Esercizi di Probabilità e Statistica

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercizi di Probabilità e Statistica"

Transcript

1 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 6 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare la probabilità di avere a) una pallina bianca; b) una pallina nera; c) una pallina non bianca; d) una pallina blu. [a) 9 ; b) 9 ; c) 9 ; d) ] P (E a ) # bianche Ω 9 P (E c ) # bianche Ω 9 P (E b ) # nere Ω 9 P (E d ) # blu Ω Esercizio Un urna contiene palline numerate da a ; si estraggono contemporaneamente palline. Calcolare la probabilità di avere: a) due numeri dispari; b) un numero divisibile per e uno non divisibile per ; due numeri la cui somma è. [a) 9, b) 6 9, c) ] Ω numero di combinazioni di classe sulle palline (C, ). Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a numero di combinazioni di classe sulle palline dispari (C, ). E b numero di coppie (non ordinate) di palline in cui una è divisibile per e una non lo è. palline divisibili per (ovvero ) palline non divisibili per (ovvero ). E c numero di coppie (non ordinate) di palline che danno come somma (ovvero ) P (E a ) C, C, 9 P (E c ) C, P (E b ) C, 6 9

2 Esercizio Si estraggono contemporaneamente carte da un mazzo di carte. Calcolare la probabilità di avere: a) figure; b) figure e un asso; c) una figura, un asso, un sette. [a) 9 ; b) ; c) ] Ω numero di combinazioni di classe su (C, ). Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a numero di combinazioni di classe sulle figure (C, ). E b prodotto tra il numero di combinazioni di classe sulle figure (C, ), e il numero di possibili assi (ovvero ). E c prodotto tra il numero di figure (ovvero ), il numero di assi (ovvero ), e il numero di 7 (ovvero ). P (E a ) C, C, 9 P (E c ) C, P (E b ) C, C, Esercizio Nel gioco del Totocalcio calcolare la probabilità dei seguenti eventi, supponendo che qualunque risultato sia equopossibile: a) totalizzare punti; b) totalizzare punti; c) sbagliare tutti i pronostici. [a) 9 ; b) 6 9 ; c) 89 9 ] Ω numero di disposizioni di classe sui possibili pronostici (,, X) (D,) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a l unica combinazione vincente E b il prodotto tra il numero di combinazioni vincenti di classe sulle partite (C, ), e il numero di pronostici perdenti sull unica partita sbagliata (ovvero ) E c il numero di disposizioni perdenti di classe (il numero di partite) sui possibili pronostici (due perchè una è vincente e due sono perdenti) (D,) P (E a ) D, P (E b ) C, D, 6 P (E c ) D, D, Esercizio Una scatola contiene lampadine di cui si sa che sono difettose; si prendono a caso lampadine. Calcolare la probabilità che: a) siano tutte difettose; b) almeno una non sia difettosa. [a) ; b) ]

3 Ω numero di combinazioni di classe sulle possibili lampadine (C, ) Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a numero di combinazioni di lampadine difettose di classe (C, ) E b questo insieme è complementare ad E a P (E a ) C, C, P (E b ) P (E a ) Esercizio 6 Si lanciano dadi. Calcolare la probabilità di avere: a) numeri dispari; b) due numeri pari e uno dispari; c) tre numeri la cui somma sia ; almeno due. [a) 8 ; b) 8 ; c) 6 ; d) 7 ] Ω numero di disposizioni con ripetizione di classe (numero di dadi) sui 6 possibili numeri (D 6,) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a numero di disposizioni con ripetizione di classe (numero di dadi) sui possibili valori (numeri dispari tra e 6) (D,) E b prodotto tra il numero di disposizioni con ripetizione di classe (i due dadi) sui possibili valori (numeri pari tra e 6) (D,), il numero di valori dispari che può assumere il terzo dado (ovvero ), e il numero di ordinamenti possibili (ovvero C, ) E c numero di coppie ordinate di numeri tra e 6 la cui somma da E d prodotto tra il numero di combinazioni di classe (i due dadi con l ) sui dadi e il numero di valori che può assumere il terzo dado tralasciando l (ovvero ). In più sommiamo l esito (,,). P (E a ) D, D 6, 8 P (E c ) 6 D 6, 6 P (E b ) D, C, 8 P (E d ) C, Esercizio 7 Cinque amici A, B, C, D, E acquistano biglietti per posti contigui a teatro e si siedono a caso in uno dei posti. Calcolare la probabilità degli eventi: a) i cinque amici si siedono in ordine alfabetico; b) A e B sono seduti vicino. [a) ; b) ] Tralasciamo l perchè la combinazione (,,) non è riordinabile, quindi non deve entrarmi del prodotto con i possibili ordinamenti C,

4 Ω numero di permutazioni dei amici (!) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a l unica permutazione che preserva l ordine alfabetico E b prodotto tra il numero di esiti che fanno sedere A e B vicini (ovvero 8), e il numero di permutazioni degli altri amici sui restanti posti (!) P (E a )! P (E b ) 8!! Esercizio 8 Si consideri un gruppo di persone. Calcolare le seguenti probabilità: a) che siano nate tutte nello stesso mese, supponendo che le nascite nei vari mesi siano egualmente possibili; b) siano nate tutte in mesi diversi. [a) 76 ; b) ] Ω Il numero di disposizioni con ripetizione di classe (le persone) sui possibili mesi (D,) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a Il numero di esiti che corrispondono a nascita di ciascuna persona nello stesso mese (ovvero ) E b Il numero di disposizioni di classe (le persone) sui possibili mesi (D, ) P (E a ) D, P (E b ) D, D, Esercizio 9 In una moneta non è regolare, la probabilità di avere testa è la probabilità di avere croce. Calcolare la probabilità di ciascuna faccia. [T ; C ] P (T ) P (C) P (T ) + P (C) P (T ) P (C) () () Esercizio Verificare che per qualunque coppia di eventi A, B A. P (A \ B) P (A) P (A B). P (A B C ) P (A) P (A B)

5 . P (A C B C ) P (A B). P (A C B C ) P (A B). P (A\B) P (A (A B)) P ((A C (A B) C ) C ) P (A C (A B) C ) P (A) P (A B)... P (A B C ) P (A \ B) P (A) P (A B) P (A C B C ) P ((A B) C ) P (A B) P (A C B C ) P ((A B) C ) P (A B) Esercizio Un giocatore di poker riceve all inizio del gioco cinque carte da un normale mazzo di. a) Qual è la probabilità di ricevere almeno assi? b) Qual è la probabilità di ricevere cinque carte dello stesso seme? c) Qual è la probabilità di ricevere un poker servito? [a).68; b) 666 ; c) 6 ] Ω Il numero combinazioni di classe (il numero di carte ricevute) sulle carte possibili (C, ). Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a Dobbiamo considerare il caso di estrarre esattamente, e assi quindi avremo la sommatoria con i [, ] del prodotto tra il numero di combinazioni di classe i (gli assi estratti) sui assi possibili(c, ), e il numero di combinazioni di classe i (le carte rimanenti) sulle restanti 8 carte (C 8,i ). E b Il prodotto tra il numero di semi (ovvero ) e il numero di combinazioni di classe (il numero di carte) sulle carte per seme (C, ) E c Il prodotto tra il numero di possibili poker (ovvero ), e il numero di restanti valori per la carta rimanente (ovvero 8) P (E a ) P (E c ) i C,i C 8, i C,.68 P (E b ) C, C, C, 6

