Appunti di Statistica Descrittiva

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Appunti di Statistica Descrittiva"

Transcript

1 Appunti di Statistica Descrittiva 30 dicembre La tabella a doppia entrata Per studiare dei fenomeni con caratteristiche statistiche si utilizza l espediente della tabella a doppia entrata Per esempio si vuole studiare se le persone con una certa età prediligono se andare al mare o in montagna Se X è l età e Y il luogo di villeggiatura, la tabella a doppia entrata è un modo per descrivere la frequenza del numero di persone che, nel campione considerato, preferiscono andare in montagna o al mare a partità di età Generalmente la tabella a doppia entrata date le caratteristiche statistiche X e Y e le modalità x 1,, x h e y 1,, y k si presenta in questa maniera: X/Y y 1 y y j y k n i x 1 n 11 n 1 n 1j n 1k n 1 x n 1 n n j n k n x i n i1 n i n ij n ik n i x h n h1 n h n hj n hk n h n j n 1 n n j n k n dove n ij viene chiamata genericamente la frequenza congiunta, ovvero la frequenza dell evento che contemporaneamente possiede l attributo della modalità x i e l attributo della modalità y j, mentre n i e n j sono le frequenze marginali rispettivamente di X e di Y La tabella delle frequenze assolute ha queste proprietà: n i = n ij n j = Questa dispensa è frutto della mente malata di Federico Carlini Quindi, se trovaste errori, mandate una mail a questo losco individuo a così potrò sistemare il tutto Vi ringrazio per la collaborazione! n ij 1

2 n = n ij = La tabella con le frequenze relative invece si ottiene sostituendo le frequenze assolute n ij con le frequenze relative f ij calcolate in questa maniera: f ij = n ij n n j = e avremo anzichè le marginali assolute n i o n j, le marginali relative f i o f j, f i = f j = f ij f ij n i e si può dimostrare che: f ij = f i = f j = 1 Proviamo a vedere questi concetti in un esempio numerico Si considerino tutti gli studenti del dipartimento di Economia che in estate sono andati al mare o in montagna Chiamiamo X la caratteristica che distingue il luogo di villeggiatura (ovvero montagna/mare) e chiamiamo Y la caratteristica che distingue le classi di età (vale la regola che coloro che vanno in montagna non possono andare al mare) Proviamo ora a scrivere la tabella a doppia entrata con le frequenze assolute: X/Y n i montagna = 10 mare = 330 n j = = = = = 450 Se dovessimo riscrivere la tabella con le frequenze relative, si trova che X/Y f i montagna 40/450 = 0, /450 = /450 = mare 100/450 = 0 150/450 = /450 = f j E si può notare come tutte le proprietà descritte precedentemente siano vere

3 11 La distribuzione marginale La distribuzione marginale vorrebbe riassumere nient altro che la distribuzione di X e la distribuzione di Y, senza che si osservino i legami tra le due varabili (per essere veri statistici si direbbere unconditionally o non condizionatamente) Quindi se dovessimo rappresentare la marginale assoluta di Y date le modalità y 1,, y k, e la marginale relativa di X date le modalità x 1,, x h, esse si possono rappresentare tramite tabelle come: Y n ij X f ij y 1 n 1 y n x 1 f 1 x f y k 1 n (k 1) x h 1 f (h 1) y k n k n x h f h 1 Oppure si può ricorrere a quest altra notazione: n Y = (n 1, n,, n k ) f X = (f 1, f,, f k ) Quindi, per essere più intuitivi, se volessimo calcolare la distribuzioni marginale di Y dobbiamo fregarcene di quello che succede alla caratteristica X Inoltre è bene ricordarsi che dalle distribuzioni congiunte si possono ottenere le distribuzioni marginali univocamente, ma non è possibile il viceversa Nell esempio precedente avremo che la distribuzione marginale assoluta di Y e la distribuzione marginale relativa di X sono: Y n ij X f ij montagna 067 mare La distribuzione condizionata La distribuzione condizionata è un altro concetto importante e più sofisticato della marginale, in cui cerchiamo di capire le distribuzioni di una caratteristica (ad esempio la Y ) rispetto ad una modalità dell altra caratteristica (ad esempio x i ) La distribuzione condizionata viene descritta dalle tabelle seguenti, la prima per la distribuzione assoluta, mentre la seconda per la distribuzione relativa 3

4 Y x i n Y x i f y 1 x i y x i n i1 n i y 1 x i n i1 /n i = f i1 /f i y x i n i /n i = f i /f i y k 1 x i y k x i n i(k 1) n ik n i y k 1 x i n i(k 1) /n i = f i(k 1) /f i y k x i n ik /n i = f ik /f i 1 Ogni distribuzione relativa, come al solito, ha la caratteristica che le frequenze relative sommano ad 1 Ma intuitivamente cosa significa calcolare la distribuzione condizionale? In prima analisi significa vedere qual è la distribuzione delle frequenze di una caratteristica statistica (in questo caso la Y ) rispetto ad una sola modalità della caratteristica statistica X In generale, per ogni x i x j, si avranno le distribuzioni condizionate Y x i e Y x j diverse Ovviamente nulla ci vieta di trovare le condizionali X y j,che avranno anch esse certe caratteristiche distributive Per ultimo si ricordi che con qualche condizione sulle distribuzioni condizionate ed alcune condizioni sulle distribuzioni marginali si possono trovare le congiunte Se vogliamo calcolare le distribuzioni condizionate assoluta di Y x e la distribuzione condizionata relativa di X y 1 nell esempio numerico otteniamo Y x n y 1 x 100 y x 150 y 3 x X y 1 f x 1 y 1 40/140 = 086 x y 100/140 = Indipendenza stocastica Si dice che i fenomeni X ed Y sono detti stocasticamente indipendenti se: 1 Le distribuzioni condizionali relative di Y x i sono uguali per ogni i = 1,, h Le distribuzioni condizionali relative di X y j sono uguali per ogni j = 1,, k 3 Le distribuzioni condizionali relative di Y x i sono uguali alla distribuzione marginale relativa di Y 4 Le distribuzioni condizionali relative di X y j sono uguali alle distribuzioni marginali relativa di X Per capire meglio cosa sia l indipendenza stocastica facciamo un esempio numerico Abbiamo una tabella a doppia entrata così fatta: X/Y 3 5 n i n j

