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1 metodi matematici per l ingegneria prove scritte d esame Indice. Novembre 4 - Prova in itinere. Luglio 5.. Febbraio Giugno Luglio 6 6

2 . Novembre 4 - Prova in itinere Esercizio. Una scatola contiene 6 palline colorate : una verde, nere, grigie. Si estraggono dalla scatola tre palline senza rimpiazzo. (i) Quale é la probabilitá che venga fuori la pallina verde? (ii) Sapendo che nelle tre estrazioni é venuta fuori la pallina verde, quale é la probabilitá che essa non sia uscita nelle prime due estrazioni? Esercizio. Un giocatore di poker riceve all inizio del gioco 5 carte da un normale mazzo di 5 (4 semi e carte per ogni seme). (i) Quale é la probabilitá di ricevere almeno due assi? (ii) Quale é la probabilitá di ricevere cinque carte dello stesso seme? (iii) Quale é la probabilitá di ricevere un tris? Esercizio. Si consideri la variabile aleatoria bidimensionale continua (X, Y ) con supporto {[, ] [, ]} e funzione di densitá congiunta { se (x, y) [, ] [, ] f X,Y (x, y) = se (x, y) / [, ] [, ] (i) La funzione di distribuzione congiunta; (ii) Le funzioni di distribuzione marginali; (iii) La probabilitá dell evento (X >, Y > ).

3 metodi matematici per l ingegneria prove scritte d esame Esercizio 4.. Luglio 5. Una scatola contiene palline numerate da a. Si effettuano estrazioni. (i) Quale é la probabilitá che i numeri estratti siano consecutivi (crescenti o decrescenti) se le estrazioni vengono effettuate senza rimpiazzo? (ii) Quale é la probabilitá che i numeri estratti siano consecutivi (crescenti o decrescenti) se le estrazioni vengono effettuate con rimpiazzo? Esercizio 5. Un giocatore gioca al lotto l ambo (, ) su una singola ruota e continua a giocare lo stesso ambo ripetutamente sempre sulla stessa ruota. (i) Quale é la probabilitá che vinca in una singola estrazione? (ii) Quanti tentativi sono necessari in media per vincere? (iii) Quale é la probabilitá che vinca almeno una volta nelle prime 5 estrazioni? Esercizio 6. Si consideri la variabile aleatoria X uniforme su [, ] con funzione di densitá { se x [, ] f X (x) = se x / [, ] e consideriamo la variabile Y = log(x) (i) La probabilitá P (Y ); (ii) Le funzioni di distribuzione e di densitá della Y. Esercizio 7. Si diano le definizioni (e facoltativamente qualche proprieta principale) dei seguenti: (i) Processi di Markov; (ii) Probabilita di transizione in ununica fase; (iii) Matrice di transizione di una Catena di Markov omogenea a parametro discreto.

4 4. Febbraio 6 Esercizio 8. Nel gioco del lotto ad ogni estrazione 5 numeri vengono estratti simultaneamente da un urna che contiene 9 palline numerate da a 9. Lo stesso procedimento viene ripetuto per le ruote in modo indipendente. Sia p la probabilitá che il numero 5 venga estratto in una singola estrazione su di una singola ruota. (i) quanto vale p?; (ii) Quale é la probabilitá che il numero 5 venga estratto almeno su una delle ruote? Esercizio 9. Se studenti si trovano in un aula, quale é la probabilitá che almeno di essi siano nati lo stesso giorno dell anno? (per semplicitá non si considerino gli anni bisestili.) Esercizio. Si consideri la variabile aleatoria bidimensionale continua (X, Y ) con supporto {[, ] [, ]} e funzione di densitá congiunta { k(x + )y se (x, y) [, ] [, ] f X,Y (x, y) = se (x, y) / [, ] [, ] (i) Il valore di k; (ii) Le funzioni di densitá marginali; (iii) Le funzioni di densitá condizionata; (iv) La probabilitá dell evento ( < Y < /X = ). Esercizio. Consideriamo una catena di Markov discreta con stati {,,, 4, 5, 6} e con le seguenti probabilitá di transizione: p 65 =.5 p 5 =. p 5 =. p 5 =.8 p 4 =. p =.6 p 4 =. p 4 =.8 p 4 =. Tutte le altre transizioni hanno probabilitá nulla eccetto quelle di tipo p ii (che sono da determinare). (i) Determinare gli elementi p ii che sono sulla diagonale principale della matrice di transizione; (ii) Classificare gli stati del processo; (iii) Calcolare la probabilitá di andare dallo stato 6 a quello con al piú passi. Esercizio. Si consideri la seguente matrice di transizione 4 4 la corrispondente catena di Markov. Elencare le classi chiuse ed irriducibili della catena e e sia X n classificarne gli stati. Tracciare il grafo di tranzizione associato al processo.