6 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò aprile 6 Probabilità condizionata Esercizio I componenti prodotti da una certa ditta possono presentare due tipi di difetti, con percentuali % e 7% rispettivamente. I due tipi di difettosità si possono produrre in momenti diversi della produzione per cui si può assumere che le presenze dell uno o dell altro siano indipendenti tra loro. a) Qual è la probabilità che un componente presenti entrambi i difetti? b) Qual è la probabilità che un componente presenti almeno uno dei due difetti? c) Qual è la probabilità che un componente presenti il difetto, sapendo che esso è difettoso? d) Qual è la probabilità che esso presenti uno solo dei due difetti sapendo che esso è difettoso? [a).; b).979; c).6 d).978 ] D presenta difetto ; D presenta difetto P (D ).; P (D ).7 a) P (D D ) P (D ) P (D ).. b) P (D D ) P (D ) + P (D ) P (D D ).979 c) P (D D D ) P (D D D ) P (D ) P (D D ) d) D D (D D ) \ (D D ) P (D D ) P (D D D D ) P (D D D D ) P (D D ) P (D D ) Esercizio Un urna contiene due carte: una di esse ha entrambi i lati neri mentre l altra ha un lato nero e uno bianco. Una carta viene estratta e se ne guarda uno solo dei lati: è nero. Qual è la probabilità che anche il secondo lato sia nero? [ ] A entratto carta NN ; A estratto carta BN ; N estratto lato nero

7 P (A ) P (A ) P (N) P (N A i ) P (A i ) + i P (A N) P (N A ) P (A ) P (N) Esercizio Dieci urne contengono tutte palline rosse (R) e un numero variabile di palline bianche (B). Più precisamente l urna i-esima contiene palline R e i palline B. Un urna viene scelta a caso e da essa vengono estratte due palline. a) Qual è la probabilità che le due palline siano una B e una R? b) Supponiamo che l estrazione abbia dato come risultato una pallina B e una R. Qual è la probabilità p i che l urna prescelta sia la i-esima? Qual è l urna più probabile? c) Supponiamo invece che vi siano urne contenenti palline R e B (le urne sono quindi ). Se l estrazione ha dato come risultato una pallina B ed una R, qual è ora la probabilità che l urna prescelta sia di tipo i (cioè contenga i palline B)? Qual è ora il valore i più probabile? [a).6 ; b) e le urne più probabili; c) sempre e ] A i estratto da urna i ; B estrarre una B e una R P (A i ) a) b) P (B) i P (B A i ) P (A i ) p i P (A i B) P (B A i) P (A i ) P (B) c) A A P (A i ) P (B) i Per ogni i [, ] i arg max i [,] p i, } P (B A i ) P (A i ) + P (B A ) P (A ) p i P (A i B) P (B A i) P (A i ) P (B) i C i+,.6 i C i+,.6.8 i (i + ) (i + ) i i C i+, + C,.9997 i C i+, i (i + ) (i + ) p p arg max i [,] p i, }

8 Esercizio Vivo a Venezia; domani ci può essere l acqua alta oppure no. L acqua alta domani è annunciata con probabilità.. Se c è acqua alta arrivo a lezione in ritardo con probabilità.8; se non c è acqua alta la probabilità che arrivi tardi a lezione è comunque.. Qual è la probabilità che arrivi tardi? [.8] A domani c è acqua alta ; B arrivo tardi a lezione P (A).; P (B A).8; P (B A C ). P (B) P (B A) P (A) + P (B A C ) P (A C ).8 Esercizio Se due eventi sono disgiunti e indipendenti, cosa si può dire della loro probabilità? [almeno uno dei due eventi ha probabilità nulla] Dati A, B A, sappiamo che A B e quindi P (A B). Inoltre sappiamo che sono indipendenti e quindi P (A B) P (A) P (B) che è vero sse almeno uno dei termini è nullo. Esercizio 6 Dimostra che due eventi A, B A sono indipendenti sse lo sono gli eventi A, B C. Dimostriamo solo ( ) perchè il verso opposto è simile. Supponiamo A e B indipendenti. Allora valgono le seguenti uguaglianze: P (A B) P (A) P (B A) P (B) Verifichiamo che P (B C A) P (B C ). (Questo basta per dimostrare questo verso, ma per esercizio verifichiamo anche che P (A B C ) P (A)) P (B C A) P (B A) P (B) P (B C ) P (A B C ) P (BC A) P (A) P (B C ) P (BC ) P (A) P (B C ) P (A) Esercizio 7 Ho tre urne. La prima contiene palline bianche e nere. La seconda bianche e nere. La terza bianche e una nera. Lancio un dado equo: se esce 6 estraggo una pallina dalla terza urna. Se esce o estraggo dalla seconda urna. Nel altri casi estraggo dalla prima. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca? [.6] D esce un 6 ; D esce un o un ; D (D D ) C ; B estraggo una pallina bianca P (D ) 6 ; P (D ) ; P (D ) P (B D ) ; P (B D ) ; P (B D ) P (B) P (B D i ) P (D i ).6 i

9 Esercizio 8 Si pone un topo davanti a labirinti. Il topo sceglie a caso un labirinto. Da esperienze precedenti si sa che la probabilità che il topo esca da ogni labirinto in min sono, rispettivamente,.,.8,.,.. Sapendo che il topo è uscito in min, calcolare la probabilità che abbia scelto il terzo labirinto. [.] U il topo esce in min ; A i topo sceglie i-esimo labirinto P (A i ) ; P (U A ).; P (U A ).8; P (U A ).; P (U A ). P (U) P (U A i ) P (A i ). i P (A U) P (U A ) P (A ) P (U).

