ANNO ACCADEMICO 2015/2016 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA V appello ordinario 15/2/2017 1

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1 ANNO ACCADEMICO 215/216 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA V appello ordinario 15/2/217 1 Esercizio 1. La platea di un teatro ha 15 file, ognuna delle quali consta di 2 posti. Due amici, X e Y, acquistano indipendentemente un biglietto per lo stesso spettacolo. (1) qual è la probabilità che X sieda nel posto 1 della fila 1 e Y sieda nel posto 2 della fila 2? (2) qual è la probabilità che X e Y siedano entrambi nella quarta fila? qual è la probabilità che X e Y siedano nella stessa fila? (3) gli eventi X siede nella quarta fila e Y siede nella sesta fila sono indipendenti? (Per semplicità si suppone che il posto venga assegnato in modo casuale al momento dell acquisto del biglietto). Esercizio 2. Calcolare i seguenti iti: e 3x x 2 e x 2 x, tg(e x 1) x + sen( 2x 2 + x 3 ) Esercizio 3. Sia g : R R la funzione definita da g(x) = x 4 + 4x 3 + 4x (1) Disegnare il grafico di g e determinarne l immagine (2) Sia f : R R la funzione definita da g(x) x < 1 f(x) = 1 2 x g(x) x > Determinare l insieme dei punti in cui f è continua, l insieme dei punti in cui f è derivabile e calcolarne la derivata in tali punti. Esercizio 4. Sia a R un parametro e sia φ: R R la funzione definita da: x < φ(x) = ax 2 2ax x 2 x > 2 (1) determinare a in modo tale che φ sia la densità associata alla legge di una variabile aleatoria reale X. (2) Per il valore di a determinato al punto (1), calcolare la mediana e la media di X. 1 Durata: 2 ore e 3 minuti.

2 2 SOLUZIONI Esercizio 1 (1) Sia A l evento X siede nel psto 1 della fila 1 e sia B l evento Y siede nel posto 2 della fila 2. Abbiamo che P(A B) = P(A) P(B A) = = (2) Sia A 1 l evento X siede nella quarta fila e sia B 1 l evento Y siede nella quarta fila. Abbiamo che P(A 1 B 1 ) = P(A 1 ) P(B 1 A 1 ) = =, Sia C l evento X e Y siedono nella stessa fila. Questo evento e l unione disgiunta per i = 1, degli eventi X e Y siedono nella fila i, ciascuno di probabilita ; abbiamo dunque 19 P(C) = =, (3) Siano D l evento X siede nella quarta fila e E l evento Y siede nella sesta fila. Vediamo se Abbiamo che Otteniamo dunque che P(D E) = P(D) P(E). P(D) = 1 15 ; P(E) = 1 15 ; P(D E) = P(D) P(E D) = 1 15 ovvero i due eventi non sono indipendenti. Esercizio 2 (1) Nel primo ite raccogliamo e 3x : P(D E) P(D) P(E), ( ( e 3x x 2 e x 2 x = e 3 2 x 1 x2 e x ) ) e 32 x. Abbiamo che x 2 e x x 2 = e3x e 2x =. Applichiamo dunque la regola di de L Hospital e otteniamo x 2 =H e2x 2x 2e 2x = x =H e2x e 3x 1 = ; 2e2x

3 3 Abbiamo anche che essendo possiamo dunque concludere che ( ) 2 x = e e 3 2 < 1; e 3 2 x Vediamo il secondo ite. e basta dunque calcolare ( ( 1 x2 e x ) ) e 32 x = + 1 = +. e 3x tg(e x 1) x + sen( 2x 2 + x 3 ) = sen(e x 1) x + sen( 2x 2 + x 3 ) cos(e x 1) x cos(e x 1) = 1; + sen(e x 1) x + sen( 2x 2 + x 3 ). Questo può essere riscritto come sen(e x 1) 2x 2 + x 3 x + e x 1 sen( e x 1 2x 2 + x 3 ) 2x 2 + x. 3 Poniamo y = e x 1; per x si ha y e dunque: In modo analogo otteniamo Infine abbiamo: sen(e x 1) sen y x + e x = 1 y y x + 2x 2 + x 3 sen( 2x 2 + x 3 ) = 1. e x 1 x + 2x 2 + x = e x 1 3 x + x Combinando tutti questi risultati otteniamo Esercizio 3 sen(e x 1) x + sen( 2x 2 + x 3 ) = 1. 2 (1) Il dominio di g e tutto R. Vediamone i iti: = 1. x x 2 + x = 1. 2 x4 + 4x 3 + 4x = + ; x x4 + 4x 3 + 4x = +.

4 4 Vediamo eventuali punti di massimo e minimo: g (x) = 4x x 2 + 8x > da cui scomponendo otteniamo 4x(x 2 + 3x + 2) >, ovvero 4x(x + 2)(x + 1) >, la cui soluzione e 2 < x < 1 oppure x >. Abbiamo dunque un minimo relativo in -2 e e un massimo relativo in -1. Il grafico che otteniamo e il seguente:

5 5 Dal grafico deduciamo che l immagine di f è {y R y 1}. (2) Vediamo la continuità. Negli intervalli aperti (, 2), ( 2, ) e (, + ) la funzione è continua. Vediamo in 2 e : f(x) = x 2 x 2 x4 + 4x 3 + 4x = = 1; f(x) = 1 x 2 +

6 6 poiché f( 1) = 1, la funzione è continua in 2; e f(x) = x + x x4 + 4x 3 + 4x = 1, + f(x) = 1 x f() = 1; la funzione è dunque continua in. Vediamo la derivabilità. La funzione è derivabile negli intervalli aperti (, 2), ( 2, ) e (, + );. Poiché f è continua, possiamo verificare la derivabilità in e -2 usando il ite di f : f (x) = x 2 x 2 4x3 + 12x 2 + 8x = = f (x) = x 2 + f (x) = x + x 4x3 + 12x 2 + 8x =, + f (x) =. x La funzione è dunque derivabile in e -2. Esercizio 4 (1) Affinché φ sia una distribuzione di probabilità, φ deve essere non negativa e il suo integrale deve essere 1. Otteniamo dunque 2 φ(x)dx = ax 2 2axdx = imponendo R ] 2 [a x3 3 ax2 = 8 3 a 4a = 4 3 a; 4 3 a = 1 otteniamo a = 3 4. La funzione g(x) = 3 4 (x2 2x) è una parabola con concavità rivolta verso il basso, che interseca l asse delle ascisse in x =, 2 ed è quindi non negativa nell intervallo [, 2]. La condizione φ(x) è dunque verificata x R. (2) Calcoliamo la mediana di φ: x ovvero risolviamo dunque x φ(y)dy = y ydy = 3 x x2 = 1 2 ; x 3 + 3x 2 2 = ; scomponendo con Ruffini otteniamo tre soluzioni: 1, 1 + 3, 1 3. Poiché l unica che appartiene all intervallo [, 2] e 1, le altre soluzioni devono essere scartate.

7 7 Calcoliamo la media: y y2 dy = 3 4 y y3 2 2 = = 1.