5 Innanzitutto si osservi come le righe (e le colonne) siano proporzionali l una con l altra (ovvero ogni riga (colonna) è combinazione lineare delle altre righe (colonne)) Ora proviamo a calcolare le distribuzioni delle frequenze relative condizionate e otteniamo che: f Y x1 = ( 5 35, 10 35, 0 ) 35 f Y x = ( 10 70, 0 70, 40 ) 70 f X y1 = ( 5 15, 10 ) 15 f X y = ( 10 30, 0 ) 30 f X y3 = ( 0 60, 40 ) 60 Ora calcoliamo le distribuzioni delle frequenze relative marginali per ottenere che: f Y = f X = ( , , 60 ) 105 ( , 70 ) 105 A questo punto si nota facendo i calcoli che f Y x1 = f Y x = f Y e che f X y1 = f X y = f X y3 = f X e questa è la proprietà per la quale si definisce l indipendenza stocastica Quindi: Definizione 1: Parliamo di indipendenza stocastica tra X ed Y se e solo se le distribuzioni condizionate relative ad una variabile (Y e X) sono uguali alle distribuzioni delle frequenze marginali relative della stessa variabile, cioè in una tabella a doppia entrata in generale vale che: f Y x1 = f Y x = = f Y xh = f Y f X y1 = f X y = = f X yk = f X 1 Frequenze teoriche Ora proviamo a calcolare le frequenze teoriche dell esercizio del paragrafo precedente, definite come: con n, ovvero il numero totale di osservazioni ˆn ij = n i n j n Se si provano a calcolare quindi le frequenze teoriche nell esercizio del paragrafo precedente si ottiene che: ˆn ij 3 5 ˆn i ˆn j e si nota come esse siano identiche a quelle di partenza Pertanto un altra condizione che può essere utile per parlare di indipendenza stocastica è la seguente 5

6 Definizione 1(bis): Parliamo di indipendenza stocastica tra Y ed X se e solo se le frequenze teoriche sono uguali alle frequenze osservate, ovvero n ij = ˆn ij che implica, tramite la definizione 1, che: con H i e K j fissati n ij n i = n j n = K j n ij n j = n i n = H i i = 1, h j = 1, k Indici di connessione: χ di Pearson Prima di definire questo indice bisogna parlare della tabella delle contingenze, dove ogni elemento della stessa è definito come c ij = (n ij ˆn ij ) Questa matrice ha le seguenti proprietà: c ij = 0 c ij = 0 c ij = 0 L indice di Pearson assoluto è un indice che serve a quantificare la dipendenza funzionale tra due variabili X ed Y Esso viene definito in questo modo: χ = (c ij ) = ˆn ij (n ij ˆn ij ) Intuitivamente esso mi dice quanto dista, pesando opportunamente coi diversi valori delle frequenze teoriche, la frequenza osservata da quella teorica Tale indice se è pari a χ = 0 allora vi è indipendenza stocastica mentre se tale indice è pari a χ = n min{(h 1), (k 1)} allora vi è massima dipendenza funzionale tra i fenomeni X ed Y A questo punto si preferisce avere un indice standard che permette comparazioni tra diverse tabelle, e si costruisce il χ N normalizzato come χ χ N = n min{(h 1), (k 1)} che ha la caratteristica per cui 0 χ N 1 ˆn ij 6

7 dove per 0 si intende che vi sia indipendenza stocastica mentre per 1 si intende che esista massima dipendenza Esso inoltre ha la caratteristica di essere simmetrico ovvero: χ N (Y X) = χ N (X Y ) (Bonus question : provare a ragionare perchè χ è simmetrico) 3 Indice χ e indipendenza stocastica Per capire come sono correlati l indice χ e l indipendenza stocastica, calcoliamo prima nell esempio la tabella delle contingenze e otteniamo: c ij 3 5 c i c j Dato che l indice χ è definito come: χ = (c ij ) ˆn ij allora si nota come nel nostro esempio, dacchè la matrice dei c ij è coperta di zeri, χ = 0 Quindi si può interpretare questo fatto, secondo la seguente definizione: Definizione 1(ter): Si dice che X ed Y siano indipendenti stocasticamente se e solo se la tabella delle contingenze è coperta da zeri il che implica, per la definizione stessa di χ, che l indice stesso sia pari a χ = 0 3 Regressione in media Per andare ad analizzare se esiste una dipendenza tra i dati e descrivere quale sia l andamento al variare di Y ad X utilizziamo modelli teorici del tipo y = g(x) che approssimino al meglio le diverse osservazioni (x i, y i ) Il modello sicuramente non rappresenterà la realtà (le frequenze osservate), quindi esso avrà un termine di errore che lo definiamo come la differenza tra valore osservato y e il valore teorico del modello y ovvero e i = y i y i = y i g(x i ) i Questo errore di misura bisognerà minimizzarlo per ottenere la migliore interpolante tra modello teorico e dati osservati, minimizzando una funzione L(y y ) Come funzione, in particolare, si prende la media quadratica e quindi il problema diventa min M(e) = min M[(y g(x)) ] 7