5 metodi matematici per l ingegneria prove scritte d esame 5 4. Giugno 6. Esercizio. Si consideri la variabile aleatoria bidimensionale continua (X, Y ) con supporto {[, 4] [, 4]} e funzione di densitá congiunta { (k )x(y + ) se (x, y) [, 4] [, 4] f X,Y (x, y) = se (x, y) / [, 4] [, 4] (i) Il valore di k; (ii) Le funzioni di densitá marginali; (iii) Le funzioni di densitá condizionata; (iv) La probabilitá dell evento (X + Y < 4); (v) La probabilitá dell evento( < Y < /X = ) Esercizio 4. Si consideri la seguente matrice di transizione 6 6 e sia X n la corrispondente catena di Markov. Classificare le classi (chiuse ed irriducibili) e gli stati (ricorrenti e transitori) della catena. Tracciare il grafo di transizione associato al processo. Esercizio 5. In un libro di 5 pagine, 5 di esse contengono errori di stampa. Viene fatta una seconda edizione riveduta, nella quale permangono 5 pagine contenenti qualche errore. In uno scaffale di una libreria vi sono libri della prima edizione e 5 della seconda. Si scelga a caso un libro di questi e si esaminino pagine distinte, anche esse scelte a caso. Si Supponga che di queste pagine contengano errori. Calcolare la probabilitá che: (i) il libro scelto appartenga alla prima edizione; (ii) il libro scelto appartenga alla seconda edizione. Esercizio 6. Si consideri la variabile aleatoria X con funzione di densitá { kx se x [, ] f(x) = se x / [, ] (i) Il valore di k; (ii) La funzione di distribuzione; (iii) La varianza di X.

6 6 5. Luglio 6 Esercizio 7. Una scatola contiene bottoni dei quali 8 sono neri ed i rimanenti bianchi. Vengono estratti bottoni a caso. Si considerino i seguenti eventi: A = {i bottoni estratti sono neri} B = {dei bottoni estratti, sono bianchi ed uno é nero}. (i) Le probabilitá P (A) e P (B) nel caso le estrazioni siano con rimpiazzo?; (ii) Le probabilitá P (A) e P (B) nel caso le estrazioni siano senza rimpiazzo?. Esercizio 8. I computers di una certa partita vengono assemblati con tipi di processori differenti. Ad un processore corrisponde un affidabilitá del 98% in un certo intervallo di tempo T, all altro, nello stesso intervallo T, un affidabilitá del 75%. Il % dei computers é assemblato con processori della qualitá migliore. Si scelga a caso un computer. (i) La probabilitá che esso funzioni correttamente durante un intero intervallo di tempo T ; (ii) Se il computer scelto funziona correttamente nell intervallo di tempo T, la probabilitá che esso contenga il processore di qualitá migliore. Esercizio 9. Siano X e X i punteggi ottenuti dal lancio di due dadi e consideriamo la variabile aleatoria Z = max{x, X }. (i) Dimostare che X e X sono indipendenti; (ii) Calcolare la probabilitá dell evento A = {Z = }. Esercizio. Consideriamo giocatori A e B che partano con capitali a e b rispettivamente. Entrambi A e B partecipano ad un gioco che consiste in una successione di prove in ciascuna delle quali, A vinca una unitá del capitale con probabilitá p, B lo faccia con probabilitá q (con p + q = ). Il gioco termina nel momento in cui uno dei due giocatori esaurisce il capitale a disposizione. Sia {X n } la catena di Markov che descrive il guadagno del giocatore A nella prova n. (i) Determinare lo spazio degli stati di {X n }; (ii) Determinare la matrice di transizione della catena; (iii) Calcolare la probabilitá che il giocatore A sia rovinato.

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