Vettori Aleatori discreti

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1 Vettori Aleatori discreti Un vettore aleatorio X =(X,X 2,...,X n ) si dice discreto se esiste un insieme finito o numerabile C R n tale che P (X = x) >, 8x 2 C, P (X = x) =, 8x /2 C, dove, ponendo x =(x,...,x n ),l evento(x = x) rappresenta l evento (X = x,x 2 = x 2,...,X n = x n ). Analizziamo in dettaglio il caso discreto, con n =2. Per semplicità di notazione, indichiamo con (X, Y ) il v.a. (X,X 2 ). Va osservato che tale notazione può essere utilizzata anche nel caso in cui n > 2, indicando con X e Y due sottovettori del vettore aleatorio (X,...,X n ). Distribuzioni marginali. Indichiamo con C (X,Y ), o brevemente con C, l insieme(alpiù numerabile) delle coppie (x h,y k ) tali che P (X = x h,y = y k )=p xh,y k >. G. Sanfilippo - CdP pag. 38

2 Se consideriamo C X = {x h : P (X = x h ) > }, C Y ha = {y h : P (Y = y h ) > }, si C C X C Y ovvero, potrebbero esserci coppie (x h,y k ), con P (X = x h ) >, P (Y = y k ) >, ma con P (X = x h,y k = y k )=. Nel seguito, per semplicità, supporremo che C X,C Y,C (X,Y ) siano anche i codomini, rispettivamente, di X, Y, (X, Y ) e che valga la sigma additività. Fissato un punto x h 2 C X, osservando che = _ (Y = y k ), y k 2C Y possiamo decomporre l evento (X = x h ) nel seguente modo (X = x h )=(X = x h ) ^ = =(X = x h ) ^ [ W y k 2C (Y = y k )] = Y = W y k 2C (X = x h,y = y k ). Y G. Sanfilippo - CdP pag. 39

3 Quindi, 8 x h 2 C X,siha P (X = x h )= P y k 2C Y P (X = x h,y = y k )= = P y k p xh,y k ; (distribuzione marginale di X). Per brevità, denotiamo con p x h = P y k p xh,y k, 8 x h 2 C X, la distribuzione marginale di X. Inalcunitestip x h si denota con p xh,, ovvero si mette un punto al posto di y k.in modo analogo si ottiene P (Y = y k )=p y k = p,yk = P x h 2Cx P (X = x h,y = y k )= = P x h p xh,y k ; (distribuzione marginale di Y ). Distribuzioni marginali condizionate. p xh y k = P (X = x h Y = y k )= congiunta z } { = P (X=x h,y =y k ) p xh,y P (Y =y k ) = k p yk. {z} marginale G. Sanfilippo - CdP pag. 32

4 La distribuzione {p xh y k, x h 2 C X } si chiama distribuzione marginale di X condizionata al valore fissato y k di Y. In maniera analoga, la distribuzione {p yk x h, y k 2 C Y } si chiama distribuzione marginale di Y condizionata al valore fissato x h di X, ovvero p yk x h = P (Y = y k X = x h )= congiunta z } { = P (X=x h,y =y k ) p xh,y P (X=x h ) = k p xh. {z} marginale Dalle ultime relazioni, per il teorema delle probabilità composte, si ottiene: ovvero P (X = x h,y = y k )=P (Y = y k X = x h )P (X = x h )= = P (X = x h Y = y k )P (Y = y k ). Osserviamo che, in generale, risulta p xh,y k = p xh y k p yk = p yk x h p xh. p xh,y k = p xh p yk. G. Sanfilippo - CdP pag. 32

5 Indipendenza stocastica. I numeri aleatori X, Y sono stocasticamente indipendenti (in breve, indipendenti) se, 8 (x h,y k ), vale P (X = x h,y = y k )=P (X = x h ) P (Y = y k ), ovvero la distribuzione congiunta è data dal prodotto delle marginali p xh,y k = p xh p yk, 8 (x h,y k ). Quindi, se X, Y marginali sono indipendenti, le distribuzioni condizionate coincidono con le p xh y k = p xh, p yk x h = p yk. Esempio 7 Si lancia due volte un dado, definendo X = risultato del primo lancio; Y = risultato del secondo lancio. Ovviamente, X, Y sono indipendenti e quindi, per ogni coppia (m, n) 2 {, 2,...,} {, 2,...,}, siha P (X = m, Y = n) =P (X = m)p (Y = n) = =. G. Sanfilippo - CdP pag. 322

