Esercizi di Probabilità e Statistica

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1 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 6 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare la probabilità di avere a) una pallina bianca; b) una pallina nera; c) una pallina non bianca; d) una pallina blu. [a) 9 ; b) 9 ; c) 9 ; d) ] P (E a ) # bianche Ω 9 P (E c ) # bianche Ω 9 P (E b ) # nere Ω 9 P (E d ) # blu Ω Esercizio Un urna contiene palline numerate da a ; si estraggono contemporaneamente palline. Calcolare la probabilità di avere: a) due numeri dispari; b) un numero divisibile per e uno non divisibile per ; due numeri la cui somma è. [a) 9, b) 6 9, c) ] Ω numero di combinazioni di classe sulle palline (C, ). Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a numero di combinazioni di classe sulle palline dispari (C, ). E b numero di coppie (non ordinate) di palline in cui una è divisibile per e una non lo è. palline divisibili per (ovvero ) palline non divisibili per (ovvero ). E c numero di coppie (non ordinate) di palline che danno come somma (ovvero ) P (E a ) C, C, 9 P (E c ) C, P (E b ) C, 6 9

2 Esercizio Si estraggono contemporaneamente carte da un mazzo di carte. Calcolare la probabilità di avere: a) figure; b) figure e un asso; c) una figura, un asso, un sette. [a) 9 ; b) ; c) ] Ω numero di combinazioni di classe su (C, ). Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a numero di combinazioni di classe sulle figure (C, ). E b prodotto tra il numero di combinazioni di classe sulle figure (C, ), e il numero di possibili assi (ovvero ). E c prodotto tra il numero di figure (ovvero ), il numero di assi (ovvero ), e il numero di 7 (ovvero ). P (E a ) C, C, 9 P (E c ) C, P (E b ) C, C, Esercizio Nel gioco del Totocalcio calcolare la probabilità dei seguenti eventi, supponendo che qualunque risultato sia equopossibile: a) totalizzare punti; b) totalizzare punti; c) sbagliare tutti i pronostici. [a) 9 ; b) 6 9 ; c) 89 9 ] Ω numero di disposizioni di classe sui possibili pronostici (,, X) (D,) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a l unica combinazione vincente E b il prodotto tra il numero di combinazioni vincenti di classe sulle partite (C, ), e il numero di pronostici perdenti sull unica partita sbagliata (ovvero ) E c il numero di disposizioni perdenti di classe (il numero di partite) sui possibili pronostici (due perchè una è vincente e due sono perdenti) (D,) P (E a ) D, P (E b ) C, D, 6 P (E c ) D, D, Esercizio Una scatola contiene lampadine di cui si sa che sono difettose; si prendono a caso lampadine. Calcolare la probabilità che: a) siano tutte difettose; b) almeno una non sia difettosa. [a) ; b) ]

3 Ω numero di combinazioni di classe sulle possibili lampadine (C, ) Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a numero di combinazioni di lampadine difettose di classe (C, ) E b questo insieme è complementare ad E a P (E a ) C, C, P (E b ) P (E a ) Esercizio 6 Si lanciano dadi. Calcolare la probabilità di avere: a) numeri dispari; b) due numeri pari e uno dispari; c) tre numeri la cui somma sia ; almeno due. [a) 8 ; b) 8 ; c) 6 ; d) 7 ] Ω numero di disposizioni con ripetizione di classe (numero di dadi) sui 6 possibili numeri (D 6,) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a numero di disposizioni con ripetizione di classe (numero di dadi) sui possibili valori (numeri dispari tra e 6) (D,) E b prodotto tra il numero di disposizioni con ripetizione di classe (i due dadi) sui possibili valori (numeri pari tra e 6) (D,), il numero di valori dispari che può assumere il terzo dado (ovvero ), e il numero di ordinamenti possibili (ovvero C, ) E c numero di coppie ordinate di numeri tra e 6 la cui somma da E d prodotto tra il numero di combinazioni di classe (i due dadi con l ) sui dadi e il numero di valori che può assumere il terzo dado tralasciando l (ovvero ). In più sommiamo l esito (,,). P (E a ) D, D 6, 8 P (E c ) 6 D 6, 6 P (E b ) D, C, 8 P (E d ) C, Esercizio 7 Cinque amici A, B, C, D, E acquistano biglietti per posti contigui a teatro e si siedono a caso in uno dei posti. Calcolare la probabilità degli eventi: a) i cinque amici si siedono in ordine alfabetico; b) A e B sono seduti vicino. [a) ; b) ] Tralasciamo l perchè la combinazione (,,) non è riordinabile, quindi non deve entrarmi del prodotto con i possibili ordinamenti C,

