Equazioni differenziali del I ordine. y = y 2 y(0) = 1 e stabilire il più ampio intervalo in cui è definita la soluzione.

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1 Equazioni differenziali del I ordine 1. Risolvere il seguente problema di Cauchy: y = y 2 y(0) = 1 2. Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale: y = (1 )(1 y). 3. Risolvere il seguente problema di Cauchy: yy = 1 y(0) = 2 4. Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale: y + 1 y = Risolvere il seguente problema di Cauchy: y = 2y 2 y(0) = 1 6. Risolvere le seguente equazione differenziale: y = ay + b, a, b R \ {0}, pensandola sia come equazione a variabili separabili, sia come equazione lineare. 7. Sia T (t) la temperatura di un corpo ed E la temperatura dell ambiente esterno. La temperatura del corpo si evolverà in base alla legge T (t) = k(e T (t)), con k costante positiva. Risolvere l equazione differenziale con la condizione iniziale T (0) = T 0. Cosa succede per tempi lunghi? 8. Risolvere il seguente problema di Cauchy: 1

2 y (1 + y)2 = y(1) = 2 9. Risolvere il seguente problema di Cauchy: y + 10y = e 10 y(0) = Risolvere il seguente problema di Cauchy: y + y = e 2 y(1) = Risolvere il seguente problema di Cauchy: y + 1 y = 2 arctan y(1) = Risolvere il seguente problema di Cauchy: y sin 2 = 1 + cos y(0) = Risolvere il seguente problema di Cauchy: y + 1 y = + 1 y( 1) = 2 e stabilire il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione. 14. Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale: y + y cot 2 cos = 0 nell intervallo (0, π). 2

3 15. Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale: y = 2y Risolvere il seguente problema di Cauchy: y = y (1 + 2 ) y( 1) = 0 e stabilire il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione. 17. Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale: y + y sin = sin a) Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale: y + 2 y = per > 0. b) Determinare la soluzione che si mantiene limitata per 0 +. c) Determinare la soluzione che soddisfa la condizione: y(1) = Risolvere il seguente problema di Cauchy: y y 4 = 0 y(1) = Determinare le curve y = f() la cui retta tangente nel punto (, f()) incontra l asse nel punto (, 0). 21. Risolvere il seguente problema di Cauchy: y + 1 y = 3 y(1) = 1 5 e stabilire il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione. 22. Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale: y = 2 sin 4 y Risolvere il seguente problema di Cauchy: 3

4 y = y tan + 1 y(π) = 1 e stabilire il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione. 24. Dato il seguente problema di Cauchy: y = e y e y(0) = 0, scrivere lo sviluppo di Taylor della soluzione arrestato al terz ordine, e disegnare il grafico locale della soluzione in un intorno di = Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale: e +y y + = Risolvere il seguente problema di Cauchy y = y log y y(0) = 2, stabilire il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione e disegnare un grafico locale della soluzione in un intorno di = Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y = y + 1 e 1, e: a) trovare la soluzione y 1 () tale che lim + y 1() sia finito; b) trovare la soluzione y 2 () tale che y 2 (1) = 0, disegnare un grafico di y 2 in un intorno destro di = 0 e stabilire il suo comportamento asintotico per Data l equazione differenziale y = y + f(), determinare f() in modo che per > 0, y = 3 2 sia soluzione. Scrivere l integrale generale. 29. Dato il seguente problema di Cauchy: y = arctan y y(1) = 1, si scriva l equazione della retta tangente al grafico della soluzione nel punto (1, 1) e si tracci un grafico della soluzione in un intorno di tale punto. 4