10 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò aprile 6 V.a. discrete e distribuzioni discrete Esercizio Dimostrare la proprietà della mancanza di memoria della legge geometrica, ovvero posto X Geom(p) e m, P X m + k X k} P X m}. Sia X Geom(p). P X k} ( p) i p ( p) k p ( p) i ( p) k p ( p)k p ik i P X m + k X k} P X k X m + k} P X m + k} P X k} ( p)m+k p ( p) k ( p) m p P X m} Esercizio Esiste una tecnica nel lotto che consiste nel giocare i numeri che non sono stati estratti da molte settimane. I giocatori che usano questa tecnica sostengono che vi siano scarse probabilità che un numero in ritardo di settimane non venga estratto nemmeno alla -esima settimana. In effetti la probabilità di un simile ritardo è bassa, ma qual è l errore in questo ragionamento? Una v.a. che modella il ritardo nell estrazione di un numero segue una legge geometrica. Sia X questa v.a.. Se io al tempo t calcolo la probabilità di avere un ritardo di almeno giorni (P X }), questa è effettivamente molto bassa. Se p è la probabilità che il numero venga estratto ( p) C 89, C 9, 7 8 P X } ( p). Il problema di questo ragionamento è che quando vado a vedere la probabilità che ha il numero di uscire, non mi trovo più al tempo t, ma al tempo t +,

11 quindi in realtà la probabilità che devo calcolare è condizionata dal fatto che il numero è in ritardo da giorni. P X X } P X } ( p).9 Esercizio Verificare che la funzione di probabilità legata alla legge di Poisson sia una densità discreta. La funzione cui ci riferiamo è e λ λx p λ (x) x!, x,,,..., n, altrimenti Questa funzione è nulla ad eccezione di un infinità numerabile di x. Quindi la prima proprietà di una densità discreta è soddisfatta. Verifichiamo la seconda proprietà ovvero che la somma delle probabilità di ogni x da. λ k k! eλ k k k p λ (k) e λ λk k! e λ k λ k k! e λ e λ Esercizio Dimostrare che per n +, una variabile di Poisson si distribuisce come una binomiale di parametri n e λ n. lim n + ( ) n x ( ) x λ ( λ n n )n x n (n ) (n x + ) lim n + n x λx x! ( n) λ n ( n) λ k λx x! e λ p λ (x) Esercizio Sia X una v.a. di Poisson di parametro λ. Sapendo che P X } P X } calcolare P X }. [.9] P X } P X } e λ λ! e λ λ! λ λ λ P X } e!.9

12 Esercizio 6 Si lancia una moneta equa. Assumendo che i lanci siano tra loro indipendenti, qual è la probabilità di dover aspettare lanci prima di vedere la prima croce, avendo già visto l esito dei primi due lanci che hanno dato due teste? [ 8 ] Sia X una v.a. che indica il numero di lanci che bisogna fare prima di ottenere la prima croce (esclusa quella che ha successo). Allora X è una v.a. che si distribuisce con legge geometrica. P X X } P X } ( ) 8 Esercizio 7 Una compagnia aerea dispone di due tipi di aerei, uno da e uno da posti. Poichè si sa che i passeggeri che prenotano poi non si presentano con probabilità., vengono sempre accettate prenotazioni sui voli da posti e su quelli da. In quale dei due aerei è maggiore il rischio di lasciare a terra almeno un passeggero che ha regolarmente prenotato, per un volo in cui si è accettato il massimo di prenotazioni? [in quello da posti, con proabilità.9] Siano X e X due v.a. che contano il numero di passeggeri che si presentano su ciascun aereo. Queste si distribuiscono secondo una legge binomiale X B(,.9) e X B(,.9). Per avere che almeno un passeggero resti a terra, è necessario che il numero di prenotazioni sia maggiore rispettivamente di e. Quindi P X > } k P X > } ( ).9 k. k.9 k ( ).9.8 Quindi il volo più a rischio anche se di poco è quello da posti. Esercizio 8 Un associazione di consumatori ha ragione di credere che un certo produttore di olio extra vergine vende solo il 7% delle bottiglie effettivamente di olio extra vergine, mentre le restanti % e % contengono rispettivamente olio semplice e olio di sansa. Per pubblicizzare la frode alimentare l associazione acquista bottiglie a caso e le fa analizzare da uun istituto indipendente. Qual è la probabilità che almeno tre bottiglie siano di olio extra vergine? [.6789] Sia X una v.a. che conta il numero di bottiglie di olio extra vergine. Questa si distribuisce con legge binomiale B(,.7). La probabilità che ci interessa calcolare è P X }. P X } k ( ).7 k.7 k.6789 k

13 Esercizio 9 Consideriamo un lago contenente pesci rossi e bianchi. Peschiamo con una rete 6 pesci. Sia X il numero di pesci bianchi pescati. Qual è la densità di X se i pesci sono mescolati casualmente nel lago? Qual è la probabilità di aver pescato un numero pari di pesci bianchi? [ 9 77 ] La v.a. X di distribuisce con legge ipergeometrica di parametri k6, b, n. La probabilità di aver pescato un numero pari di pesci bianchi equivale alla somma delle probabilità di aver pescato, e pesci bianchi ovvero P X è pari} P X k} ( ( k) ) 6 k ) 9 77 k,,} k,,} Esercizio Si lancia ripetutamente una moneta difettosa che mostra testa con probabilità.. Assumento che i lanci siano tra loro indipendenti, a) qual è la probabilità di dover aspettare almeno lanci prima di vedere la prima croce? b) Qual è la probabilità che l attesa sia tra e lanci? [a).6; b).7] Sia X la v.a. che indica il numero di lanci che hanno dato testa prima di vedere la prima croce che si distribuisce con legge geometrica di parametro.. a) La probabilità di dover aspettare almeno lanci è P X 9} Ricordiamo che la probabilità che X k con X Geom(p) è P X k} ik i ( 6 k p i ( p) ( p) ( p i p i ) i P X 9}. 9.6 ( p) ( p pk p ) pk b) Per risolvere la seconda parte dell esercizio possiamo operare in modo classico e quindi calcolarci i P X i} (dove ricordiamo che X conta il numero di teste prima di ottenere croce e quindi se aspettiamo lanci abbiamo X, e se aspettiamo lanci abbiamo X ) oppure determiniamo la funzione di ripartizione F X di X per poi calcolare F X () F X (). Optiamo per la seconda soluzione perchè più veloce. F X (k) P X k} P X k + } p k+ P X } P < X } F X () F X ()...7 Esercizio Vengono trasmessi bits binari e la probabilità di errore nella trasmissione di ogni bit è, indipendentemente dagli altri. a) Calcolare la probabilità che bits siano errati. b) Come possiamo approssimare questa probabilità in modo tale da rendere il suo calcolo (in generale) computazionalmente meno pesante e qual è il suo valore approssimato? [a).988; b).986]

14 a) Sia X la v.a. che indica il numero di bits errati, questa si distribuisce con legge Binomiale di parametri e. ( ) P X } ( ) ( ).988 b) Per semplificare la computazione di questa probabilità possiamo fare le seguenti considerazioni. Il numero di prove è particolarmente elevato, mentre la probabilità di successo (avere un bit errato) è molto bassa, possiamo apprissimare la binomiale con la distribuzione di Poisson di parametro λ p n. P X } λ! e λ e.986!