4 Ω numero di permutazioni dei amici (!) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a l unica permutazione che preserva l ordine alfabetico E b prodotto tra il numero di esiti che fanno sedere A e B vicini (ovvero 8), e il numero di permutazioni degli altri amici sui restanti posti (!) P (E a )! P (E b ) 8!! Esercizio 8 Si consideri un gruppo di persone. Calcolare le seguenti probabilità: a) che siano nate tutte nello stesso mese, supponendo che le nascite nei vari mesi siano egualmente possibili; b) siano nate tutte in mesi diversi. [a) 76 ; b) ] Ω Il numero di disposizioni con ripetizione di classe (le persone) sui possibili mesi (D,) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a Il numero di esiti che corrispondono a nascita di ciascuna persona nello stesso mese (ovvero ) E b Il numero di disposizioni di classe (le persone) sui possibili mesi (D, ) P (E a ) D, P (E b ) D, D, Esercizio 9 In una moneta non è regolare, la probabilità di avere testa è la probabilità di avere croce. Calcolare la probabilità di ciascuna faccia. [T ; C ] P (T ) P (C) P (T ) + P (C) P (T ) P (C) () () Esercizio Verificare che per qualunque coppia di eventi A, B A. P (A \ B) P (A) P (A B). P (A B C ) P (A) P (A B)

5 . P (A C B C ) P (A B). P (A C B C ) P (A B). P (A\B) P (A (A B)) P ((A C (A B) C ) C ) P (A C (A B) C ) P (A) P (A B)... P (A B C ) P (A \ B) P (A) P (A B) P (A C B C ) P ((A B) C ) P (A B) P (A C B C ) P ((A B) C ) P (A B) Esercizio Un giocatore di poker riceve all inizio del gioco cinque carte da un normale mazzo di. a) Qual è la probabilità di ricevere almeno assi? b) Qual è la probabilità di ricevere cinque carte dello stesso seme? c) Qual è la probabilità di ricevere un poker servito? [a).68; b) 666 ; c) 6 ] Ω Il numero combinazioni di classe (il numero di carte ricevute) sulle carte possibili (C, ). Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a Dobbiamo considerare il caso di estrarre esattamente, e assi quindi avremo la sommatoria con i [, ] del prodotto tra il numero di combinazioni di classe i (gli assi estratti) sui assi possibili(c, ), e il numero di combinazioni di classe i (le carte rimanenti) sulle restanti 8 carte (C 8,i ). E b Il prodotto tra il numero di semi (ovvero ) e il numero di combinazioni di classe (il numero di carte) sulle carte per seme (C, ) E c Il prodotto tra il numero di possibili poker (ovvero ), e il numero di restanti valori per la carta rimanente (ovvero 8) P (E a ) P (E c ) i C,i C 8, i C,.68 P (E b ) C, C, C, 6

6 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò aprile 6 Probabilità condizionata Esercizio I componenti prodotti da una certa ditta possono presentare due tipi di difetti, con percentuali % e 7% rispettivamente. I due tipi di difettosità si possono produrre in momenti diversi della produzione per cui si può assumere che le presenze dell uno o dell altro siano indipendenti tra loro. a) Qual è la probabilità che un componente presenti entrambi i difetti? b) Qual è la probabilità che un componente presenti almeno uno dei due difetti? c) Qual è la probabilità che un componente presenti il difetto, sapendo che esso è difettoso? d) Qual è la probabilità che esso presenti uno solo dei due difetti sapendo che esso è difettoso? [a).; b).979; c).6 d).978 ] D presenta difetto ; D presenta difetto P (D ).; P (D ).7 a) P (D D ) P (D ) P (D ).. b) P (D D ) P (D ) + P (D ) P (D D ).979 c) P (D D D ) P (D D D ) P (D ) P (D D ) d) D D (D D ) \ (D D ) P (D D ) P (D D D D ) P (D D D D ) P (D D ) P (D D ) Esercizio Un urna contiene due carte: una di esse ha entrambi i lati neri mentre l altra ha un lato nero e uno bianco. Una carta viene estratta e se ne guarda uno solo dei lati: è nero. Qual è la probabilità che anche il secondo lato sia nero? [ ] A entratto carta NN ; A estratto carta BN ; N estratto lato nero