8 ovvero si cerca di minimizzare la distanza quadratica (sempre positiva) tra i dati osservati e il modello condizionato sulle x Prima di partire a descrivere il modello definiamo gli ingredienti che si utilizzano per calcolare questa funzione 31 Media marginale La media marginale è relativa sia ad X sia ad Y e vengono definite come: M(X) = µ X = x i n i /n = x i f i M(Y ) = µ Y = y j n j /n = y j f j 3 Varianza marginale La varianza marginale anch essa e relativa sia ad X sia ad Y ed essendo il momento centrale secondo vengono definite come: Var(X) = σx = Var(Y ) = σy = (x i µ X ) n i /n = (x i µ X ) f i (y j µ Y ) n j /n = (y j µ Y ) f j 33 Medie condizionate Le medie condizionate sono le medie delle distribuzioni Y x i o X y j e vengono definite come M(Y x i ) = µ Y (x i ) = M(X y j ) = µ X (y j ) = y j n ij /n i x i n ij /n j 34 Varianze condizionate Le varianze condizionate sono le varianze delle distribuzioni Y x i o X y j e vengono definite come: Var(Y x i ) = σy (x i ) = Var(X y j ) = σx(y j ) = (y j µ Y ) n ij /n i (x i µ X ) n ij /n j 8

9 35 La scomposizione della varianza Esiste un teorema che recita così: la varianza totale di una certa variabile aleatoria si può suddividere in addendi: la varianza residua e la varianza spiegata Ovvero: in cui σ Y = Var(µ Y (X)) = σ Y = σ Y + σ Y (µ Y (x i ) µ Y ) f i è la varianza delle medie condizionate (o varianza spiegata o betweeness), mentre σ Y = Var(Y x i ) = è la media delle varianze condizionate (o varianza residua o within) (y j µ Y (x i )) f ij La dimostrazione sta nel fatto di aggiungere e togliere dalla varianza totale la media condizionale delle x i e poi svolgendo i calcoli si scopre che il doppio prodotto è nullo! Dimostrazione: Partiamo dalla varianza totale per capire poi quali sono le componenti: (y j µ Y ) f j = (y j µ Y (x i ) + µ Y (x i ) µ Y ) f j = = (y j µ Y (x i )) f j + } {{ } I Primo addendo: I) (y j µ Y (x i )) f j = Secondo addendo: II) (µ Y (x i ) µ Y ) f j = Terzo addendo: (µ Y (x i ) µ Y ) f j + } {{ } II (y j µ Y (x i )) f ij = (y j µ Y (x i ))(µ Y (x i ) µ Y )f j (µ Y (x i ) µ Y ) f ij = } {{ } III (y j µ Y (x i )) f ij = σ (µ Y (x i ) µ Y ) f i = σ Y III) Si può dimostrare che è pari a 0, moltiplicando e dividendo per f i, e utilizzando le proprietà della media Y 36 L indice di adattamento Esso viene indicato con ηy ed esso indica la percentuale di variabilità spiegata dal modello delle medie condizionali Esso è pari a ed è normalizzato nel senso che vale η Y = σ Y σ Y = 1 σ Y σy 0 η Y 1 9

10 in cui se l indice è pari a 0 indica indipendenza in MEDIA e mentre se l indice è pari 1 vi è dipendenza FUNZIONALE La differenza tra indipendenza stocastica e in media è la seguente: 1 Indipendenza stocastica : esiste se vi è uguaglianza di frequenza relativa delle variabili condizionate (quindi conserva proprietà simmetriche) Indipendenza in media : esiste se vi è uguaglianza tra le medie delle variabili condizionate Y X o X Y (quindi non è simmetrica) Inoltre vale che: Indipendenza stocastica Indipendenza in media ma NON è VERO il viceversa!!!!! Quindi, in generale vale che η X η Y tranne se vi sia: 1 indipendenza stocastica perfetta dipendenza funzionale biunivoca 3 uguaglianza tra la distribuzione delle medie condizionate di Y X, la distribuzione delle medie condizionate di X Y e uguaglianza tra le varianze marginali σx e σ Y 4 Indipendenza in media Ora proviamo a ragionare su un altro concetto che è quello relativo alll indipendenza in media Partiamo da una tabella a doppia entrata per capire tramite un esempio: X/Y n i n j Si può dimostrare che in questa tabella non vi sia indipendenza stocastica (dimostrarlo!) Ora calcoliamo, anzichè le distribuzioni, le medie condizionate rispetto alla Y e poi rispetto alla X e otteniamo : µ Y (x 1 ) = = 14 µ Y (x ) = = 14 µ X (y 1 ) = 3 = 3 µ X(y ) = = 1 µ X(y 3 ) = = 11 5 Ora calcoliamo le medie marginali rispetto alla Y e poi rispetto alla X: µ Y = = 14 10

