto. Ai k eventi possibili risultati di una prova, si associano k valori della v.c. a cui sono associate le corrispondenti probabilità. Eventi v.c.x P(X) E E E 3 x x x 3 p p p 3 E k x k p k 7 Tipi di variabili casuali Il modello di probabilità è una esemplificazione della realtà e può essere descritto da una v.c. v.c. Discrete Continue In natura discretizzate 8 4

5 variabili casuali discrete Una Variabile Casuale è nota se conosciamo la sua distribuzione di probabilità I valori della v.c. possono essere arbitrari, mentre le probabilità non possono essere arbitrarie perché: # % $ & p i! 0 i =,!, k " p i = % 9 Una variabile casuale discreta può essere rappresentata graficamente p i x x x 3 x i 0 5

6 Valore atteso e varianza di una v.c. discreta Si definisce valore atteso di una v.c. X discreta: E(X) = k! i= x i p i Si definisce varianza di una v.c. X discreta: var(x) = k " i= ( x i! E ( X) ) p i v.c Uniforme discreta La prova che genera una v.c. Uniforme discreta si può assimilare all estrazione di una pallina da un urna che contiene k palline identiche e numerate da a k. Ogni pallina ha la stessa probabilità di essere estratta. Esempi di prove: lancio di un dado, estrazione di una carta da un mazzo Si definisce quindi v.c. Uniforme discreta, la variabile X che assume valori x=,,,k con probabilità costante pari a /k. Essa si indica con X~Ud(k) con P(X=x)=/k per ogni x=,,,k. La v.c. Ud è simmetrica, non presenta moda e possiede media e varianza pari a: E(X)=(k+)/ Var(X)=(n -)/ 6

7 Esempio 3 v.c. Bernoulliana La v.c. di Bernoulli trae origine da una prova nella quale interessa verificare esclusivamente se un evento E si verifica (successo) oppure no (insuccesso). Si è in presenza di un modello bernoulliano ogni qual volta è possibile dicotomizzare (suddividere in due) i possibili esiti di una prova: Esempi: il verificarsi di testa o di croce nel lancio di una moneta, l estrazione di una pallina bianca o nera da un urna che ne contiene di bianche e nere, il verificarsi di un punteggio superiore al 5 nel lancio di un dado oppure inferiore o uguale a 5, etc. La v.c. di Bernoulli X assume valore (il successo ) con probabilità π (pi greco) e valore 0 (l insuccesso ) con probabilità - π, quale possibili esiti di una prova Essa si indica con X~B(,π) con P(X=x)= π x (- π) -x per x=0,. La v.c. di Bernoulli possiede media e varianza pari a: E(X)= π (la media coincide con la probabilità di successo) Var(X)= π(- π) (può assumere valori compresi tra 0 e 0,5, questo ultimo nel caso di massima incertezza) 4 7

8 Esempio 5 v.c. Binomiale Se si ripete, per n volte e nelle medesime condizioni, lo schema successo-insuccesso della v.c. di Bernoulli, si genera una sequenza di n sottoprove indipendenti a ciascuna delle quali si può associare una v.c. di Bernoulli. Tale modello prende il nome di v.c. Binomiale e può essere intesa come una somma di n v.c. bernoulliane. Esempio: nel lancio n volte di una moneta si è interessati al numero di volte in cui esce testa. La v.c. Binomiale rappresenta il numero di successi che si verificano in una sequenza di n sottoprove indipendenti nelle quali è costante la probabilità π di successo. La v.c. binomiale dipende da due parametri, il numero n delle sottoprove e la probabilità π. Essa si indica con X~B (n,π) con ( ) = P X = x La v.c. Binomiale possiede media e varianza pari a:! # " n x $ &! x '! % ( ) n'x per x=0,,,,n. E(X)= n π Var(X)= n π(- π) (n volte la media della bernoulliana) (n volte la varianza della bernoulliana) 6 8

9 Esempio 7 Condizioni di applicazione del modello binomiale La v.c. binomiale trova applicazione in prove dove sono verificate le seguenti condizioni: la prova è composta da n sottoprove indipendenti ovvero, il risultato di una sottoprova non modifica la probabilità della successiva. ogni sottoprova è svolta sempre nelle medesime condizioni ovvero, la probabilità π del successo (in una singola sottoprova bernoulliana) è costante in tutte le n sottoprove. 8 9

10 Variabili Casuali continue Ammette infiniti valori, quindi non è possibile attribuire le singole probabilità ad ogni x. Si associa ad ogni intervallo una funzione f(x) detta funzione di densità. 9 f(x) Attenzione, f(x) non è la probabilità!!!!!! X f(x) è proporzionale (a meno di un infinitesimo) alla probabilità di un intervallo sufficientemente piccolo 0 0