7 P (A ) P (A ) P (N) P (N A i ) P (A i ) + i P (A N) P (N A ) P (A ) P (N) Esercizio Dieci urne contengono tutte palline rosse (R) e un numero variabile di palline bianche (B). Più precisamente l urna i-esima contiene palline R e i palline B. Un urna viene scelta a caso e da essa vengono estratte due palline. a) Qual è la probabilità che le due palline siano una B e una R? b) Supponiamo che l estrazione abbia dato come risultato una pallina B e una R. Qual è la probabilità p i che l urna prescelta sia la i-esima? Qual è l urna più probabile? c) Supponiamo invece che vi siano urne contenenti palline R e B (le urne sono quindi ). Se l estrazione ha dato come risultato una pallina B ed una R, qual è ora la probabilità che l urna prescelta sia di tipo i (cioè contenga i palline B)? Qual è ora il valore i più probabile? [a).6 ; b) e le urne più probabili; c) sempre e ] A i estratto da urna i ; B estrarre una B e una R P (A i ) a) b) P (B) i P (B A i ) P (A i ) p i P (A i B) P (B A i) P (A i ) P (B) c) A A P (A i ) P (B) i Per ogni i [, ] i arg max i [,] p i, } P (B A i ) P (A i ) + P (B A ) P (A ) p i P (A i B) P (B A i) P (A i ) P (B) i C i+,.6 i C i+,.6.8 i (i + ) (i + ) i i C i+, + C,.9997 i C i+, i (i + ) (i + ) p p arg max i [,] p i, }

8 Esercizio Vivo a Venezia; domani ci può essere l acqua alta oppure no. L acqua alta domani è annunciata con probabilità.. Se c è acqua alta arrivo a lezione in ritardo con probabilità.8; se non c è acqua alta la probabilità che arrivi tardi a lezione è comunque.. Qual è la probabilità che arrivi tardi? [.8] A domani c è acqua alta ; B arrivo tardi a lezione P (A).; P (B A).8; P (B A C ). P (B) P (B A) P (A) + P (B A C ) P (A C ).8 Esercizio Se due eventi sono disgiunti e indipendenti, cosa si può dire della loro probabilità? [almeno uno dei due eventi ha probabilità nulla] Dati A, B A, sappiamo che A B e quindi P (A B). Inoltre sappiamo che sono indipendenti e quindi P (A B) P (A) P (B) che è vero sse almeno uno dei termini è nullo. Esercizio 6 Dimostra che due eventi A, B A sono indipendenti sse lo sono gli eventi A, B C. Dimostriamo solo ( ) perchè il verso opposto è simile. Supponiamo A e B indipendenti. Allora valgono le seguenti uguaglianze: P (A B) P (A) P (B A) P (B) Verifichiamo che P (B C A) P (B C ). (Questo basta per dimostrare questo verso, ma per esercizio verifichiamo anche che P (A B C ) P (A)) P (B C A) P (B A) P (B) P (B C ) P (A B C ) P (BC A) P (A) P (B C ) P (BC ) P (A) P (B C ) P (A) Esercizio 7 Ho tre urne. La prima contiene palline bianche e nere. La seconda bianche e nere. La terza bianche e una nera. Lancio un dado equo: se esce 6 estraggo una pallina dalla terza urna. Se esce o estraggo dalla seconda urna. Nel altri casi estraggo dalla prima. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca? [.6] D esce un 6 ; D esce un o un ; D (D D ) C ; B estraggo una pallina bianca P (D ) 6 ; P (D ) ; P (D ) P (B D ) ; P (B D ) ; P (B D ) P (B) P (B D i ) P (D i ).6 i

9 Esercizio 8 Si pone un topo davanti a labirinti. Il topo sceglie a caso un labirinto. Da esperienze precedenti si sa che la probabilità che il topo esca da ogni labirinto in min sono, rispettivamente,.,.8,.,.. Sapendo che il topo è uscito in min, calcolare la probabilità che abbia scelto il terzo labirinto. [.] U il topo esce in min ; A i topo sceglie i-esimo labirinto P (A i ) ; P (U A ).; P (U A ).8; P (U A ).; P (U A ). P (U) P (U A i ) P (A i ). i P (A U) P (U A ) P (A ) P (U).