11 5 µ X = = Da qui si può notare come per la variabile Y si trovi che µ Y (x 1 ) = µ Y (x ) = µ Y mentre per la variabile X abbiamo che le medie sono tutte diverse Infatti µ X (y 1 ) µ X (y ) µ X (y 3 ) µ X Ora definiamo che cosa intendiamo per indipendenza in media: Definizione : Si dice che la variabile Y (X) ha indipendenza in media se sono tutte uguali le medie condizionali di Y (X) e tutte queste sono pari alla media marginale di Y (X) Quindi deve valere in generale che: µ Y (x 1 ) = µ Y (x ) = = µ Y (x h ) = µ Y per l indipendenza in media della Y oppure µ X (y 1 ) = µ X (y ) = = µ X (y k ) = µ X per l indipendenza in media della X Da questa definizione si puo capire che l indipendenza in media non è simmetrica, infatti si parla di indipendenza in media per la Y (o per la X) 41 La scomposizione della varianza La varianza della variabile Y si può scomporre in componenti, cioè: dove σ Y la media delle varianze condizionate σ Y = σ Y + σ Y è la varianza spiegata, ovvero la varianza delle medie condizionate, mentre σ Y è la varianza residua, ovvero Ora soffermiamoci sulla varianza residua, e proviamo a calcolarla Per calcolarla ci servono innanzitutto le varianze condizionate di Y e otteniamo σ Y (x 1) = M(Y x 1 ) µ Y (x 1) = = 4 σ Y (x ) = M(Y x ) µ Y (x ) = = 54 E ne calcoliamo la media ovvero Poi calcoliamo la varianza di Y come σy = M(σY 5 (x i ) = = 39 σ Y = M(Y ) µ Y = = 39 Si noti come in questo caso abbiamo che M(σY (x i)) = σy Questa è la seconda caratteristica che ci permette di dire che Y ha indipendenza in media Si può dimostrare che in questo esempio che la variabile X ha la proprietà che σx < σ X Quindi una seconda definizione di indipendenza in media sarà: 11

12 Definizione (bis): Si dice che la caratteristica Y ha indipendenza in media se e solo se σ Y = σ Y 4 Indice di adattamento L indice di adattamento per la Y (analogamente viene definito per la X cambiando i pedici) viene definito in questo modo: Dalla definizione (bis) abbiamo che se σ Y = σ Y quindi: Perciò si può scrivere che in generale vale che: η Y = σ Y σ Y = 1 σ Y σy σ Y allora vale che σy ηy = 1 σ Y σy = 1 1 = 0 Definizione (ter): Si dice che la caratteristica Y ha indipendenza in media se e solo se = 1 se vi è indipendenza in media per la Y, η Y = 0 5 Relazione tra indipendenza stocastica e indipendenza in media Esiste una relazione tra indipendenza stocastica e indipendenza in media Teorema 3: L indipendenza stocastica implica l indipendenza in media, ma non il viceversa Questo lo si può dimostrare nel primo esercizio, come? Ad esempio dimostrando che esiste indipendenza in media per l esercizio del paragrafo 1! Invece si può dimostrare facilmente che nell esercizio del paragrafo, esiste indipendenza in media per la Y, ma non è vero che vi è indipendenza stocastica Il teorema 3 può essere riscritto anche attraverso gli indici χ e η Y cioè Teorema 3(bis): Per l indipendenza stocastica e l indipendenza in media valgono le seguenti relazioni: χ = 0 η Y = 0 e η X = 0 contemporaneamente mentre η Y = 0 oppure η X = 0 χ = 0 6 La regressione lineare Osserviamo le variabili (x i, y i ) per i = 1,, n ponendo il caso che la frequenza delle osservazioni sia pari ad 1 (questo per farci sveltire i calcoli) Il modello di regressione lineare parte con l idea che ciò che possa descrivere meglio la dipendenza funzionale dei due fenomeni sia una retta Quindi ora costruiamo il modello ŷ i = a + bx i 1

13 che descrive la media condizionale di Y X Come in tutti i modelli, la media condizionale, espressa dalla retta, ha un errore che, se y i sono i valori osservati, viene espresso da e i = y i ŷ i = y i a bx i che viene chiamato residuo Per stimare poi i parametri del modello si procede come nella regressione in media ovvero si minimizza la media quadratica dei residui, ovvero min e e = min(y a bx) a,b e sta a significare che si risolve il problema di massimizzazione 61 La covarianza Ci serve ancora un ingrediente per capire come si stimino i parametri, ovvero il concetto di covarianza che, in questo caso con frequenza pari ad 1, lo si può scrivere come Cov(X, Y ) = n n mentre se le frequenze non fossero pari ad 1 si avrà Cov(X, Y ) = [(x i µ X )(y i µ Y )] n [(x i µ X )(y i µ Y )] f ij = = i x iy i µ X µ Y n x i y i f ij µ X µ Y e ricordiamo anche che Var(X ± Y ) = Var(X) + Var(Y ) ± Cov(X, Y ) Si può dimostrare infatti, grazie a questa condizione (facendo prima il modulo e poi la radice quadrata di tutto) che: Cov(X, Y ) σ X σ Y 6 La correlazione lineare E un indice che serve ad identificare qual è la correlazione lineare tra due variabili X ed Y, cercandola di normalizzare Essa viene espressa con ed ha la proprietà di essere compresa nell intervallo ρ = Cov(X, Y ) σ X σ Y 1 ρ 1 ed essa assume valore pari a 0 se vi è incorrelazione, pari ad 1 se la correlazione è perfettamente lineare e diretta (il coefficiente angolare della retta è positivo) ed è pari a -1 se la correlazione è perfettamente lineare ma inversa (il coefficiente angolare della retta è negativo) 13