6 Y \ X P (Y = n) P (X = m) Osservazione 9 In generale, quando non vi è indipendenza stocastica tra due numeri aleatori, alle stesse distribuzioni di probabilità marginali possono corrispondere infinite G. Sanfilippo - CdP pag. 323

7 distribuzioni congiunte. Vedi la seguente tabella Y \ X P (Y = n) P (X = m) Esempio 7 Due estrazioni senza restituzione da un urna contenente cinque palline numerate da a 5. I numeri aleatori X = risultato della prima estrazione, Y = risultato della seconda estrazione, G. Sanfilippo - CdP pag. 324

8 non sono indipendenti. Infatti, ad esempio P (X =2,Y =)= 2, P (X =2)P (Y =)= 5 5 = 25 = 2. Esempio 72 Siano X, Y due n. a. indipendenti con distribuzione di Poisson, rispettivamente di parametri e 2, ovvero X P( ), Y P( 2 ). Calcoliamo la distribuzione di probabilità del n. a. Z = X + Y. Osserviamo che, fissato n 2 N,siha Pertanto: Z P( + 2 ). P (Z = n) =P [ W n i= (X = i, Y = n i)] = = P n i= P (X = i, Y = n i) = = P n i= e i i! e 2 = e ( + 2 ) ( + 2 ) n n! n 2 i (n i)! = = G. Sanfilippo - CdP pag. 325

9 Inoltre, si può verificare che Infatti, per ogni h 2{,,...,n} si ha X (Z = n) B(n, + 2 ), Y (Z = n) B(n, ). P (X = h Z = n) = P (X=h,Z=n) P (Z=n) = P (X=h,Y =n h) P (Z=n) = = n h P (X=h)P (Y =n h) P (Z=n) = h + 2 e e h h! e 2 n h 2 (n h)! ( + 2 ) ( + 2 ) n n! n h = Esempio 73 Consideriamo una compagnia di assicurazioni che o re due tipi di polizze: Polizza A; Polizza B. Indichiamo con X (risp. con Y ) il numero aleatoro di richieste di risarcimento di tipo A (risp. di tipo B) in un dato giorno. Supponiamo X, Y stocasticamente indipendenti e con X Poiss( ),Y Poiss( 2 ). Inoltre, supponiamo che il numero totale medio di richieste di risarcimento in un dato giorno sia pari a 9. Infine, supposto che in un dato giorno arrivi una richiesta di risarcimento, la probabilità che questa si riferisca ad una polizza di tipo A pari a 3. G. Sanfilippo - CdP pag. 32

10 ) Calcolare la probabilita che il numero di richieste di risarcimento relativi alla polizza A, in un dato giorno, sia inferiore a 2. 2) Calcolare la probabilita che il numero di richieste di risarcimento relativi alla polizza B, in un dato giorno, sia inferiore a 2. 3) Calcolare la probabilita che il numero di richieste di risarcimento totali, in un dato giorno, sia inferiore a 2. Poich X, Y sono stocasticamente indipendenti e con distribuzione di Poisson, si ha che X + Y Poiss( + 2 ). Inoltre, sappiamo che la distribuzione condizionata di X dato X + Y = n una binomiale di parametri n, +,cio 2 P (X = h X + Y = n) = Quindi, per n =,siha n h ( + 2 ) h ( ) n h, h =,,...,n. P (X = X + Y =)= + 2. Dal testo sappiamo che P (X = X + Y =)= 3 echee(x + Y )= + 2 =9. Pertanto =3, 2 =. Il calcolo delle probabilità richieste lasciato al lettore. Esempio 74 In un u cio aperto al pubblico ci sono due sportelli, in cui vengono gestiti due di erenti tipi di pratiche. Siano X e Y i numeri aleatori di clienti che si G. Sanfilippo - CdP pag. 327