10 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò aprile 6 V.a. discrete e distribuzioni discrete Esercizio Dimostrare la proprietà della mancanza di memoria della legge geometrica, ovvero posto X Geom(p) e m, P X m + k X k} P X m}. Sia X Geom(p). P X k} ( p) i p ( p) k p ( p) i ( p) k p ( p)k p ik i P X m + k X k} P X k X m + k} P X m + k} P X k} ( p)m+k p ( p) k ( p) m p P X m} Esercizio Esiste una tecnica nel lotto che consiste nel giocare i numeri che non sono stati estratti da molte settimane. I giocatori che usano questa tecnica sostengono che vi siano scarse probabilità che un numero in ritardo di settimane non venga estratto nemmeno alla -esima settimana. In effetti la probabilità di un simile ritardo è bassa, ma qual è l errore in questo ragionamento? Una v.a. che modella il ritardo nell estrazione di un numero segue una legge geometrica. Sia X questa v.a.. Se io al tempo t calcolo la probabilità di avere un ritardo di almeno giorni (P X }), questa è effettivamente molto bassa. Se p è la probabilità che il numero venga estratto ( p) C 89, C 9, 7 8 P X } ( p). Il problema di questo ragionamento è che quando vado a vedere la probabilità che ha il numero di uscire, non mi trovo più al tempo t, ma al tempo t +,

11 quindi in realtà la probabilità che devo calcolare è condizionata dal fatto che il numero è in ritardo da giorni. P X X } P X } ( p).9 Esercizio Verificare che la funzione di probabilità legata alla legge di Poisson sia una densità discreta. La funzione cui ci riferiamo è e λ λx p λ (x) x!, x,,,..., n, altrimenti Questa funzione è nulla ad eccezione di un infinità numerabile di x. Quindi la prima proprietà di una densità discreta è soddisfatta. Verifichiamo la seconda proprietà ovvero che la somma delle probabilità di ogni x da. λ k k! eλ k k k p λ (k) e λ λk k! e λ k λ k k! e λ e λ Esercizio Dimostrare che per n +, una variabile di Poisson si distribuisce come una binomiale di parametri n e λ n. lim n + ( ) n x ( ) x λ ( λ n n )n x n (n ) (n x + ) lim n + n x λx x! ( n) λ n ( n) λ k λx x! e λ p λ (x) Esercizio Sia X una v.a. di Poisson di parametro λ. Sapendo che P X } P X } calcolare P X }. [.9] P X } P X } e λ λ! e λ λ! λ λ λ P X } e!.9

12 Esercizio 6 Si lancia una moneta equa. Assumendo che i lanci siano tra loro indipendenti, qual è la probabilità di dover aspettare lanci prima di vedere la prima croce, avendo già visto l esito dei primi due lanci che hanno dato due teste? [ 8 ] Sia X una v.a. che indica il numero di lanci che bisogna fare prima di ottenere la prima croce (esclusa quella che ha successo). Allora X è una v.a. che si distribuisce con legge geometrica. P X X } P X } ( ) 8 Esercizio 7 Una compagnia aerea dispone di due tipi di aerei, uno da e uno da posti. Poichè si sa che i passeggeri che prenotano poi non si presentano con probabilità., vengono sempre accettate prenotazioni sui voli da posti e su quelli da. In quale dei due aerei è maggiore il rischio di lasciare a terra almeno un passeggero che ha regolarmente prenotato, per un volo in cui si è accettato il massimo di prenotazioni? [in quello da posti, con proabilità.9] Siano X e X due v.a. che contano il numero di passeggeri che si presentano su ciascun aereo. Queste si distribuiscono secondo una legge binomiale X B(,.9) e X B(,.9). Per avere che almeno un passeggero resti a terra, è necessario che il numero di prenotazioni sia maggiore rispettivamente di e. Quindi P X > } k P X > } ( ).9 k. k.9 k ( ).9.8 Quindi il volo più a rischio anche se di poco è quello da posti. Esercizio 8 Un associazione di consumatori ha ragione di credere che un certo produttore di olio extra vergine vende solo il 7% delle bottiglie effettivamente di olio extra vergine, mentre le restanti % e % contengono rispettivamente olio semplice e olio di sansa. Per pubblicizzare la frode alimentare l associazione acquista bottiglie a caso e le fa analizzare da uun istituto indipendente. Qual è la probabilità che almeno tre bottiglie siano di olio extra vergine? [.6789] Sia X una v.a. che conta il numero di bottiglie di olio extra vergine. Questa si distribuisce con legge binomiale B(,.7). La probabilità che ci interessa calcolare è P X }. P X } k ( ).7 k.7 k.6789 k