15 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 aprile 6 Funzioni di v.a., Media e Varianza Esercizio Calcolare la media delle distribuzioni binomiale, e quella di Poisson. Di quest ultima calcolare anche la varianza. Sia X Bin(n, p) E[X] n k P X k} k n k k ( ) n p k ( p) n k k n ( ) n n ( ) n n p k ( p) n k n p k+ ( p) (n ) k k k k k n ( ) n n p p k ( p) (n ) k n p (p + ( p)) n n p k k Sia X P λ E[X] k P X k} k λk k! e λ k λ k k λ k (k )! e λ λ k λ k k! e λ λ E[X ] k P λk X k} k e λ k! λ k k k k k e λ λ k (k )! λ (k + ) e λ λk λ E[X + ] λ (λ + ) k! V ar[x] E[X ] E[X] λ (λ + ) λ λ Esercizio Qual è la densità della v.a. Y X se X è una v.a. con densità p X?

16 P Y k} P X k} p X ( k) + p X ( k), se k, altrimenti Esercizio Un urna contiene sfere delle quali sono contrassegnate dal numero, una dal e una dal. Si estraggono senza reinserimento due sfere e sia X la v.a. che indica la somma dei numeri corrispondenti alle sfere estratte. Si determini: a) la funzione di densità di X, con rappresentazione grafica; b) la funzione di ripartizione di X con rappresentazione grafica; c) la media e la moda della distribuzione; d) la varianza di X; e) P X 7} e P < X } [c)., e ; d).; e) 6, ] a) Funzione di probabilità 6, x, x P X x}, x 6, x 7, altrimenti b) Funzione di ripartizione, x < 6, x, F X (x), x 6, x, 6, x 7 c) d) E[X] i,,,7} V ar[x] E[X ] E[X] i P X i}. i,,,7} i P X i}.. e) P X 7} 6 ; P < X } Esercizio Si lancia una moneta che presenta testa con probabilità.6. Se il risultato è testa, si estraggono palline con reinserimento da un urna che contiene 6 palline bianche e nere. Se esce croce, si estraggono dalla stessa urna palline senza reinserimento. Trovare funzione di probabilità e valore atteso della variabile che conta il numero di palline bianche estratte nell esperimento. [.6] il valore più probabile

17 T testa ; C croce. Calcoliamo la probabilità di estrarre x palline bianche sapendo che è uscita testa. La v.a. che conta il numero di palline bianche in questo caso si distribuisce con legge binomiale di paramentri e 6 P X x T } ( ) x. ( ) x ( ) x 6 Calcoliamo ora la probabilità di estrarre x palline bianche sapendo che è uscita croce. La v.a. che conta il numero di palline bianche in questo caso si distribuisce con legge ipergeometrica di parametri, 6,. ( 6 ( P X x C} x) ) x ( ) Calcoliamo la probabilità P X x}, utilizzando il teorema delle probabilità totali. P X x} P X x T } P (T ) + P X x C} P (C) P X x T }.6 + P X x C}. Ricordiamo che E[X T ] è pari alla media di una v.a. che si distribuisce con legge binomiale di parametri e 6, mentre E[X C] è pari alla media di una v.a. che si distribuisce con legge ipergeometrica di parametri, 6,. Calcoliamo il valore atteso E[X] E[X T ].6 + E[X C] Esercizio Da un urna contenente palline rosse in proporzione < p < vengono estratte n palline con reimbussolamento. Queste vengono messe in una seconda urna da dove si estrae una pallina. a) Qual è la probabilità che sia rossa? b) Sapendo che l estrazione dalla seconda urna da dato una pallina rossa, qual è la probabilità che il numero di palline rosse estratte dalla prima urna fosse k con k n? c) Qual è il numero medio di palline rosse estratte dalla prima urna sapendo che la pallina estratta dalla seconda è rossa? [a) p; b) prob. di estrarre k palline rosse dalla prima urna con però n palline; c) + il numero medio di palline rosse estratte dalla prima urna con n palline] X v.a. che conta il numero di palline rosse estratte dalla prima urna R estratto rossa dalla seconda La v.a. X si distribuisce con legge binomiale di parametri n e p. a) n n ( i n P (R) P R X i} P X i} n i i i n ( ) n n ( n p i ( p) n i p i i i i ) p i ( p) n i ) p i ( p) (n ) i p

18 b) P R X k} P X k} P X k R} P (R) ( n k k n (n) k pk ( p) n k p ) p k ( p) (n ) (k ) La probabilità che il numero di palline rosse estratte dalla prima urna sia k sapendo che dalla seconda urna è stata estratta una pallina rossa, è pari alla probabilità di estrarre k palline rosse dalla prima urna dalla quale abbiamo prima tolto una pallina. c) Sia Y una v.a. che conta il numero di palline rosse estratte dalla prima urna sapendo che la palline estratta dalla seconda è rossa. Questa ha come densità P X k R}. Calcoliamo la media di Y n n ( ) n E[Y ] k P Y k} k p k p (n ) (k ) k k k n ( ) n (j + ) p j p (n ) j E[Z + ] E[Z] + j j dove Z è una v.a. che si distribuisce con legge binomiale di parametri (n ) e p. Come possiamo vedere il numero medio di palline rosse è sicuramente maggiore di uno, perchè avendone estratta una dalla seconda, sappiamo per certo che almeno una c è. Il numero di palline rosse restanti è lo stesso numero medio di palline rosse che otteniamo se le estraessimo da un urna con n palline. Esercizio 6 Una partita di 6 stereo ne contiene difettosi. Un locale acquista di questi stereo a caso. a) Se X conta il numero di stereo difettosi, trovarne la funzione di probabilità e la funzione di ripartizione con relativi grafici. b) Calcolarne media, varianza, moda e quartili. c) Dalla funzione di ripartizione ricavare P X }, P < X }. [Distribuzione ipergeometrica; b),,,,, ; c), a) X si distribuisce con legge ipergeometrica di parametri k, b, n6. ( ( P X k} k) ) k ( 6 ) Funzione di probabilità, x P X x}, x, x, altrimenti Funzione di ripartizione, x < F X (x), x, x, x

19 b) E[X] x i P X x i } i,,} V ar[x] E[X ] E[X] i,,} Moda[X] arg max P X k} k x i P X x i } c) q. arg max P X k}. k q. arg max P X k}. k q.7 arg max P X k}.7 k P X } P < X } F X () F X () P < X } F X () F X () Esercizio 7 Un urna contiene tre palline numerate da a. Si estraggono con reinserimento due palline e sia X la v.a. che indica la differenza in modulo dei numeri estratti. Si determini: a) la funzione di densità con relativo grafico; b) la funzione di ripartizione con relativo grafico; c) la media e la moda della distribuzione X; d) la varianza di X; e) P X } e P X < }. [c) 8 9, d) 8 e), 9 ] a) b) c), x P X x} 9, x 9, x, altrimenti E[X], x < F X (x), x 7 9, x, x i,,} x i P X x i } 8 9 Moda[X]