11 Se X è una variabile casuale che assume valori in [a,b], essa è definita se: P f ( x) tale che per ogni x 0 ( a, b) ( x0 X xo + dx) = f ( x0 )dx ( x) Esiste la f b f a ( x) 0 Per ogni x tale che a < x < b dx = Calcolo delle probabilità per v.c. continue P x! X! ) = P X x ) P( X ) = ( 0 x ( x0 = F( x ) F( x0) f (x) x0 x x

12 Valore atteso e varianza di una v.c. continua Si definisce valore atteso di una v.c. X continua: E(X) = b! x f ( x) dx a Si definisce varianza di una v.c. X continua: var(x) = b " ( x! E(X) ) f ( x)dx a 3 Molti fenomeni della realtà si distribuiscono secondo il modello della curva Normale X~ N µ,! ( ) -c c f ( M e c) = f ( M c) f è simmetrica e M 0 = M e M 0 < M e < µ = µ! asimmetria positiva (destra) µ < M e < M 0! asimmetrianegativa (sinistra) 4

13 Equazione della funzione Normale o di Gauss f ( x; µ ; σ ) = σ σ Π e X µ per ogni x tale che < x < + 5 Una curva Normale è completamente rappresentata da µ e σ Gode si simmetria rispetto a µ Ha forma campanulare Le ascisse dei punti di flesso sono in Gli estremi della curva sono asintotici µ ± σ 6 3

14 La conoscenza di un modello teorico corrispondente ad una distribuzione empirica consente: Regolarizzare un istogramma Ricostruire dati mancanti Confrontare istogrammi basati su classi di diversa ampiezza Descrivere sinteticamente i dati con i parametri del modello E possibile ricostruire le frequenze teoriche nˆi relative ad Una certa classe x i, x i + semplicemente integrando la funzione Normale su detto intervallo 7 v.c. Normale Standardizzata X~N(0,) ( µ, ) ( 0, ) Se µ = 0 eσ = N σ = Z f Z ( z) z e Π = z + ( µ,σ ) Relazione tra N e Z( 0, ) µ = X σ X = µ + Zσ 8 4

15 X distribuzione normale Z = X µ σ,5,5 3 3,5 4 Distribuzione normale standardizzata X = µ + Zσ N(0,) 0 9 P z ( Z < z) = φ( z) = f ( y)dy Esistono le tavole dei valori di probabilità!! φ φ ( z) = φ( z) φ( z) = φ( z) ( 0) = 0. 5 φ φ φ = z z 0 z z z 30 5

16 P ( X x) P Z X µ x = P σ x µ x µ = φ σ σ µ σ = 3 σ σ M e = M0 = µ ) Se σ la curva si appiattisce σ la curva si allunga Se ) M µ M e 0 3 6

17 µ µ + σ 3) σ e sono due flessi 4) f ( µ x) = f ( µ + x) 5) L intervallo µ σ, µ + σ comprende il 50% delle osservazioni 3 3 L intervallo µ σ, µ + σ comprende il 68% delle osservazioni L intervallo µ σ, µ + σ comprende il 95% delle osservazioni L intervallo µ 3 σ, µ + 3σ comprende il 99.7% delle osservazioni 33 6) Per x = µ f ( µ ) = max Πσ = 7)Per e x f ( x) = 0 x + 8) Se X ( µ, ) ~ N σ ( aµ b, a ) ax + b ~ N + σ con a,b costanti reali. Cioè ogni trasformazione lineare di X sarà ancora Normale 34 7

18 Trasformazioni della v.c. Normale v.c. Chi-quadrato con g gradi di libertà: La somma dei quadrati di g v.c. normali standardizzate e indipendenti v.c. F-Snedecor Fisher con g e h gradi di libertà: Il rapporto tra due v.c. Chi-quadrato, indipendenti tra loro, ciascuna rapportata ai propri gradi di libertà, g ed h. v.c. t-student con g gradi di libertà: Il rapporto tra una v.c. normale standardizzata ed un Chi-quadrato con g gradi di libertà, tra loro indipendenti. 35 Diseguaglianza di Cebicev La disuguaglianza di Cebicev è uno dei risultati più notevoli del calcolo delle probabilità. La disuguaglianza afferma che, per ogni v.c. X che E(X)=µ e Var(X) =σ <+, si ha: P( X- µ )<є) -(/ є ) per ogni є>0. Ponendo є σ=k, la disuguaglianza si può esprimere nel seguente modo: P( X- µ )<k) -(σ / k ) per ogni k>0. In altre parole, l importanza di questo risultato risiede nel fatto che, noti i momenti primo e secondo di una v.c. X, è sempre possibile trovare un limite inferiore alla probabilità che la variabile assuma valori compresi in un intervallo [µ-є σ; µ+є σ]. Ciò anche quando è ignota la funzione di probabilità della variabile casuale!!! 36 8

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