13 Esercizio 9 Consideriamo un lago contenente pesci rossi e bianchi. Peschiamo con una rete 6 pesci. Sia X il numero di pesci bianchi pescati. Qual è la densità di X se i pesci sono mescolati casualmente nel lago? Qual è la probabilità di aver pescato un numero pari di pesci bianchi? [ 9 77 ] La v.a. X di distribuisce con legge ipergeometrica di parametri k6, b, n. La probabilità di aver pescato un numero pari di pesci bianchi equivale alla somma delle probabilità di aver pescato, e pesci bianchi ovvero P X è pari} P X k} ( ( k) ) 6 k ) 9 77 k,,} k,,} Esercizio Si lancia ripetutamente una moneta difettosa che mostra testa con probabilità.. Assumento che i lanci siano tra loro indipendenti, a) qual è la probabilità di dover aspettare almeno lanci prima di vedere la prima croce? b) Qual è la probabilità che l attesa sia tra e lanci? [a).6; b).7] Sia X la v.a. che indica il numero di lanci che hanno dato testa prima di vedere la prima croce che si distribuisce con legge geometrica di parametro.. a) La probabilità di dover aspettare almeno lanci è P X 9} Ricordiamo che la probabilità che X k con X Geom(p) è P X k} ik i ( 6 k p i ( p) ( p) ( p i p i ) i P X 9}. 9.6 ( p) ( p pk p ) pk b) Per risolvere la seconda parte dell esercizio possiamo operare in modo classico e quindi calcolarci i P X i} (dove ricordiamo che X conta il numero di teste prima di ottenere croce e quindi se aspettiamo lanci abbiamo X, e se aspettiamo lanci abbiamo X ) oppure determiniamo la funzione di ripartizione F X di X per poi calcolare F X () F X (). Optiamo per la seconda soluzione perchè più veloce. F X (k) P X k} P X k + } p k+ P X } P < X } F X () F X ()...7 Esercizio Vengono trasmessi bits binari e la probabilità di errore nella trasmissione di ogni bit è, indipendentemente dagli altri. a) Calcolare la probabilità che bits siano errati. b) Come possiamo approssimare questa probabilità in modo tale da rendere il suo calcolo (in generale) computazionalmente meno pesante e qual è il suo valore approssimato? [a).988; b).986]

14 a) Sia X la v.a. che indica il numero di bits errati, questa si distribuisce con legge Binomiale di parametri e. ( ) P X } ( ) ( ).988 b) Per semplificare la computazione di questa probabilità possiamo fare le seguenti considerazioni. Il numero di prove è particolarmente elevato, mentre la probabilità di successo (avere un bit errato) è molto bassa, possiamo apprissimare la binomiale con la distribuzione di Poisson di parametro λ p n. P X } λ! e λ e.986!

15 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 aprile 6 Funzioni di v.a., Media e Varianza Esercizio Calcolare la media delle distribuzioni binomiale, e quella di Poisson. Di quest ultima calcolare anche la varianza. Sia X Bin(n, p) E[X] n k P X k} k n k k ( ) n p k ( p) n k k n ( ) n n ( ) n n p k ( p) n k n p k+ ( p) (n ) k k k k k n ( ) n n p p k ( p) (n ) k n p (p + ( p)) n n p k k Sia X P λ E[X] k P X k} k λk k! e λ k λ k k λ k (k )! e λ λ k λ k k! e λ λ E[X ] k P λk X k} k e λ k! λ k k k k k e λ λ k (k )! λ (k + ) e λ λk λ E[X + ] λ (λ + ) k! V ar[x] E[X ] E[X] λ (λ + ) λ λ Esercizio Qual è la densità della v.a. Y X se X è una v.a. con densità p X?