14 63 Stima dei parametri Per stimare i parametri bisogna minimizzare lo squarto quadratico medio, ovvero min e = min (y i a bx i ) = min f(x e i) a,b a,b si ottiene che le condizioni di minimizzazione, per una singola osservazione saranno date da f a = (y i a bx i ) = 0 f b = (y i a bx i )x i = 0 da cui sommando i termini si ottiene che n y i n a n bx i = 0 n x iy i n ax i n bx i = 0 che mi danno le soluzioni ˆb = Cov(X, Y ) σ X â = M(Y ) ˆbM(X) = µ Y ˆbµ X È bene ricordarsi che X può essere qualsiasi funzione degli x quindi se dovessimo studiare per esempio la retta di regressione 1 y = a + b log x basta sostituire ad x la trasformazione logaritmica log x e si completano così i calcoli 64 L indice ρ Questo è un indice di bontà di adattamento della regressione lineare ovvero quanto il mio modello (la retta) descrive bene il comportamento dei dati Quindi diciamo che si può vedere come un indice ηy particolare, ovvero l interpolante qua è per forza di cose lineare Anche in questo caso, prima di parlare dell indice ρ dobbiamo parlare di varianza totale, varianza residua e varianza totale Esse seguono, tramite un teorema, questa relazione: σ Y = σ SP + σ Y R dove la prima è la varianza totale la seconda è la varianza spiegata e la terza è la varianza totale Ne segue qui che l indice di bontà di adattamento lineare è descritto da ρ = σ SP σ Y = 1 σ Y R σ Y 1 Una particolare trasformazione è e y = ab x che può diventare attraverso una trasformazione logaritmica una regressione lineare del tipo y = log a + (log b)x e chiamando α = log a e β = log b si ottiene y = α + βx 14

15 e vale che 0 ρ 1 a stare a dire che se ρ = 0 allora vi è incorrelazione tra i dati mentre se ρ = 1 la dipendenza lineare è massima (ovvero che i dati osservati stanno effettivamente su una retta) 7 Per ricapitolare Si NOTI bene: 1 L indice η si riferisce a qualsiasi funzione di regressione (ciò implica che può anche non essere una retta) L indice ρ si riferisce solo ad una retta di regressione!!! 15

Analisi bivariata. Dott. Cazzaniga Paolo. Dip. di Scienze Umane e Sociali paolo.cazzaniga@unibg.it

Analisi bivariata. Dott. Cazzaniga Paolo. Dip. di Scienze Umane e Sociali paolo.cazzaniga@unibg.it Dip. di Scienze Umane e Sociali paolo.cazzaniga@unibg.it Introduzione : analisi delle relazioni tra due caratteristiche osservate sulle stesse unità statistiche studio del comportamento di due caratteri

Dettagli

Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi)

Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi) Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi) QUANTILE Data una variabile casuale X, si definisce Quantile superiore x p : X P (X x p ) = p Quantile inferiore x p : X P (X x p ) = p p p=0.05 x p x p Graficamente,

Dettagli

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile

Dettagli

Correzione dell Esame di Statistica Descrittiva (Mod. B) 1 Appello - 28 Marzo 2007 Facoltà di Astronomia

Correzione dell Esame di Statistica Descrittiva (Mod. B) 1 Appello - 28 Marzo 2007 Facoltà di Astronomia Correzione dell Esame di Statistica Descrittiva (Mod. B) 1 Appello - 8 Marzo 007 Facoltà di Astronomia ESERCIZIO 1 La seguente tabella riporta la distribuzione congiunta della situazione lavorativa e dello

Dettagli

Dott.ssa Caterina Gurrieri

Dott.ssa Caterina Gurrieri Dott.ssa Caterina Gurrieri Le relazioni tra caratteri Data una tabella a doppia entrata, grande importanza riveste il misurare se e in che misura le variabili in essa riportata sono in qualche modo

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che VARIABILI ALATORI MULTIPL TORMI ASSOCIATI Fonti: Cicchitelli Dall Aglio Mood-Grabill. Moduli 6 9 0 del programma. VARIABILI ALATORI DOPPI Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile

Dettagli

Regressione Mario Guarracino Data Mining a.a. 2010/2011

Regressione Mario Guarracino Data Mining a.a. 2010/2011 Regressione Esempio Un azienda manifatturiera vuole analizzare il legame che intercorre tra il volume produttivo X per uno dei propri stabilimenti e il corrispondente costo mensile Y di produzione. Volume

Dettagli

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0.

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le uguaglianze fra espressioni numeriche si chiamano equazioni. Cercare le soluzioni dell equazione vuol dire cercare quelle combinazioni delle lettere che vi compaiono che la

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 8

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 8 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 8 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Test delle ipotesi sulla varianza In un azienda che produce componenti meccaniche, è stato

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema

Dettagli

Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione

Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione Le funzioni elementari La struttura di R La struttura di R è definita dalle operazioni Addizione e moltiplicazione. Proprietà: Commutativa Associativa Distributiva dell addizione rispetto alla moltiplicazione

Dettagli

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza dei prezzi per camera di alcuni agriturismi, situati nella regione Basilicata.