20 d) V ar[x] E[X ] E[X] i,,} x i P X x i } ( ) e) P X } F X () P X < } P < X } F X () F X () 9 Esercizio 8 Si lancia volte una moneta e sia X numero di T seguite da C. a) Trovare e disegnare la funzione di probabilità di X; b) Trovare e disegnare la funzione di ripartizione di X; c) Calcolare media, varianza, moda e mediana di X. [c), 6,, ] Lo spazio campionario è caratterizzato da D, 6 combinazioni. Analizziamo per casi il numero di combinazioni per avere k T seguite da una C. k TTTT CTTT CCTT CCC* ( combinazioni) k TCCC TCTT *TCC *TCT **TC ( combinazioni) k TCTC ( combinazione) a) Funzione di probabilità 6, k P X k} 6, k 6, k, altrimenti b) Funzione di ripartizione, k < F X (k) 6, k 6, k, k c) E[X] i,,} V ar[x] E[X ] E[X] x i P X x i } i,,} Moda[X] Mediana[X] q. x i P X x i } ( ) 6 6

21 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 8 maggio 6 Vettori aleatori e funzioni di v.a. Esercizio Si lanciano due dadi equi. Qual è la probabilità che la somma sia? [ ] Siano X, X le v.a. che indicano l esito rispettivamente dei due lanci. Sia Z X + X. Calcoliamo la probabilità P Z }. P Z } 6 P X y} P X y} P X } P X }+ y + P X } P X } + P X } P X } ( ) 6 Esercizio Si consideri un urna con palline numerate. Si estraggono due palline con reimmissione. Sia (X, X ) il vettore aleatorio che descrive l esperimento. a) Calcolare la densità congiunta del vettore e le densità marginali. b) Ripetere il calcolo nel caso di estrazione in blocco delle due palline. a) Nel caso di estrazioni con reimmissione abbiamo che le v.a. X e X sono indipendenti. La probabilità di estrarre una pallina è, quindi le probabilità marginali P X x } P X x }. La probabilità congiunta è data da P X x, X x } P X x } P X x } b) Nel caso di estrazioni senza reimmissione abbiamo che le v.a. X e X non sono indipendenti. Se consideriamo le possibili coppie di palline estratte gli unici casi impossibili sono quando abbiamo due palline uguali. Quindi lo spazio campionario è formato da 9 casi, e di conseguenza la probablità congiunta in questo caso è data da P X x, X x } 9 Ricostruiamo ora le densità marginali P X x } z P X x, X z} 9 9

22 Allo stesso modo calcoliamo P X x }. Quindi abbiamo che nel secondo caso le densità marginali sono le stesse del primo caso, ma la denistà congiunta è diversa e in particolare non è ricostruibile a partire dalle densità marginali tramite prodotto. Ciò dimostra che non c è indipendenza. Esercizio Si consideri un urna con palline numerate. Si estraggono due palline senza reimmessione. Sia (X, X ) il vettore aleatorio che descrive l esperimento. Calcolare la densità condizionata della prima pallina estratta dato il risultato della seconda estrazione. [ 9 ] Considerando i risultati ottenuti con l esercizio precedente abbiamo che la probabilità congiunta di estrarre una certa coppia di palline è 9 mentre la densità marginale di estrarne una è, quindi la probabilità condizionata della prima pallina estratta data la seconda è P X x X x } P X x, X x } P X x } Esercizio Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con la seguente densità congiunta X \ Y Dopo aver verificato che si tratti di una densità ben data, calcolare la denistà marginale di X e Y e discutere della loro eventuale indipendenza. Calcolare poi la densità di X condizionata a Y. Calcolare infine la media, la varianza delle due v.a., la covarianza e il coefficiente di correlazione. [E[X], E[Y ] ρ[x, Y ].689], V ar[x] 8 9 9, V ar[y ] 8, Cov[X, Y ] 9, La densità del vettore aleatorio è ben data perchè la somma di ogni elemento della matrice da. Quindi supponendo,, } il codominio di ciascuna v.a. i j P X i, Y j} Calcoliamo le densità marginali. Le densità marginali relative a X sono le somme di ciascuna riga, mentre quelle relative a Y sono le somme di ciascuna colonna. X \ Y 7 6

23 Quindi P X } 7, P Y }, P X }, P Y } 6, P X }, P Y }. Le due v.a. non sono indipendenti infatti possiamo trovare almeno un caso in cui il prodotto delle probabilità marginali non coincide con la congiunta. P X, Y } 7 P X } P Y } 6 Passiamo ora al calcolo delle probabilità condizionate di X dato Y. P X i Y j} X \ Y 7 P X i, Y j} P Y j} 7 7 Calcoliamo la media e la varianza delle v.a.. E[X] k P X k} E[Y ] k,,} k,,} V ar[x] E[X ] E[X] V ar[y ] E[Y ] E[Y ] E[X Y ] k,j,,} k,,} k P Y k} k,,} k P X k} k P Y k} k j P X k, Y j} Cov[X, Y ] E[X Y ] E[X] E[Y ] 6 9 Cov[X, Y ] ρ[x, Y ].689 V ar[x] V ar[y ] ( ) 8 ( ) 8 Esercizio Si calcoli la denistà della somma di n variabili aleatorie bernouilliane indipendenti di parametro p. Siano X i Bin(, p) con i n e sia X (X,..., X n ) il vettore aleatorio che le contiene. Sia poi φ(x) n i X i. P φ(x) k} P X φ (k)} Il vettore aleatorio X assume il valore k se k delle n variabili bernouilliane assumono valore. Quindi φ (k) contiene l insieme di esiti in cui delle n v.a.

24 solo k hanno successo, ovvero assumono valore. Ma questo significa che la probabilità della somma di n v.a. bernouilliane corrisponde alla probabilità di avere k successi su n prove ovvero la probabilità di una v.a. con legge binomiale di parametri n e p. ( ) n P X φ (k)} p k ( p) n k k Quindi se Z n i X i con X i Bin(, p) allora Z Bin(n, p). Esercizio 6 Si dimostri che la densità di probabilità della somma S di due v.a. aleatorie discrete X e Y, indipendenti e con densità di Poisson di parametri λ X e λ Y è ancora di Poisson con parametro λ X + λ Y. Utilizziamo il teorema di convoluzione. P X+Y k} k P X z} P Y k z} z e (λ X +λ Y ) k! k z k z λ z X λ k z Y z! e λx (k z)! e λ Y ( ) k λ z X λ k z Y (λ X + λ Y ) k e (λ X +λ Y ) z k! Esercizio 7 In una banca ci sono due sportelli. Sia (X, X ) il numero di clienti in coda nei due sportelli e si supponga che tale vettore aleatorio segua la seguente densità X \ X Verificare che sia una densità discreta e calcolare la probabilità che le due code differiscano esattamente di una persona. [.] La somma di tutti gli elementi della densità congiunta da quindi è ben definita. La probabilità che vogliamo calcolare è P X Y }. P X Y } P X Y } + P X Y } P X z, Y z } + P X z, Y z + }. z (Equivale alla somma degli elementi subito sopra e sotto la diagonale della matrice.) Esercizio 8 Si lancia una moneta equa volte. Sia X il numero totale di teste e sia Y il numero di teste dell ultimo lancio ( o ). Si calcoli la densità congiunta di (X, Y ) e le due densità marginali.

