Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x. (ad un numero reale associo. il suo inverso). 2 2/3... e... 0.

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1 FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. PSfrag replacements X Y Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : = 1 (ad un numero reale associo il suo inverso) /3... e... 0 = 1/ 1/4 1/ 2 3/2... 1/e...? Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.1/31

2 Def. L insieme degli X a cui f associa uno e un solo elemento PSfrag Y è detto replacements dominio di f e si indica con domf. Si ha domf X e si scrive: f : domf X Y. imf X domf Y N.B. domf è l insieme degli X per i quali la corrispondente sta in Y. Es. f() = 1/ con X = Y = R. Se 0 = 1/ R 1 MA R, QUINDI domf = R \ {0} = (, 0) (0, + ). 0 Oss. domf, f associa ad uno e un solo elemento Y. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.2/31

3 Def. L unico elemento Y associato ad un elemento domf si PSfrag dice immagine replacements di attraverso f e si scrive = f() (oppure f : = f()). X domf Y = f() Def. L insieme imf = { Y : domf : = f()} è detto immagine di f. Si ha l inclusione: imf Y. Es. f() = 1/ con X = Y = R. = 1/4 è l immagine di = 4 mediante f. L insieme immagine è: imf = R \ {0}. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.3/31

4 Def. L insieme G(f) = {(, ) domf, e = f() imf} X Y è detto grafico di f. Es. f() = 1/ con X = Y = R. X Y = R R = R 2 = piano cartesiano. G(f) = {(, ) R 2 : = 1/} Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.4/31

5 Def. Una funzione si dice reale se Y = R. Def. Una funzione si dice a variabile reale se X = R. Il grafico di una funzione reale a variabile reale è l insieme dei punti (, ) del piano cartesiano tali che = f(). Es. f : R R: f() = 2 PSfrag replacements R = Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.5/31

6 Successioni Def. Una successione è una funzione reale (Y = R) a variabile naturale, ovvero X = N: a : N R : n = a(n) = a n. Il dominio di una successione è del tipo {n N, n n 0 } con n 0 un opportuno numero naturale. Es. a n = 1 n, in questo caso n 0 = 1. Es. a n = n + 1 n 2, in questo caso n 0 = 3. Es. a n = ( 1) n, in questo caso n 0 = 0. Es. Il fattoriale di n: a n = n!, n N. 0! := 1, n! := n (n 1)! = n (n 1) (n 2) Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.6/31

7 Confronto tra f() = 1/ e a n = 1/n f() = 1/ a n = 1/n eplacements domf = { R, 0}, doma = {n N, n 1} Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.7/31

8 Controimmagine Def. Sia Y, la controimmagine di attraverso f è l insieme f 1 () = { domf : f() = } domf. Es. Considerando la funzione di prima f() = 1, la controimmagine del valore = 3 è f 1 (3) = { R \ {0} : 1/ = 3} = {1/3} La controimmagine di = 0 è f 1 (0) = { R \ {0} : 1/ = 0} = Non c è alcun valore reale tale che 1/ = 0. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.8/31

9 Es. f : R R, f() = 2, domf = R, imf = { R : 0} = [0, + ). ments 4? f 1 (4) = f() = f 1 (4) = { R : 2 = 4} = { 2, 2} Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.9/31

10 f suriettiva Def. Una funzione si dice suriettiva se imf = Y, ovvero se ogni elemento di Y ha per controimmagine un insieme non vuoto, ovvero ogni elemento di Y è l immagine di almeno un elemento di domf. Esempi ments PSfrag replacements = f() 1 = f() SURIETTIVA: imf = Y = R NON SURIETTIVA: imf = R + {0}, Y = R Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.10/31

11 f iniettiva Def. Una funzione si dice iniettiva se ogni elemento di imf è immagine al piú di un elemento di domf, o equivalentemente se 1, 2 domf, 1 2 f( 1 ) f( 2 ). Esempi ments PSfrag replacements = f() = f() INIETTIVA: f 1 ( 1 ) = { 1 } NON INIETTIVA: f 1 ( 1 ) = { 1, 2, 3 }, o f( 1 ) = f( 2 ) = f( 3 ) = 1 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.11/31

12 f biettiva Def. Una funzione f si dice biunivoca o biettiva se è sia iniettiva che surettiva, ovvero ogni elemento Y è immagine di uno e uno solo elemento domf. Osservazione: Sia D = domf R e Y = R. Se invece di considerare f : D R, consideriamo f : D imf, si ha che f è suriettiva (facciamo coincidere il codominio con imf). Per definizione di imf, ad ogni elemento imf corrisponde almeno un elemento D : = f(). Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.12/31

13 Sia D = domf R. Considero una funzione f : D imf. Def. Se una funzione f è iniettiva sul suo dominio, possiamo costruire una funzione che ad ogni elemento imf associa l unico domf acements per cui f() =. Tale funzione è detta funzione inversa di f, viene indicata con f 1 e X Y domf 1 = imf, = imf 1 = domf = imf = f() imf 1 = f 1 () domf domf 1 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.13/31

14 = = X Y imf = f() domf 1 f() NON è iniettiva e NON è invertibile, ovvero la curva a destra non è il grafico di alcuna funzione, ad una corrisponde piú di una Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.14/31

15 Quindi: f : D R è invertibile se e solo se è suriettiva e iniettiva. f : D imf è invertibile se e solo se è iniettiva (è già suriettiva su imf). NOTA: quando analizzeremo l invertibilità, considereremo sempre f : D imf Esempio: f : R imf, f() = 3 NON è invertibile sul suo dominio; (domf = R, imf = {3}, f NON è iniettiva) = = ments = f() = 3 non è una funzione = f() Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.15/31