16 P Y k} P X k} p X ( k) + p X ( k), se k, altrimenti Esercizio Un urna contiene sfere delle quali sono contrassegnate dal numero, una dal e una dal. Si estraggono senza reinserimento due sfere e sia X la v.a. che indica la somma dei numeri corrispondenti alle sfere estratte. Si determini: a) la funzione di densità di X, con rappresentazione grafica; b) la funzione di ripartizione di X con rappresentazione grafica; c) la media e la moda della distribuzione; d) la varianza di X; e) P X 7} e P < X } [c)., e ; d).; e) 6, ] a) Funzione di probabilità 6, x, x P X x}, x 6, x 7, altrimenti b) Funzione di ripartizione, x < 6, x, F X (x), x 6, x, 6, x 7 c) d) E[X] i,,,7} V ar[x] E[X ] E[X] i P X i}. i,,,7} i P X i}.. e) P X 7} 6 ; P < X } Esercizio Si lancia una moneta che presenta testa con probabilità.6. Se il risultato è testa, si estraggono palline con reinserimento da un urna che contiene 6 palline bianche e nere. Se esce croce, si estraggono dalla stessa urna palline senza reinserimento. Trovare funzione di probabilità e valore atteso della variabile che conta il numero di palline bianche estratte nell esperimento. [.6] il valore più probabile

17 T testa ; C croce. Calcoliamo la probabilità di estrarre x palline bianche sapendo che è uscita testa. La v.a. che conta il numero di palline bianche in questo caso si distribuisce con legge binomiale di paramentri e 6 P X x T } ( ) x. ( ) x ( ) x 6 Calcoliamo ora la probabilità di estrarre x palline bianche sapendo che è uscita croce. La v.a. che conta il numero di palline bianche in questo caso si distribuisce con legge ipergeometrica di parametri, 6,. ( 6 ( P X x C} x) ) x ( ) Calcoliamo la probabilità P X x}, utilizzando il teorema delle probabilità totali. P X x} P X x T } P (T ) + P X x C} P (C) P X x T }.6 + P X x C}. Ricordiamo che E[X T ] è pari alla media di una v.a. che si distribuisce con legge binomiale di parametri e 6, mentre E[X C] è pari alla media di una v.a. che si distribuisce con legge ipergeometrica di parametri, 6,. Calcoliamo il valore atteso E[X] E[X T ].6 + E[X C] Esercizio Da un urna contenente palline rosse in proporzione < p < vengono estratte n palline con reimbussolamento. Queste vengono messe in una seconda urna da dove si estrae una pallina. a) Qual è la probabilità che sia rossa? b) Sapendo che l estrazione dalla seconda urna da dato una pallina rossa, qual è la probabilità che il numero di palline rosse estratte dalla prima urna fosse k con k n? c) Qual è il numero medio di palline rosse estratte dalla prima urna sapendo che la pallina estratta dalla seconda è rossa? [a) p; b) prob. di estrarre k palline rosse dalla prima urna con però n palline; c) + il numero medio di palline rosse estratte dalla prima urna con n palline] X v.a. che conta il numero di palline rosse estratte dalla prima urna R estratto rossa dalla seconda La v.a. X si distribuisce con legge binomiale di parametri n e p. a) n n ( i n P (R) P R X i} P X i} n i i i n ( ) n n ( n p i ( p) n i p i i i i ) p i ( p) n i ) p i ( p) (n ) i p

18 b) P R X k} P X k} P X k R} P (R) ( n k k n (n) k pk ( p) n k p ) p k ( p) (n ) (k ) La probabilità che il numero di palline rosse estratte dalla prima urna sia k sapendo che dalla seconda urna è stata estratta una pallina rossa, è pari alla probabilità di estrarre k palline rosse dalla prima urna dalla quale abbiamo prima tolto una pallina. c) Sia Y una v.a. che conta il numero di palline rosse estratte dalla prima urna sapendo che la palline estratta dalla seconda è rossa. Questa ha come densità P X k R}. Calcoliamo la media di Y n n ( ) n E[Y ] k P Y k} k p k p (n ) (k ) k k k n ( ) n (j + ) p j p (n ) j E[Z + ] E[Z] + j j dove Z è una v.a. che si distribuisce con legge binomiale di parametri (n ) e p. Come possiamo vedere il numero medio di palline rosse è sicuramente maggiore di uno, perchè avendone estratta una dalla seconda, sappiamo per certo che almeno una c è. Il numero di palline rosse restanti è lo stesso numero medio di palline rosse che otteniamo se le estraessimo da un urna con n palline. Esercizio 6 Una partita di 6 stereo ne contiene difettosi. Un locale acquista di questi stereo a caso. a) Se X conta il numero di stereo difettosi, trovarne la funzione di probabilità e la funzione di ripartizione con relativi grafici. b) Calcolarne media, varianza, moda e quartili. c) Dalla funzione di ripartizione ricavare P X }, P < X }. [Distribuzione ipergeometrica; b),,,,, ; c), a) X si distribuisce con legge ipergeometrica di parametri k, b, n6. ( ( P X k} k) ) k ( 6 ) Funzione di probabilità, x P X x}, x, x, altrimenti Funzione di ripartizione, x < F X (x), x, x, x