Dettagli

VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD. Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della varianza.

VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD. Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della varianza. VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD Si definisce varianza campionaria l indice s 2 = 1 (x i x) 2 = 1 ( xi 2 n x 2) Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della

Dettagli

1 Associazione tra variabili quantitative COVARIANZA E CORRELAZIONE

1 Associazione tra variabili quantitative COVARIANZA E CORRELAZIONE 1 Associazione tra variabili quantitative ASSOCIAZIONE FRA CARATTERI QUANTITATIVI: COVARIANZA E CORRELAZIONE 2 Associazione tra variabili quantitative Un esempio Prezzo medio per Nr. Albergo cliente (Euro)

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri.

Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri. Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri. A partire da questa lezione, ci occuperemo di come si riescono a codificare con sequenze binarie, quindi con sequenze di 0 e 1,

Dettagli

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni 2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av

Dettagli

Capitolo 2 Distribuzioni di frequenza

Capitolo 2 Distribuzioni di frequenza Edizioni Simone - Vol. 43/1 Compendio di statistica Capitolo 2 Distribuzioni di frequenza Sommario 1. Distribuzioni semplici. - 2. Distribuzioni doppie. - 3. Distribuzioni parziali: condizionate e marginali.

Dettagli

2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale

2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale BIOSTATISTICA 2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Il modello media-varianza con N titoli rischiosi. Una derivazione formale. Enrico Saltari

Il modello media-varianza con N titoli rischiosi. Una derivazione formale. Enrico Saltari Il modello media-varianza con N titoli rischiosi. Una derivazione formale Enrico Saltari La frontiera efficiente con N titoli rischiosi Nel caso esistano N titoli rischiosi, con N 2, il problema della

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

Inferenza statistica I Alcuni esercizi. Stefano Tonellato

Inferenza statistica I Alcuni esercizi. Stefano Tonellato Inferenza statistica I Alcuni esercizi Stefano Tonellato Anno Accademico 2006-2007 Avvertenza Una parte del materiale è stato tratto da Grigoletto M. e Ventura L. (1998). Statistica per le scienze economiche,

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 1

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 1 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 1 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it A.Studio dell interdipendenza tra variabili: riepilogo Concetto relativo allo studio delle relazioni tra

Dettagli

Statistica. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it

Statistica. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 2 Outline 1 2 3 4 () Statistica 2 / 2 Misura del legame Data una variabile doppia (X, Y ), la misura

Dettagli

ESERCITAZIONE 13 : STATISTICA DESCRITTIVA E ANALISI DI REGRESSIONE

ESERCITAZIONE 13 : STATISTICA DESCRITTIVA E ANALISI DI REGRESSIONE ESERCITAZIONE 13 : STATISTICA DESCRITTIVA E ANALISI DI REGRESSIONE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 114

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA SCHEDA N. 5: REGRESSIONE LINEARE

STATISTICA DESCRITTIVA SCHEDA N. 5: REGRESSIONE LINEARE STATISTICA DESCRITTIVA SCHEDA N. : REGRESSIONE LINEARE Nella Scheda precedente abbiamo visto che il coefficiente di correlazione fra due variabili quantitative X e Y fornisce informazioni sull esistenza

Dettagli

22.03.07 In alcuni casi è possibile applicare sia l analisi log lineare che la regressione logistica. Analisi log lineare e regressione logistica:

22.03.07 In alcuni casi è possibile applicare sia l analisi log lineare che la regressione logistica. Analisi log lineare e regressione logistica: .03.07 In alcuni casi è possibile applicare sia l analisi log lineare che la regressione logistica. Analisi log lineare e regressione logistica: differenze Nella regressione logistica le variabili vengono

Dettagli

Anno Accademico 2014-2015. Corso di Laurea in Economia Aziendale Università di Bologna STATISTICA

Anno Accademico 2014-2015. Corso di Laurea in Economia Aziendale Università di Bologna STATISTICA Statistica, CLEA p. 1/68 Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Economia Aziendale Università di Bologna STATISTICA Monia Lupparelli monia.lupparelli@unibo.it http://www2.stat.unibo.it/lupparelli

Dettagli

I SISTEMI DI NUMERAZIONE

I SISTEMI DI NUMERAZIONE ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE G. M. ANGIOY CARBONIA I SISTEMI DI NUMERAZIONE Prof. G. Ciaschetti Fin dall antichità, l uomo ha avuto il bisogno di rappresentare le quantità in modo simbolico. Sono nati

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA

STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA Si parla di Analisi Multivariata quando su ogni unità statistica, appartenente ad una determinata popolazione, si rileva un certo numero s di caratteri X 1, X 2,,X s. Si

Dettagli

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0 Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice

Dettagli

La Programmazione Lineare

La Programmazione Lineare 4 La Programmazione Lineare 4.1 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Esercizio 4.1.1 Fornire una rappresentazione geometrica e risolvere graficamente i seguenti problemi

Dettagli

Entropia. Motivazione. ? Quant è l informazione portata dalla sequenza? Abbiamo una sequenza S di N simboli (campioni audio, pixel, caratteri,...