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 006 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare

Dettagli

Esercitazioni 2013/14

Esercitazioni 2013/14 Esercitazioni 2013/14 Esercizio 1 Due ditte V e W partecipano ad una gara di appalto per la costruzione di un tratto di autostrada che viene assegnato a seconda del prezzo. L offerta fatta dalla ditta

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca

Dettagli

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Esercizi su variabili aleatorie discrete Es.1 Da un urna con 10 pallina bianche e 15 palline nere, si eseguono estrazioni con reimbussolamento fino all estrazione

Dettagli

Corso di Probabilità e Statistica

Corso di Probabilità e Statistica Università degli Studi di Verona Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica Corso di Probabilità e Statistica (Prof.ssa L.Morato) Esercizi a cura di: S.Poffe sara.poffe@stat.unipd.it A.A.

Dettagli

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Esercizi di Probabilità e statistica Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Capitolo 1 Spazi di probabilità discreti 1.1 Proprietà fondamentali Esercizio 1 Esprimere ciascuno dei seguenti eventi in termini

Dettagli

Calcolo delle P robabilitá. Esercizi svolti e quesiti per il CdS in Economia e Finanza

Calcolo delle P robabilitá. Esercizi svolti e quesiti per il CdS in Economia e Finanza Calcolo delle P robabilitá Esercizi svolti e quesiti per il CdS in Economia e Finanza Giuseppe Sanfilippo Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli Università degli Studi di Palermo

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Esercizi di probabilità discreta

Esercizi di probabilità discreta Di seguito, potete trovare i testi (con risposta) degli esercizi svolti (o proposti) nel corso di esercitazioni dell insegnamento di Matematica applicata. 1 Esercizi di probabilità discreta Algebra degli

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 5 maggio 007 Varabili aleatorie continue, distribuzioni continue e funzione generatrice di momenti. Esercizio Dimostrare la mancanza di memoria della

Dettagli

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Laurea in Ingegneria Meccatronica A.A. 2010 2011 n-dimensionali Riepilogo. Gli esiti di un esperimento aleatorio

Dettagli

metodi matematici per l ingegneria prove scritte d esame 1 Indice

metodi matematici per l ingegneria prove scritte d esame 1 Indice metodi matematici per l ingegneria prove scritte d esame Indice. Novembre 4 - Prova in itinere. Luglio 5.. Febbraio 6 4 4. Giugno 6. 5 5. Luglio 6 6 . Novembre 4 - Prova in itinere Esercizio. Una scatola

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio)

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio) Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio 1. Lanciamo due dadi regolari. Qual è la probabilità che la somma delle facce rivolte verso l alto sia pari a 7? 1/6 2. Due palline vengono estratte

Dettagli

Tutorato di Probabilità e Statistica

Tutorato di Probabilità e Statistica Università Ca Foscari di Venezia Dipartimento di informatica 20 aprile 2006 Variabili aleatorie... Example Giochiamo alla roulette per tre volte 1 milione sull uscita del numero 29. Qual è la probabilità

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 3 A. Sia una variabile casuale che si distribuisce secondo

Dettagli

VERIFICA DELLE IPOTESI

VERIFICA DELLE IPOTESI VERIFICA DELLE IPOTESI Introduzione Livelli di significatività Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale Verifica di ipotesi sulla varianza di una popolazione normale Verifica di ipotesi

Dettagli

Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 1

Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 1 Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 1 Esercizio 1 Esprimere ciascuno dei seguenti eventi in termini degli eventi A, B, C. 1. Almeno un evento si verifica. 2. Al più un evento si verifica..

Dettagli

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo.

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. Capitolo 1 9 Ottobre 00 Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. 000, Milano Esercizio 1.0.1 (svolto in classe [II recupero Ing. Matematica aa.00-0-rivisitato]nel

Dettagli

PARTE PRIMA PROBABILITA

PARTE PRIMA PROBABILITA i PARTE PRIMA PROBABILITA CAPITOLO I - Gli assiomi della probabilità 1.1 Introduzione........................................................... pag. 1 1.2 Definizione assiomatica di probabilità.......................................

Dettagli

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Valori caratteristici di distribuzioni

Valori caratteristici di distribuzioni Capitolo 3 Valori caratteristici di distribuzioni 3. Valori attesi di variabili e vettori aleatori In molti casi è possibile descrivere adeguatamente una distribuzione di probabilità con pochi valori di

Dettagli

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Si tratta di problemi elementari, formulati nel linguaggio ordinario Quindi, per ogni problema la suluzione proposta è sempre

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 28/05/2015 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Nel gico del

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita?

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 00 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Osserviamo che il valore della vincita dipende dal risultato dell esperimento

Dettagli

Analisi statistica degli errori

Analisi statistica degli errori Analisi statistica degli errori I valori numerici di misure ripetute risultano ogni volta diversi l operazione di misura può essere considerata un evento casuale a cui è associata una variabile casuale

Dettagli

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

Quesito 1a. Quesito 2a. ce y 1+x. (x,y) R R + f(x,y) = 0 altrove

Quesito 1a. Quesito 2a. ce y 1+x. (x,y) R R + f(x,y) = 0 altrove Corso di laurea in Ing. Gestionale, a.a. 2001/2002 Prova scritta di Metodi Matematici e Statistici del 25 giugno 2002 Si effettuano n prove ciascuna delle quali consiste nello scegliere una moneta tra

Dettagli

PROVE D'ESAME DI CPS A.A. 2009/2010. 0 altrimenti.