19 b) E[X] x i P X x i } i,,} V ar[x] E[X ] E[X] i,,} Moda[X] arg max P X k} k x i P X x i } c) q. arg max P X k}. k q. arg max P X k}. k q.7 arg max P X k}.7 k P X } P < X } F X () F X () P < X } F X () F X () Esercizio 7 Un urna contiene tre palline numerate da a. Si estraggono con reinserimento due palline e sia X la v.a. che indica la differenza in modulo dei numeri estratti. Si determini: a) la funzione di densità con relativo grafico; b) la funzione di ripartizione con relativo grafico; c) la media e la moda della distribuzione X; d) la varianza di X; e) P X } e P X < }. [c) 8 9, d) 8 e), 9 ] a) b) c), x P X x} 9, x 9, x, altrimenti E[X], x < F X (x), x 7 9, x, x i,,} x i P X x i } 8 9 Moda[X]

20 d) V ar[x] E[X ] E[X] i,,} x i P X x i } ( ) e) P X } F X () P X < } P < X } F X () F X () 9 Esercizio 8 Si lancia volte una moneta e sia X numero di T seguite da C. a) Trovare e disegnare la funzione di probabilità di X; b) Trovare e disegnare la funzione di ripartizione di X; c) Calcolare media, varianza, moda e mediana di X. [c), 6,, ] Lo spazio campionario è caratterizzato da D, 6 combinazioni. Analizziamo per casi il numero di combinazioni per avere k T seguite da una C. k TTTT CTTT CCTT CCC* ( combinazioni) k TCCC TCTT *TCC *TCT **TC ( combinazioni) k TCTC ( combinazione) a) Funzione di probabilità 6, k P X k} 6, k 6, k, altrimenti b) Funzione di ripartizione, k < F X (k) 6, k 6, k, k c) E[X] i,,} V ar[x] E[X ] E[X] x i P X x i } i,,} Moda[X] Mediana[X] q. x i P X x i } ( ) 6 6

21 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 8 maggio 6 Vettori aleatori e funzioni di v.a. Esercizio Si lanciano due dadi equi. Qual è la probabilità che la somma sia? [ ] Siano X, X le v.a. che indicano l esito rispettivamente dei due lanci. Sia Z X + X. Calcoliamo la probabilità P Z }. P Z } 6 P X y} P X y} P X } P X }+ y + P X } P X } + P X } P X } ( ) 6 Esercizio Si consideri un urna con palline numerate. Si estraggono due palline con reimmissione. Sia (X, X ) il vettore aleatorio che descrive l esperimento. a) Calcolare la densità congiunta del vettore e le densità marginali. b) Ripetere il calcolo nel caso di estrazione in blocco delle due palline. a) Nel caso di estrazioni con reimmissione abbiamo che le v.a. X e X sono indipendenti. La probabilità di estrarre una pallina è, quindi le probabilità marginali P X x } P X x }. La probabilità congiunta è data da P X x, X x } P X x } P X x } b) Nel caso di estrazioni senza reimmissione abbiamo che le v.a. X e X non sono indipendenti. Se consideriamo le possibili coppie di palline estratte gli unici casi impossibili sono quando abbiamo due palline uguali. Quindi lo spazio campionario è formato da 9 casi, e di conseguenza la probablità congiunta in questo caso è data da P X x, X x } 9 Ricostruiamo ora le densità marginali P X x } z P X x, X z} 9 9