Entropia. Motivazione. ? Quant è l informazione portata dalla sequenza? Abbiamo una sequenza S di N simboli (campioni audio, pixel, caratteri,... Entropia Motivazione Abbiamo una sequenza S di N simboli (campioni audio, pixel, caratteri,... ) s,s 2,s 3,... ognuno dei quali appartiene ad un alfabeto A di M elementi.? Quant è l informazione portata

Dettagli

FONDAMENTI DI PSICOMETRIA - 8 CFU

FONDAMENTI DI PSICOMETRIA - 8 CFU Ψ FONDAMENTI DI PSICOMETRIA - 8 CFU STIMA DELL ATTENDIBILITA STIMA DELL ATTENDIBILITA DEFINIZIONE DI ATTENDIBILITA (affidabilità, fedeltà) Grado di accordo tra diversi tentativi di misurare uno stesso

Dettagli

Il rischio di un portafoglio

Il rischio di un portafoglio Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze covarianza a a ρ a b ρ a b ρ b b ρ coefficiente di correlazione = cov / ² p = a² ² + b² ² + 2 a

Dettagli

Relazioni statistiche: regressione e correlazione

Relazioni statistiche: regressione e correlazione Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA

STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA Capitolo zero: STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA La STATISTICA è la scienza che si occupa di fenomeni collettivi che richiedono lo studio di un grande numero di dati. Il termine STATISTICA deriva dalla

Dettagli

5. La teoria astratta della misura.

5. La teoria astratta della misura. 5. La teoria astratta della misura. 5.1. σ-algebre. 5.1.1. σ-algebre e loro proprietà. Sia Ω un insieme non vuoto. Indichiamo con P(Ω la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω. Inoltre, per ogni insieme

Dettagli

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi (Criterio del rapporto.) Consideriamo la serie a (.) a termini positivi (ossia a > 0, =, 2,...). Supponiamo che esista il seguente ite a +

Dettagli

I punteggi zeta e la distribuzione normale

I punteggi zeta e la distribuzione normale QUINTA UNITA I punteggi zeta e la distribuzione normale I punteggi ottenuti attraverso una misurazione risultano di difficile interpretazione se presi in stessi. Affinché acquistino significato è necessario

Dettagli

Capitolo 2. Operazione di limite

Capitolo 2. Operazione di limite Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno

Dettagli

STATISTICA GIUSEPPE DE NICOLAO. Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Pavia

STATISTICA GIUSEPPE DE NICOLAO. Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Pavia STATISTICA GIUSEPPE DE NICOLAO Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Pavia SOMMARIO V.C. vettoriali Media e varianza campionarie Proprietà degli stimatori Intervalli di confidenza Statistica

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica 1 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili Indice 1 Massimi e minimi liberi 1 Massimi e minimi vincolati 7 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza

Dettagli

LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco)

LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco) LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco) IL P-VALUE (α) Data un ipotesi nulla (H 0 ), questa la si può accettare o rifiutare in base al valore del p- value. In genere il suo valore è un numero molto piccolo,

Dettagli

5.4 Solo titoli rischiosi

5.4 Solo titoli rischiosi 56 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza 5.4 Solo titoli rischiosi Suppongo che sul mercato siano presenti n titoli rischiosi i cui rendimenti aleatori sono

Dettagli

STRUTTURE ALGEBRICHE

STRUTTURE ALGEBRICHE STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione

Dettagli

ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI

ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI PAOLO FACCIN 1. Esercizi sulle applicazioni lineari 1.1. Definizioni sulle applicazioni lineari. Siano V, e W spazi vettoriali, con rispettive basi B V := (v 1 v n) e B W

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Una funzione reale di una variabile reale f di dominio A è una legge che ad ogni x A associa un numero reale che denotiamo con f(x). Se A = N, la f è detta successione di numeri reali.

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Analisi di dati di frequenza

Analisi di dati di frequenza Analisi di dati di frequenza Fase di raccolta dei dati Fase di memorizzazione dei dati in un foglio elettronico 0 1 1 1 Frequenze attese uguali Si assuma che dalle risposte al questionario sullo stato

Dettagli

Analisi delle relazioni tra due caratteri

Analisi delle relazioni tra due caratteri Analisi delle relazioni tra due caratteri Le misure di connessione misurano il grado di associazione tra due caratteri qualsiasi sotto il profilo statistico (e non causale in quanto non è compito della

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE

LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE FLAVIO ANGELINI Sommario Queste note hanno lo scopo di indicare a studenti di Economia interessati alla finanza quantitativa i concetti essenziali

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

Studio di una funzione ad una variabile

Studio di una funzione ad una variabile Studio di una funzione ad una variabile Lo studio di una funzione ad una variabile ha come scopo ultimo quello di pervenire a un grafico della funzione assegnata. Questo grafico non dovrà essere preciso

Dettagli

La categoria «ES» presenta (di solito) gli stessi comandi

La categoria «ES» presenta (di solito) gli stessi comandi Utilizzo delle calcolatrici FX 991 ES+ Parte II PARMA, 11 Marzo 2014 Prof. Francesco Bologna bolfra@gmail.com ARGOMENTI DELLA LEZIONE 1. Richiami lezione precedente 2.Calcolo delle statistiche di regressione:

Dettagli

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari Serie numeriche Definizioni e proprietà elementari Sia { } una successione, definita per ogni numero naturale n n. Per ogni n n, consideriamo la somma s n degli elementi della successione di posto d s