11 presentano in un fissato intervallo di tempo ai due sportelli. Assumendo X, Y stocasticamente indipendenti e con distribuzione di Poisson, rispettivamente, di parametri X = 2, Y = 4, determinare la distribuzione di X + Y e del numero aleatorio condizionato X dato (X + Y = ). G. Sanfilippo - CdP pag. 328

12 Teorema. Se X ed Y sono indipendenti, si ha: Cov(X, Y )=. Dim.: Supponiamo che, 8 (x h,y k ) 2 C, sia Allora, segue P (X = x h,y = y k )=P (X = x h )P (Y = y k ). E(XY )= P x h P y k x h y k p xh,y k = P x h Py k x h y k p xh p yk = =( P x h x h p xh )( P y k y k p yk )=E(X)E(Y ), equindi:cov(x, Y )=. Osserviamo che il viceversa non vale, come mostra il seguente controesempio. Esempio. Si consideri il seguente vettore aleatorio (X, Y ), con la distribuzione congiunta riportata nella tabella: Y \ X - - a / a / b / a / a Si ha C = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, G. Sanfilippo - CdP pag. 329

13 con P (X =,Y =)=b e P (X = x, Y = y) =a negli altri casi. Ovviamente, deve essere: 4a + b =, a, b. Come si può verificare, si ha X 2{,, }, Y 2{,, }, XY 2{,, }, con P (X = ) = P (Y = ) = P (XY = ) = 2a, P (X =)=P (Y =)=P (XY =)=b, P (X =)=P (Y =)=P (XY =)=2a. Pertanto X, Y ed XY hanno la stessa distribuzione di probabilità. Inoltre E(X) =E(Y )=E(XY )=, e quindi Cov(X, Y )=, ovvero X, Y sono incorrelati. Però X ed Y non sono indipendenti, in quanto risulta ad esempio: P (X = x, Y = y) = P (X = x)p (Y = y), P (X =,Y =)=b = P (X =)P (Y =)=b b = b 2. G. Sanfilippo - CdP pag. 33

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15 Distribuzione multinomiale Si considerino n ripetizioni di un esperimento aleatorio, con m + possibili risultati in ciascuna ripetizione. Ad esempio, si consideri un urna contenente N palline, delle quali p N sono segnate con il numero, p N sono segnate con il numero,..., p m N sono segnate con il numero m, dove p + p + + p m =, p k, 8 k 2{,,...,m}. Supposto di e ettuare n estrazioni con restituzione da tale urna, definiamo i seguenti eventi e numeri aleatori: = nell i-ma prova viene estratta una pallina se- gnata con il numero k, i =,...,n, E (i) k X k = E () k + + E(n) k, k =,,...,m. Ovviamente: X = n (X + + X m ). Inoltre, per ogni i =,...,n, la famiglia {E (i),...,e(i) m } forma una partizione di esiha:. P (E (i) k )=p k, 8 k 2{,,...,m}; 2. gli eventi relativi a partizioni distinte, cioè associati a prove distinte, sono stocasticamente indipendenti. G. Sanfilippo - CdP pag. 332

16 Proponiamoci di calcolare la distribuzione di probabilità del vettore aleatorio discreto (X,...,X m ). Come si può verificare, l evento (X = x,...,x m = x m ) è possibile se e solo se x,...,x m sono dei valori interi non negativi tali che: x + + x m apple n. Posto x = n (x + + x m ),sipuòverificareche: a) il numero di costituenti favorevoli all evento n! (X = x,...,x m = x m ) è pari al coe ciente multinomiale x!x! xm! ; b) ognuno di tali costituenti ha probabilità p x px px m ; pertanto: P (X = x,...,x m = x m )= n! x!x! x m! px px px m m. La distribuzione di (X,...,X m ) si dice multinomiale di parametri n, p,...,p m. Per m =si ottiene in particolare la distribuzione binomiale di parametri n, p. G. Sanfilippo - CdP pag. 333