ANNO ACCADEMICO 2015/2016 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA IV appello 1/6/2017 1

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1 ANNO ACCADEMICO 205/206 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA IV appello /6/207 Esercizio. Ho tre monete, A, B e C, apparentemente identiche ma tali che: A dà testa in media 4 volte in 0 lanci B dà croce in media volte in 0 lanci C è equilibrata () Si lancia ognuna delle monete una volta. Detta X la v.a. che conta il numero di volte che è uscito testa, determinare la media, la varianza e la legge di X. (2) Si mette da parte una a caso delle tre monete e si lanciano le altre due. Qual è la probabilità di ottenere testa in entrambi i lanci? Qual è la probabilità che la moneta messa da parte fosse C, sapendo che si è ottenuto testa in entrambi i lanci? Esercizio 2. Sia f : R R la funzione definita da f(x) = x 4x + 2. () Disegnare approssimativamente il grafico di f, dire se è iniettiva e determinare l immagine di f. (2) Scrivere l equazione della retta t tangente al grafico di f per x =. Dire in quanti punti t interseca il grafico di f. () Al variare di c R, dire per quanti valori x R la retta tangente al grafico di f nel punto ( x, f( x)) è parallela alla retta di equazione y + cx c + 2 = 0. Esercizio. Sia f : R \ {π} R la funzione definita da f(x) = x π. () Mostrare che f può essere estesa a una funzione continua f : R R (2) Determinare l insieme dei punti di R in cui f è derivabile e calcolare f in tali punti. Esercizio 4. Calcolare il seguente integrale improprio: + (2x + )2 x dx. Durata: 2 ore e 0 minuti.

2 2 SOLUZIONI Esercizio ) Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di uscite di testa della moneta A, X 2 la variabile aleatoria che conta il numero di uscite di testa della moneta B, X la variabile aleatorie che conta il numero di uscite di testa della moneta C. Per ogni i, la variabile X i è una bernoulliana di parametro p i con Sia X = X + X 2 + X. Allora p = 4 0 = 2 5 ; p 2 = 7 0 ; p = 2. E[X] = E[X ] + E[X 2 ] + E[X ] = p + p 2 + p = = 2 0 = 8 5. Poiche le X i sono indipendenti, abbiamo Var[X] = Var[X ] + Var[X 2 ] + Var[X ] = = = = ) Siano A l evento viene messa da parte la moneta A, B l evento viene messa da parte la moneta B, C l evento viene messa da parte la moneta C, D l evento ottengo due teste nei due lanci. P[D] = P[D A]P[A]+P[D B]P[B]+P[D C]P[C] = = = Esercizio 2 P[C D] = P[D C] P[C] P[D] = = ) Il dominio della funzione è tutto R. Il comportamento al ite e il seguente: x + x 4x + 2 = + ; Calcoliamo la derivata: e studiamo la crescenza: da cui x x 4x + 2 =. y = x 2 4 x 2 4 > 0, x < 2 x > 2.

3 Abbiamo dunque un massimo relativo in x = 2 e un minimo relativo in x = 2. Un grafico approssimato è il seguente: Dal grafico deduciamo che la funzione non è iniettiva e la sua immagine è tutto R. 2) Il coefficiente della retta tangente in x = e dato da m = f ( ) = 4 =. La retta tangente e data da ovvero y f( ) = (x + ) y = x + 4. I punti di intersezione tra t e il grafico di f sono le soluzioni del sistema: y = x + 4, y = x 4x + 2. Einando la variabile y otteniamo l equazione: x x 2 = 0, che sappiamo ammettere x = come soluzione. Quindi per il teorema di Ruffini x x 2 è divisibile per x + e facendo la divisione si ottiene: x x 2 = (x + )(x 2 x 2) = (x + ) 2 (x 2). Quindi i punti di intersezione di t con il grafico di f corrispondono a x = e x = 2, e sono quindi 2.

4 4 ) Il coefficiente angolare della retta y + cx c + 2 = 0 e c. Dobbiamo dunque porre x 2 4 = c, ovvero x 2 = 4 c. Questa equazione ammette: se 4 c > 0, ovvero c < 4, due soluzioni distinte; se 4 c = 0, ovvero c = 4, un unica soluzione; se 4 c < 0, ovvero c > 4, nessuna soluzione. Esercizio ) Calcoliamo il ite in π: x π x π = 0 0 ; applichiamo il teorema di De l Hospital e otteniamo x π x π = cos x x π x 2 = π 2 Possiamo quindi estendere f a una funzione continua in x = π ponendo f(π) = π 2. Sull insieme R {π}, che è unione di intervalli aperti di R, la funzione f coincide con f, che è continua in quanto è rapporto di funzioni elementari. 2) La funzione f coincide R {π}, che è unione di intervalli aperti di R, con un rapporto di funzioni elementari, ed è quindi ivi derivabile con derivata: Vediamo il comportamento in π. Il ite f (x) = cos x (x π ) x 2 (x π ) 2 f cos x (x π ) x 2 (x) = x π x π (x π ) 2 è una forma indeterminata 0 0. Applicando il teorema di De l Hospital e ricordando il ite calcolato in precedenza otteniamo: cos x (x π ) x 2 (x π ) + cos x x 2 6x x 2 cos x x π (x π ) 2 = x π 2(x π ) x 2 (x π + 6x) x + π 6x) = x π 2(x 5 π x 2 = ) x π 6x 2 x π = π π 2 = π. La funzione risulta quindi derivabile anche in x = π e la derivata in tale punto è uguale a π. Esercizio 4 Calcoliamo come prima cosa l integrale indefinito: (2x + )2 x dx = 2x2 x dx + Per quanto riguarda il secondo integrale abbiamo: 2 x dx

5 5 2 x dx = 2 x ln 2 + c, c R Esaminiamo il primo procedendo per parti: 2x2 x dx = 2 x ln 2 2x x 2 x dx = 2 x 2x 2 ln 2 ln 2 (ln 2) 2 + c, Otteniamo dunque c R + (2x + )2 x dx = b 2 ln 2 + (ln 2) 2 2 (ln 2) 2 ] b [ (2x + 2) 2 x ln x (ln 2) 2 = b 2 b [(b + ) ln 2 + ]. Il ite b 2 b [(b + ) ln 2 + ] è una forma indeterminata + +, che può essere risolta con una facile applicazione del teorema di de L Hospital, mostrando che il risultato è 0. Si ha finalmente: + (2x + )2 x dx = 2 ln 2 + (ln 2) 2.