Dettagli

Brugnaro Luca Boscaro Gianni (2009) 1

Brugnaro Luca Boscaro Gianni (2009) 1 STATISTICA PER LE PROFESSIONI SANITARIE - LIVELLO BASE Brugnaro Luca Boscaro Gianni (2009) 1 Perché la statistica Prendere decisioni Bibliografia non soddisfacente Richieste nuove conoscenze Raccolta delle

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

1 Serie di Taylor di una funzione

1 Serie di Taylor di una funzione Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita

Dettagli

Lezione 6: Forma di distribuzione Corso di Statistica Facoltà di Economia Università della Basilicata. Prof. Massimo Aria

Lezione 6: Forma di distribuzione Corso di Statistica Facoltà di Economia Università della Basilicata. Prof. Massimo Aria Lezione 6: Forma di distribuzione Corso di Statistica Facoltà di Economia Università della Basilicata Prof. Massimo Aria aria@unina.it Standardizzazione di una variabile Standardizzare una variabile statistica

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte I

Elementi di Statistica descrittiva Parte I Elementi di Statistica descrittiva Parte I Che cos è la statistica Metodo di studio di caratteri variabili, rilevabili su collettività. La statistica si occupa di caratteri (ossia aspetti osservabili)

Dettagli

Lezione 6 (16/10/2014)

Lezione 6 (16/10/2014) Lezione 6 (16/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. La funzione f : R R data da f(x) = 10x 5 x è crescente? Perché? Soluzione Se f fosse crescente avrebbe derivata prima (strettamente) positiva.

Dettagli

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi October 26, 2008 1 Variabili aleatorie Per la definizione rigorosa di variabile aleatoria rimandiamo ai testi di probabilità; essa è non del tutto immediata

Dettagli

ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA

ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ES1 Data la seguente serie di dati su Sesso e Altezza di 8 pazienti, riempire opportunamente due tabelle per rappresentare le distribuzioni di frequenze dei due caratteri,

Dettagli

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione

Dettagli

Parte 6. Applicazioni lineari

Parte 6. Applicazioni lineari Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R

Dettagli

Strumenti statistici per l analisi di dati genetici

Strumenti statistici per l analisi di dati genetici Strumenti statistici per l analisi di dati genetici Luca Tardella + Maria Brigida Ferraro 1 email: luca.tardella@uniroma1.it Lezione #1 Introduzione al software R al suo utilizzo per l implementazione

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità con Elementi di Statistica Matematica

Esercizi di Calcolo delle Probabilità con Elementi di Statistica Matematica Esercizi di Calcolo delle Probabilità con Elementi di Statistica Matematica Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche Università Politecnica delle Marche 1. Esercizio. Siano X ed Y due variabili

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

1. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di 40, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme.

1. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di 40, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme. Esercizi difficili sul calcolo delle probabilità. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme. Le parole a caso

Dettagli

CAPITOLO I. Prof. Ing. Michele Marra - Appunti delle Lezioni di Ricerca Operativa Programmazione Dinamica

CAPITOLO I. Prof. Ing. Michele Marra - Appunti delle Lezioni di Ricerca Operativa Programmazione Dinamica CAPITOLO I. - PROGRAMMAZIONE DINAMICA La programmazione dinamica è una parte della programmazione matematica che si occupa della soluzione di problemi di ottimizzazione di tipo particolare, mediante una

Dettagli

Statistica multivariata. Statistica multivariata. Analisi multivariata. Dati multivariati. x 11 x 21. x 12 x 22. x 1m x 2m. x nm. x n2.

Statistica multivariata. Statistica multivariata. Analisi multivariata. Dati multivariati. x 11 x 21. x 12 x 22. x 1m x 2m. x nm. x n2. Analisi multivariata Statistica multivariata Quando il numero delle variabili rilevate sullo stesso soggetto aumentano, il problema diventa gestirle tutte e capirne le relazioni. Cercare di capire le relazioni

Dettagli

Metodi di previsione

Metodi di previsione Metodi di previsione Giovanni Righini Università degli Studi di Milano Corso di Logistica I metodi di previsione I metodi di previsione sono usati per ricavare informazioni a sostegno dei processi decisionali

Dettagli

Il concetto di correlazione

Il concetto di correlazione SESTA UNITA Il concetto di correlazione Fino a questo momento ci siamo interessati alle varie statistiche che ci consentono di descrivere la distribuzione dei punteggi di una data variabile e di collegare

Dettagli

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Laurea in Ingegneria Meccatronica A.A. 2010 2011 n-dimensionali Riepilogo. Gli esiti di un esperimento aleatorio

Dettagli

9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A = LU

9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A = LU 9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A LU 9.1 Il metodo di Gauss Come si è visto nella sezione 3.3, per la risoluzione di un sistema lineare si può considerare al posto

Dettagli

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere) Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto

Dettagli

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Dipendenza di un carattere QUANTITATIVO da un carattere QUALITATIVO

Dettagli

Elementi di Psicometria

Elementi di Psicometria Elementi di Psicometria 12-Correlazione vers. 1.1 (27 novembre 2012) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca 2011-2012 G. Rossi (Dip. Psicologia)

Dettagli

Un modello matematico di investimento ottimale

Un modello matematico di investimento ottimale Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Investimento per un singolo agente

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli