Lezione 16 (18 dicembre)

Transcript

1 Lezione 16 (18 dicembre) Funzione logaritmica Funzioni crescenti e decrescenti Funzioni e traslazioni Funzioni pari e dispari Funzioni iniettive, suriettive, bigettive

2 Grafico della funzione logaritmica

3 Esercizi sulle funzioni logaritmiche Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f x = log 3 x e la retta di equazione y = 0. Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f x = log 3 x e la retta di equazione y = 1. Dire per quali valori di x il grafico della funzione f x = log 2 x sta al di sopra della retta di equazione y = 3. Dire per quali valori di x il grafico della funzione f x = log1 2 equazione y = 3. x interseca la retta di Dire per quali valori di x la funzione f x = log1 x assume valori minori di 3. 2

4 Esercizi per casa Stabilire per quali valori di x il grafico di f x = 1 3 equazione y = 2. x sta al di sotto della retta di Stabilire per quali valori di x il grafico di f x = e x sta al di sopra della retta di equazione y = 2. Stabilire per quali valori di x il grafico di f x = log1 3 equazione y = 2. x sta al di sopra della retta di Stabilire per quali valori di x il grafico di f x = ln x sta al di sotto della retta di equazione y = 2.

5 Esercizi per casa Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f x = 1 3 interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 4. Per quali valori di x, la funzione assume valori minori di 3? x

6 Esercizi per casa Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f x = e x e la retta di equazione x = 2. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f x = e x interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3. per quali valori di x la funzione assume valori maggiori di 5

7 Esercizi per casa Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f x = log 3 x e la retta di equazione x = 9; x = 0. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f x = log 3 x interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3. Per quali valori di x, la funzione assume valori maggiori di 2?

8 Esercizi per casa Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione f x = log1 x e la retta 3 di equazione x = 9; x = 0. Stabilire per quali valori di x il grafico della funzione f x = log1 3 interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2. sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3. Per quali valori di x, la funzione assume valori maggiori di 2? x

9 Problema 1 Supponiamo che p t = 20 + e 3t sia la legge che descrive la numerosità di una popolazione al variare del tempo t misurato in mesi. 1. Quanti sono gli individui dopo 2 mesi? 2. Dopo quanto tempo la popolazione raggiunge gli 80 esemplari? 3. Dopo quanto tempo la popolazione supererà i 450 esemplari? Ris: 1. p 2 = 20 + e = e 3t = 80 t 1, e 3t > 450 t > 2

10 Problema 2 Supponiamo che T t = log 2 (t + 1) + 20 sia la legge che descrive la variazione di temperatura in un ambiente in un periodo di tempo t 0,60 minuti. 1. Qual è la temperatura iniziale? 2. Dopo quanto tempo la temperatura supera i 22 gradi? Risultati: 1. T 0 = log 2 (0 + 1) + 20 = log 2 (t + 1) + 20 > 22 t > 3

11 Funzioni iniettive e funzioni suriettive Una funzione f: A B si dice iniettiva se o equivalentemente x 1, x 2 A, x 1 x 2 f x 1 f(x 2 ) x 1, x 2 A, f x 1 = f x 2 x 1 = x 2 Osservazione: Una funzione strettamente monotona su tutto il suo dominio è iniettiva. Una funzione f: A B si dice suriettiva o surgettiva se b B a A: b = f a o equivalentemente se f A = B, ovvero se l immagine coincide col codominio. Una funzione f: A B si dice biiettiva o bigettiva o corrispondenza biunivoca se f è iniettiva e suriettiva.

12 Esercizio Dire se le seguenti funzioni sono uguali. f 1 : R R f 2 : [0, + ) R x x 2 x x 2 f 3 : [0, + ) [0, + ) f 4 : Z Z x x 2 x x 2 f 5 : N Z f 6 : N N x x 2 x x 2 Dire se le funzioni sono iniettive e/o suriettive. f 1, f 4 né iniettiva né suriettiva; f 2, f 5, f 6 iniettiva e non suriettiva; f 3 bigettiva

13 Funzioni e Traslazioni Sia data la funzione f(x) e sia noto il suo grafico, allora Il grafico di f x + y 0 si ottiene traslando il grafico di f(x) verso l alto di y 0 unità Il grafico di f x y 0 si ottiene traslando il grafico di f(x) verso il basso di y 0 unità Il grafico di f x x 0 si ottiene traslando verso destra il grafico di f(x) Il grafico di f x + x 0 si ottiene traslando verso sinistra il grafico di f(x) Esempi: Determinare Dominio e Immagine delle seguenti funzioni: f x = x 2 f x = x 2 3 f x = x 3 2 f x = 3 x f x = 3 x + 2 f x = 3 x+2 f x = log 2 x f x = log 2 x 2 f x = log 2 (x 2)

14 Funzioni crescenti e decrescenti Data una funzione f: D R, con D R, essa è (monotona) crescente se x 1, x 2 D: x 1 < x 2 f x 1 f(x 2 ) strettamente crescente se x 1, x 2 D: x 1 < x 2 f x 1 < f(x 2 ) decrescente se x 1, x 2 D: x 1 < x 2 f x 1 f(x 2 ) strettamente decrescente se x 1, x 2 D: x 1 < x 2 f x 1 > f(x 2 ) Osservazione: Una funzione strettamente monotona su tutto il suo dominio è iniettiva.

15 Esercizio su monotonia e iniettività Date le funzioni f x = 2x + 1 f x = x f x = x + 1 f x = 2 x f x = log 2 x f x = cos x f x = sin x f x = tan x f x = cot x x se x [2, + ) f x = 2 se x 0, 2 f x = x 2 x + 2 se x (, 0] individuare gli intervalli in cui le funzioni sono crescenti e decrescenti dire se sono iniettive nel loro dominio dire, dopo averne determinato l immagine, se sono suriettive considerando R come codominio.

16 Esercizi per casa Disegnare i grafici delle seguenti funzioni e determinare l immagine delle funzioni dal grafico. x 2 se x 4 f x = ቊ x 2 3 se x < 4 x se x 0 f x = ቊ 3 se x < 0 2 se x 1 f x = ቊ log x se x > 1 e x + 1 se x > 0 f x = ቐ 5 se x = 0 x + 1 se x < 0

17 Esercizi per casa Si determini dominio e immagine delle seguenti funzioni. f x = 3x f x = 3x 2 f x = x + 1 f x = x + 1 f x = x f x = x 2 2 f x = cos x + 2 f x = (x 1) 2 f x = cos x + π 2 f x = log x + 1 f x = sin x + 2 x+1 f x = 1 2 f x = sin x + π 2