PROVE D'ESAME DI CPS A.A. 2009/2010. 0 altrimenti. PROVE D'ESAME DI CPS A.A. 009/00 0/06/00 () (4pt) Olimpiadi, nale dei 00m maschili, 8 nalisti. Si sa che i 4 atleti nelle corsie centrali hanno probabilità di correre in meno di 0 secondi. I 4 atleti delle

Dettagli

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato Questa raccolta comprende sia gli esercizi dell esercitazione del 14 febbraio sia gli esercizi di ricapitolazione sulle

Dettagli

1. Richiami di Statistica. Stefano Di Colli

1. Richiami di Statistica. Stefano Di Colli 1. Richiami di Statistica Metodi Statistici per il Credito e la Finanza Stefano Di Colli Dati: Fonti e Tipi I dati sperimentali sono provenienti da un contesto delimitato, definito per rispettare le caratteristiche

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

Università degli Studi di Milano

Università degli Studi di Milano Università degli Studi di Milano Laurea in Scienza della Produzione e Trasformazione del Latte Note di Calcolo delle Probabilità e Statistica STEFANO FERRARI Analisi Statistica dei Dati Note di Calcolo

Dettagli

ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1

ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 2/03/205 Primo foglio di esercizi Esercizio 0.. Una classe di studenti è costituita da 6 ragazzi e 4 ragazze. I risultati dell esame vengono esposti in una graduatoria in ordine

Dettagli

La variabile casuale Binomiale

La variabile casuale Binomiale La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Modelli di Variabili Aleatorie Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Sulla base della passata esperienza il responsabile della produzione di un azienda

Dettagli

Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo

Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo docente Giuseppe Sanfilippo http://www.unipa.it/sanfilippo giuseppe.sanfilippo@unipa.it

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

COMPITO n. 1. 3. Siano X, Y due variabili aleatorie tali che il vettore (X, Y ) sia distribuito uniformemente

COMPITO n. 1. 3. Siano X, Y due variabili aleatorie tali che il vettore (X, Y ) sia distribuito uniformemente COMPITO n. 1 a) Nel gioco del poker ad ogni giocatore vengono distribuite cinque carte da un normale mazzo di 52. Quant è la probabilità che un giocatore riceva una scala di re (ovvero 9, 10, J, Q, K anche

Dettagli

Il prodotto di tre numeri in progressione aritmetica è 16640, il più piccolo è 20. Calcolare i tre numeri.

Il prodotto di tre numeri in progressione aritmetica è 16640, il più piccolo è 20. Calcolare i tre numeri. Scrivi i primi termini delle seguenti successioni: =1; =; = + Individua la legge che genera ognuna delle seguenti successioni: -1,, -, 4, -5, In una progressione aritmetica la somma del primo, quarto,

Dettagli

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Ingegneria Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Laurea in Ingegneria dei Materiali - Anno Accademico 010/11

Dettagli

SCHEDA DIDATTICA N 1

SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

LINEAMENTI DI MATEMATICA

LINEAMENTI DI MATEMATICA P. BARONCINI - E. FABBRI - C. GRASSI IGEA Triennio LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio degli istituti tecnici commerciali IGEA Probabilità e statistica Analisi numerica MODULO d P. Baroncini - E.

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità Luca Mari, versione 2.3.15 Contenuti La generazione combinatoria di campioni...1 L algebra dei campioni...4 Il calcolo delle frequenze relative dei campioni...5 Indipendenza

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }.

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }. ESERCIZI ELEMENTARI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Teorema della somma 1) Giocando alla roulette, calcolare la probabilità che su una estrazione esca: a) Un numero compreso tra 6 e 12 (compresi) oppure maggiore

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 17/06/2015 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Un sistema

Dettagli

Esercizi sul calcolo delle probabilità

Esercizi sul calcolo delle probabilità Esercizi sul calcolo delle probabilità Svolti e da svolgere (per MAR 13 marzo) Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio Indice 1 Probabilità 1 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio.. 1 1.2 Probabilità condizionata, indipendenza e teorema di Bayes.... 2 1 Probabilità 1.1 Primi esercizi di probabilità

Dettagli

Probabilità 1 P (A B) =P (A)+P (B) P (A B). La coppia (Ω,P) viene detta spazio di probabilità.

Probabilità 1 P (A B) =P (A)+P (B) P (A B). La coppia (Ω,P) viene detta spazio di probabilità. Probabilità Un esperimento (o prova) aleatorio (casuale) è un esperimento che a priori può avere diversi esiti possibili e il cui risultato effettivo non è prevedibile con certezza. Esempi:. Lancio di

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

Lezioni di CPS. Fabrizio Caselli

Lezioni di CPS. Fabrizio Caselli Lezioni di CPS Fabrizio Caselli Contents Chapter. Statistica descrittiva 5. Popolazione, campione e caratteri 5 2. Classi e istogrammi 6 3. Indici di posizione o centralità e di dispersione 6 4. Correlazione

Dettagli

Appunti: elementi di Probabilità

Appunti: elementi di Probabilità Università di Udine, Facoltà di Scienze della Formazione Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Multimediali Corso di Matematica e Statistica (Giorgio T. Bagni) Appunti: elementi di Probabilità. LA PROBABILITÀ..

Dettagli

MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA

MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA R. MANFREDI - E. FABBRI - C. GRASSI TRIENNIO licei scientifici MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio della scuola secondaria di secondo grado L CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E ELEMENTI DI STATISTICA

Dettagli

CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.) Esercizi

CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.) Esercizi 1 CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.) Esercizi Dott.ssa CATERINA CONIGLIANI Facoltà di Economia Università Roma Tre 1 Esercizi di statistica descrittiva Esercizio 1.1 (Prof. Pieraccini, 20 6-00) In

Dettagli

Elementi di calcolo delle probabilità

Elementi di calcolo delle probabilità Elementi di calcolo delle probabilità Definizione di probabilità A) Qui davanti a me ho un urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l urna ed estraggo

Dettagli

Politecnico di Milano - Anno Accademico 2010-2011 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo

Politecnico di Milano - Anno Accademico 2010-2011 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo Politecnico di Milano - Anno Accademico 200-20 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo Esercitazione 9 2 Giugno 20 Esercizio. In un laboratorio per il test dei materiali,

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Esercizi 4 (2) È dato su uno spazio campionario Ω = {a, b, c, d, e} dotato della funzione di probabilità seguente:

Esercizi 4 (2) È dato su uno spazio campionario Ω = {a, b, c, d, e} dotato della funzione di probabilità seguente: I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

COORTI 2006/07 2010/11 Facoltà di Economia sede di Milano, corsi di laurea triennali diurni

COORTI 2006/07 2010/11 Facoltà di Economia sede di Milano, corsi di laurea triennali diurni COORTI 2006/07 2010/11 Facoltà di Economia sede di Milano, corsi di laurea triennali diurni immatricolati al primo anno (1), % iscritti al secondo anno (2), al terzo (3) % laureati Note entro di maggio

Dettagli

Calcolo delle probabilitá: esercizi svolti fino all 8 febbraio

Calcolo delle probabilitá: esercizi svolti fino all 8 febbraio Calcolo delle probabilitá: esercizi svolti fino all 8 febbraio Alessandro Sicco sicco@dm.unito.it Lezione 1. Calcolo combinatorio, formula delle probabilitá totali, formula di Bayes Esercizio 1.1. 7 bambini

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico.