16 f : R imf, f() = f è invertibile sul suo dominio; (domf = R, imf = R, f è iniettiva) = = f() ments = = f 1 () domf 1 = imf = R, imf 1 = domf = R. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.16/31

17 f : R imf, f() = e f è invertibile sul suo dominio; (domf = R, imf = R +, f è iniettiva) = = f() = e = ments = f 1 () = log e () domf 1 = imf = R +, imf 1 = domf = R. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.17/31

18 f : R imf, f() = 2 f NON è invertibile sul suo dominio; (domf = R, imf = R + {0}, f NON è iniettiva) ments = = f() = Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.18/31

19 f : R + {0} imf, f() = 2 f è invertibile sull insieme di definizione R + {0} ments (domf = R + {0}, imf = R + {0}, f è iniettiva) = f() = = = f 1 () = domf 1 = imf = R + {0}, imf 1 = domf = R + {0}. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.19/31

20 Funzioni matematiche elementari Funzioni polinomiali e razionali retta: = f() = m + q, con m, q R assegnati. parabola: = f() = a 2 + b + c, con a, b, c R assegnati. cubica: = f() = a 3 + b 2 + c + d, con a, b, c, d R assegnati. razionale: = f() = 1/, = f() = ,... Funzioni trigonometriche seno: = sin() tangente: = tg() Funzioni trascendenti esponenzionale: = a, con a R + coseno: = cos() logaritmo: = log a (), con a R + \ {1} cotangente: = cotg(),... caso particolare: a = e = (Numero di Nepero) Funzioni irrazionali radice: = (), = 3 ()... Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.20/31

21 Funzioni definite a tratti Sono funzioni reali di variabile reale (f : R R) definite da espressioni diverse su intervalli diversi: f() = + 2 se 0 1 se 1 < 3 1 se 3 < 5 ments Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.21/31

22 Funzione Valore Assoluto f : R R : f() = = se 0 se < 0 PSfrag replacements 1 0 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.22/31

23 Funzione Segno f : R Z : f() = sign() = 1 se > 0 0 se = 0 1 se < 0 PSfrag replacements 0 1 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.23/31

24 Funzione Parte Intera E la funzione che associa ad un numero reale il piú grande numero intero (in Z) minore o uguale a : se = , [] = 3, se = 2, [] = 2, se = , [] = 13. f : R Z : f() = [] PSfrag replacements 0 1 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.24/31

25 Funzioni monotone Sia I il dominio di una funzione f reale a valori reali, oppure un intervallo contenuto nel dominio di f. Def. La funzione f si dice monotona crescente su I se g replacements 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). f( 2 ) f( 1 ) = f( 2 ) f( 1 ) I I Def. La funzione f si dice monotona strettamente crescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ). Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.25/31

26 Analogamente si definisce una funzione monotona decrescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ) e monotona strettamente decrescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) > f( 2 ). Proposizione. Se f è strettamente monotona sul suo dominio allora f è iniettiva. Dim. Sia f strettamente monotona crescente, allora 1, 2 dom(f) con 1 < 2 ( 1 2 ) si ha f( 1 ) < f( 2 ) e quindi f( 1 ) f( 2 ), ovvero f è iniettiva. Dimostrazione analoga si ha per f strettamente monotona decrescente. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.26/31

27 Il viceversa non è vero. La funzione f() = = 0 è iniettiva senza essere strettamente monotona sul suo dominio domf = R. f è decrescente su (, 0), è decrescente su (0, + ), ma non è decrescente su tutto R Infatti per 1 = 1, 2 = 1, si ha f( 1 ) = 1 < f( 2 ) = 1. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.27/31

28 Funzioni composte Siano X, Y e Z tre inisiemi in R. Siano f : X Y e g : Y Z. Definiamo una nuova funzione h : X Z detta funzione composta di f e g tale che h() = g(f()), h = g f. Es. f() = sin() e g() = 2. La funzione composta è: h() = (sin()) 2. f() prende il posto di nella definizione di g. Es. Sia h() = log(2 + 1). Posso vedere h() = g(f()) con g() = log() e f() = Es. Sia h() = Posso vedere h() = g(f()) con g() = e f() = Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.28/31

29 Dominio di una funzione composta Il dominio di una funzione f è il sottoinsieme di R su cui f è definita, ovvero l insieme domf = { R : f() R}. Prendiamo f() = e g() =, h() = g(f()) = dom g f domf e f() dom g Quindi domf sse R \ {1} e (, 2] (1, + ). 0, ovvero domg f = { domf : f() domg} Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.29/31

30 Oss. La composizione di funzioni non è commutativa: f g g f. f() = sin() e g() = 2. g f() = (sin()) 2 mentre f g() = sin( 2 ). Proprietà. Se f e g sono iniettive allora lo è anche g f e vale (g f) 1 = f 1 g 1. Proprietà. Se f e g sono entrambe monotone crescenti (o entrambe decrescenti) allora anche g f sarà monotona crescente. g f sarà monotona decrescente negli altri casi. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.30/31

31 Riferimento bibliografico: Canuto-Tabacco, cap. 2. Esercizi: 1) Individuare dominio e insieme immagine delle funzioni elementari viste ad esercitazione e dire se sono monotone (crescenti o decrescenti) sul loro dominio, se sono iniettive, suriettive, biettive, invertibili. 2) n. 1 e n. 10 del cap. 2 del libro Canuto-Tabacco. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.31/31