5 30. Si determinino le curve y = y() tali che il segmento di tangente che unisce il punto P di tangenza al punto T di intersezione con l asse uguaglia il segmento che unisce P all origine. 31. Trovare l equazione differenziale che ha come integrale generale la famiglia di funzioni definite implicitamente dall equazione: c y = c. (allievi gestionali) 32. Risolvere il seguente problema di Cauchy 2 y 2y y 2 = 0 y(7) = 7, operando la sostituzione y() = z(). 33. Risolvere il seguente problema di Cauchy: Soluzioni. 1. y = 1, (, 1) y = ce , c R. 3. y = 4. y = ± 2( + 2), ( 2, + ). log c. 5. y = 1, ( 1, 1) y = b a + cea, c R. ( ) y = y 1 + ln y y(1) = 5 7. (vedi esercizio 6) T = (T o E)e kt + E, lim T (t) = E. t + 8. y = log 1, (0, 3 e). 5

6 9. y = e y = 1 3 (e2 e 3 ). 11. y = arctan + 1 arctan + 1 (4 π ) 1, (0, + ) y = 2[ cos + log(1 + cos ) + 1 log 2]. 13. y = , (, 0) y = sin + c sin. 15. y = ce y = log( ), (, 0) y = 2 cos ce cos. 18. a) y = c 2. b) y = c) y = y = 0. f () f() 20. La curva cercata risolve l equazione differenziale: f () cioé: 2y y = 0. L integrale generale è: y = ± c, c > 0. =, 21. y = 1 5 4, (0, + ). 22. y = 1 2 ( 1 4 cos 4 + c ). 23. y = tan 1 cos, ( 1 2 π, 3 2 π ). 24. y = o( 3 ). La soluzione passa per l origine, è tangente all asse e ha la concavità rivolta verso il basso. 6

7 25. L equazione diventa: e y y = e, l integrale generale è y = log[e ( + 1) + c]. 2+log 26. y = e 2 2, ( 1 2 log2 2, + ). Si ha che y (0) = 2 log 2 l equazione si trova y (0) = 2 log 2 1 log 3 2 > 0; derivando < 0. La soluzione passa per (0, 2), è tangente alla retta y = 2 + 2, e ha la concavità rivolta verso il basso. log y = e 1 +c, c R. a) y1 = e 1 +; b) y2 = e 1 +e, y2 (e 1) per f() = 2 3 2, y = ce. 29. y (1) = π 4, retta tangente: y = π 4 ( 1) + 1; y = arctan y y 1 + y 2, y (1) = π 8 < 0, dunque la concavità è rivolta verso il basso. 30. P = (, y), T = ( y y, 0). OP 2 = P T 2 2 = y2 y, e cioé y 2 y = ± 1, da cui y = c, o y = c, c R. 31. Derivando rispetto a l equazione (*) c y() c, si trova: ( ) c y y = 0. Da (*) si trova c = y, sostituendo il valore di c nell equazione 1 ( ), si trova l equazione differenziale: y y ( 2 ) = Poniamo y() = z(), si ha che y () = z() + z (), sostituendo nell equazione si trova la seguente equazione nella funzione incognita z(): 3 z = 2 (z + z 2 ). Si tratta di un equazione a variabili separabili, le rette di equazioni z = 0 e z = 1 sono soluzioni, in corrispondenza di z = 1 si ottiene y = che risolve il problema di Cauchy dato, non è quindi necessario trovare le altre soluzioni dell equazione. 33. Poniamo y() = z(), si ha che y () = z() + z (), sostituendo nell equazione si trova la seguente equazione nella funzione incognita z(): z = z ln z, con la condizione z(1) = y(1) = 5. Si tratta di un equazione 1 a variabili separabili, la retta di equazione z = 1 è soluzione dell equazione 7

8 1 ma non del problema. Le altre soluzioni si ottengono ponendo: z ln z dz = 1 d, da cui, tenendo conto che essendo il problema centrato in = 1 è > 0, ln ln z = ln + c, lnz = e c, ln z = ±e c. Sostituendo = 1 si trova, tenendo conto che z(1) = 5: ln 5 = e c, quindi ln z = ln 5, z = e ln 5 = 5, y = 5. 8