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico. Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Probabilità Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni

Dettagli

Università di Milano Bicocca. Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza. 14 Maggio 2015

Università di Milano Bicocca. Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza. 14 Maggio 2015 Università di Milano Bicocca Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza 14 Maggio 2015 Esercizio 1 Un agente presenta una funzione di utilitá u(x) = ln(1 + 6x). Egli dispone di un progetto incerto che

Dettagli

1 Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo

1 Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo. È usuale che in molte situazioni che si presentano concretamente ci sia a priori incertezza su ciò che accadrà nel futuro: il calcolo

Dettagli

Probabilità discreta

Probabilità discreta Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I TEORIA DELLA PROBABILITÀ I Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [2015-16] Indice 1 Probabilità 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Eventi...............................................

Dettagli

Esercizio 1. Svolgimento

Esercizio 1. Svolgimento Esercizio 1 Vengono lanciate contemporaneamente 6 monete. Si calcoli: a) la probabilità che si presentino esattamente 2 testa ; b) la probabilità di ottenere almeno 4 testa ; c) la probabilità che l evento

Dettagli

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( )

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( ) Perché il calcolo combinatorio Basato sulle idee primitive di distinzione e di classificazione, stabilisce in quanti modi diversi si possono combinare degli oggetti E molto utile nell enumerazione dei

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -

Dettagli

Statistica Matematica A - Ing. Meccanica, Aerospaziale I prova in itinere - 19 novembre 2004

Statistica Matematica A - Ing. Meccanica, Aerospaziale I prova in itinere - 19 novembre 2004 Statistica Matematica A - Ing. Meccanica, Aerospaziale I prova in itinere - 19 novembre 200 Esercizio 1 Tre apparecchiature M 1, M 2 e M 3 in un anno si guastano, in maniera indipendente, con probabilità

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA PER IDROLOGIA

ELEMENTI DI STATISTICA PER IDROLOGIA Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 ELEMETI DI STATISTICA PER IDROLOGIA Introduzione Una variabile si dice casuale quando assume valori che dipendono

Dettagli

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili:

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili: Incertezze di misura Argomenti: classificazione delle incertezze; definizione di incertezza tipo e schemi di calcolo; schemi per il calcolo dell incertezza di grandezze combinate; confronto di misure affette

Dettagli

Esercitazioni-aula-parte-III

Esercitazioni-aula-parte-III Esercitazioni-aula-parte-III Esempio par.7.2) Ross Sia (X 1,..., X n ) un campione aleatorio estratto da una popolazione esponenziale di parametro θ incognito. Determinare l espressione dello stimatore

Dettagli

Problema pratico: Test statistico = regola di decisione

Problema pratico: Test statistico = regola di decisione La verifica delle ipotesi statistiche Problema pratico: Quale, tra diverse situazioni possibili, riferite alla popolazione, è quella meglio sostenuta dalle evidenze empiriche? Coerenza del risultato campionario

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Politecnico di Milano Appunti di calcolo delle probabilità per il corso di Fondamenti di Statistica e Segnali Biomedici [Mod 1] 1

Politecnico di Milano Appunti di calcolo delle probabilità per il corso di Fondamenti di Statistica e Segnali Biomedici [Mod 1] 1 Politecnico di Milano Appunti di calcolo delle probabilità per il corso di Fondamenti di Statistica e Segnali Biomedici [Mod 1] 1 Ilenia Epifani 1 Il contenuto di queste dispense è protetto dalle leggi

Dettagli

Esercizi riassuntivi di probabilità

Esercizi riassuntivi di probabilità Esercizi riassuntivi di probabilità Esercizio 1 Una ditta produttrice di fotocopiatrici sa che la durata di una macchina (in migliaia di copie) si distribuisce come una normale con µ = 1600 e 2 = 3600.

Dettagli

Appunti di Probabilità e Statistica. a.a. 2014/2015 BOZZA

Appunti di Probabilità e Statistica. a.a. 2014/2015 BOZZA Appunti di Probabilità e Statistica a.a. 2014/2015 BOZZA 2 Riuscire a controllare l incertezza può significare riuscire a ridurla The things one feels absolutely certain about are never true (Oscar Wilde)

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

Politecnico di Milano Esercizi di Calcolo delle Probabilità cod. 061195 Per gli allievi ING AUT, ELN, INF e TEL Anno accademico 2008-2009 1

Politecnico di Milano Esercizi di Calcolo delle Probabilità cod. 061195 Per gli allievi ING AUT, ELN, INF e TEL Anno accademico 2008-2009 1 Politecnico di Milano Esercizi di Calcolo delle Probabilità cod. 061195 Per gli allievi ING AUT, ELN, INF e TEL Anno accademico 2008-2009 1 Ilenia Epifani 11 giugno 2009 1 Il contenuto di queste dispense

Dettagli

STATISTICA Lezioni ed esercizi

STATISTICA Lezioni ed esercizi Università di Torino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica MARIA GARETTO STATISTICA Lezioni ed esercizi Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 00/00 Quaderno # Novembre 00 M. Garetto - Statistica

Dettagli

Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo 1 Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 2010/2011

Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo 1 Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 2010/2011 Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 200/20 Problemi per esercitazione individuale (non svolti in aula NB: i problemi assegnati per esercitazione

Dettagli

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y =

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y = ESERCIZI Testi (1) Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilità che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno

Dettagli

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità

Dettagli

Dispense di Probabilità e Statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra

Dispense di Probabilità e Statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Dispense di Probabilità e Statistica Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Capitolo 1 Spazi di probabilità discreti 1.1 Generalità Nel corso di questo libro con la dicitura esperimento aleatorio indicheremo

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio

Esercizi di calcolo combinatorio CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi di calcolo combinatorio Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability di Sheldon Ross, quinta

Dettagli

La distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale La distribuzione binomiale 1. Che cos'è un numero casuale Stiamo per lanciare un dado. Fermiamo la situazione un attimo prima che il dado cada e mostri la faccia superiore. Finché è in aria esso costituisce

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

Corso di Automazione Industriale 1. Capitolo 4

Corso di Automazione Industriale 1. Capitolo 4 Simona Sacone - DIST Corso di Automazione Corso Industriale di 1 Automazione Industriale 1 Capitolo 4 Analisi delle prestazioni tramite l approccio simulativo Aspetti statistici della simulazione: generazione

Dettagli

Per poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete.

Per poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete. Parliamo di probabilità. Supponiamo di avere un sacchetto con dentro una pallina rossa; posso aggiungere tante palline bianche quante voglio, per ogni pallina bianca che aggiungo devo pagare però un prezzo

Dettagli

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa.

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa. Una sperimentazione Probabilità Si sta sperimentando l efficacia di un nuovo farmaco per il morbo di Parkinson. Duemila pazienti partecipano alla sperimentazione: metà di essi vengono trattati con il nuovo

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA Anno Accademico 2012/2013 REGISTRO DELL ATTIVITÀ DIDATTICA Docente: ANDREOTTI MIRCO Titolo del corso: MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA Corso: CORSO UFFICIALE Corso

Dettagli