22 Allo stesso modo calcoliamo P X x }. Quindi abbiamo che nel secondo caso le densità marginali sono le stesse del primo caso, ma la denistà congiunta è diversa e in particolare non è ricostruibile a partire dalle densità marginali tramite prodotto. Ciò dimostra che non c è indipendenza. Esercizio Si consideri un urna con palline numerate. Si estraggono due palline senza reimmessione. Sia (X, X ) il vettore aleatorio che descrive l esperimento. Calcolare la densità condizionata della prima pallina estratta dato il risultato della seconda estrazione. [ 9 ] Considerando i risultati ottenuti con l esercizio precedente abbiamo che la probabilità congiunta di estrarre una certa coppia di palline è 9 mentre la densità marginale di estrarne una è, quindi la probabilità condizionata della prima pallina estratta data la seconda è P X x X x } P X x, X x } P X x } Esercizio Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con la seguente densità congiunta X \ Y Dopo aver verificato che si tratti di una densità ben data, calcolare la denistà marginale di X e Y e discutere della loro eventuale indipendenza. Calcolare poi la densità di X condizionata a Y. Calcolare infine la media, la varianza delle due v.a., la covarianza e il coefficiente di correlazione. [E[X], E[Y ] ρ[x, Y ].689], V ar[x] 8 9 9, V ar[y ] 8, Cov[X, Y ] 9, La densità del vettore aleatorio è ben data perchè la somma di ogni elemento della matrice da. Quindi supponendo,, } il codominio di ciascuna v.a. i j P X i, Y j} Calcoliamo le densità marginali. Le densità marginali relative a X sono le somme di ciascuna riga, mentre quelle relative a Y sono le somme di ciascuna colonna. X \ Y 7 6

23 Quindi P X } 7, P Y }, P X }, P Y } 6, P X }, P Y }. Le due v.a. non sono indipendenti infatti possiamo trovare almeno un caso in cui il prodotto delle probabilità marginali non coincide con la congiunta. P X, Y } 7 P X } P Y } 6 Passiamo ora al calcolo delle probabilità condizionate di X dato Y. P X i Y j} X \ Y 7 P X i, Y j} P Y j} 7 7 Calcoliamo la media e la varianza delle v.a.. E[X] k P X k} E[Y ] k,,} k,,} V ar[x] E[X ] E[X] V ar[y ] E[Y ] E[Y ] E[X Y ] k,j,,} k,,} k P Y k} k,,} k P X k} k P Y k} k j P X k, Y j} Cov[X, Y ] E[X Y ] E[X] E[Y ] 6 9 Cov[X, Y ] ρ[x, Y ].689 V ar[x] V ar[y ] ( ) 8 ( ) 8 Esercizio Si calcoli la denistà della somma di n variabili aleatorie bernouilliane indipendenti di parametro p. Siano X i Bin(, p) con i n e sia X (X,..., X n ) il vettore aleatorio che le contiene. Sia poi φ(x) n i X i. P φ(x) k} P X φ (k)} Il vettore aleatorio X assume il valore k se k delle n variabili bernouilliane assumono valore. Quindi φ (k) contiene l insieme di esiti in cui delle n v.a.

24 solo k hanno successo, ovvero assumono valore. Ma questo significa che la probabilità della somma di n v.a. bernouilliane corrisponde alla probabilità di avere k successi su n prove ovvero la probabilità di una v.a. con legge binomiale di parametri n e p. ( ) n P X φ (k)} p k ( p) n k k Quindi se Z n i X i con X i Bin(, p) allora Z Bin(n, p). Esercizio 6 Si dimostri che la densità di probabilità della somma S di due v.a. aleatorie discrete X e Y, indipendenti e con densità di Poisson di parametri λ X e λ Y è ancora di Poisson con parametro λ X + λ Y. Utilizziamo il teorema di convoluzione. P X+Y k} k P X z} P Y k z} z e (λ X +λ Y ) k! k z k z λ z X λ k z Y z! e λx (k z)! e λ Y ( ) k λ z X λ k z Y (λ X + λ Y ) k e (λ X +λ Y ) z k! Esercizio 7 In una banca ci sono due sportelli. Sia (X, X ) il numero di clienti in coda nei due sportelli e si supponga che tale vettore aleatorio segua la seguente densità X \ X Verificare che sia una densità discreta e calcolare la probabilità che le due code differiscano esattamente di una persona. [.] La somma di tutti gli elementi della densità congiunta da quindi è ben definita. La probabilità che vogliamo calcolare è P X Y }. P X Y } P X Y } + P X Y } P X z, Y z } + P X z, Y z + }. z (Equivale alla somma degli elementi subito sopra e sotto la diagonale della matrice.) Esercizio 8 Si lancia una moneta equa volte. Sia X il numero totale di teste e sia Y il numero di teste dell ultimo lancio ( o ). Si calcoli la densità congiunta di (X, Y ) e le due densità marginali.