Esercizi 4 (2) È dato su uno spazio campionario Ω = {a, b, c, d, e} dotato della funzione di probabilità seguente:

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1 I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita e scritta dell autore. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. Esercizi 4 () In uno spazio campionario Ω, un evento A ha probabilità p(a) = /2 ed un secondo evento B ha probabilità p(b) = 2/3. Cosa si può affermare a proposito di A B? (2) È dato su uno spazio campionario Ω = {a, b, c, d, e} dotato della funzione di probabilità seguente: p( a ) = /3, p( b ) = /9, p( c ) = /9, p( d ) = /9, p( e ) = /3, una variabile aleatoria X i cui valori sono X( a ) =, X( b ) = 3, X( c ) = 5, X( d ) = 7, X( e ) = 9. Calcolare la media e la varianza di X. (3) Sullo spazio campionario Ω = [, 2] è assegnata la funzione di densità di probabilità: f(x) = 2(x ). Calcolare la media e la varianza di questa distribuzione. (4) Sullo spazio campionario Ω = [ 2, 2] è assegnata la seguente funzione di densità di probabilità: (x + 2)/2 x [ 2, ] f(x) = /2 x [, ] (2 x)/2 x [, 2]. Calcolare la media e la varianza di questa densità. (5) Un esperimento ha prodotto le seguenti misure di una data grandezza:.2,.3,.5,.6,.. Calcolare la media e la varianza di questi dati. (6) Due dadi a sei facce, numerate da a 6 e non truccati sono lanciati contemporaneamente. Sia X la variabile aleatoria il cui valore è la somma dei valori usciti ad ogni lancio. Calcolare media e varianza di X. (7) Per quali valori del parametro reale α, la funzione f(x) = (α + )x α + (2α + )x 2α può essere considerata come una densità di probabilità sullo spazio campionario continuo Ω = [, 2]? (8) I valori di una variabile aleatoria X sono distribuiti come una binomiale di parametri N = 4 e p = /3. Calcolare la media e la varianza di X, di X + 2 e di X 2. (9) Su un spazio campionario Ω sono date due variabili aleatorie X, Y, le cui probabilità congiunte sono date dalla seguente tabella:

2 X\Y /2 /2 /24 /4 2 /4 /2 /2 3 /2 /24 Calcolare M[X], M[Y ] e Cov[X, Y ]. X ed Y sono indipendenti? Sono incorrelate? () Su un spazio campionario Ω sono date due variabili aleatorie X, Y le cui probabilità congiunte sono date dalla seguente tabella: X\Y /2 /2 /24 /24 3 /6 /6 /2 /2 4 /2 /2 /24 /24 Calcolare M[X], M[Y ] e Cov[X, Y ]. X ed Y sono incorrelate? Sono indipendenti? () Si consideri il seguente gioco al casinò. Il gioco è giocato da un solo giocatore contro il banco, tenuto dal croupier. Il giocatore lancia una coppia di dadi e vince 2 Euro se la somma dei valori usciti sui due dadi è 7, in ogni altro caso perde Euro. Dopo aver giocato partite, qual è la probabilità che il giocatore abbia guadagnato almeno Euro? Quale quella di aver perso almeno 4 Euro? (2) Come nell esercizio precedente, ma questa volta la somma vinta per ogni uscita del numero 7 è pari a 5 Euro, mentre in caso di perdita si perde sempre Euro. Dopo le solite partite, qual è la probabilità che il giocatore abbia guadagnato almeno Euro? Quale quella di aver perso almeno 4 Euro? (3) Una coppia di dadi è stata truccata in modo che al lancio di ogni dado la faccia compaia con probabilità /3, mentre le altre facce restano tra loro equiprobabili. Qual è la probabilità che lanciando la coppia di dadi la somma dei numeri sulle facce sia 7? (4) Un azienda produttrice di lampadine sostiene che ogni lampadina prodotta ha probabilità p = / di essere messa in vendita nonostante sia guasta. Tale azienda riesce ad aggiudicarsi un appalto per la fornitura di lampade ad un ospedale che ne acquista un primo lotto di. Qual è la probabilità che in questo lotto vi siano più di 5 lampadine guaste? (5) Nell esercizio precedentemente discusso, si supponga di testare ogni lampadina acquistata e di averne trovate almeno 2 guaste: che conclusioni possiamo trarre riguardo la dichiarazione del produttore di lampadine? E se le lampadine trovate guaste fossero state almeno 4? (6) Un test medico per la ricerca di un dato enzima si sa essere affidabile al 99%, ovvero esso produce una segnalazione errata con probabilità /. Qual è la probabilità che impiegando questo test su campioni esso dia luogo a più di 7 segnalazioni errate? (7) In una certa classe d età, la probabilità di essere malati di ipertensione è.. Il test A risulta positivo nel 99% dei casi in una persona malata e il 5% dei casi in una sana. a) Qual è la probabilità di una corretta diagnosi con il test A? b) Qual è la probabilità che una persona sia malata, nonostante il test sia risultato negativo? (8) Per quali valori del parametro α la funzione α sin x sin(2x) è una densità di probabilità sullo spazio Ω = [, π/2]? (9) Un azienda produce sistemi di controllo che ritiene particolarmente affidabili in quanto afferma che detti A e B gli eventi seguenti: 2

3 A = lo strumento segnala che il componente in esame è difettoso B = il componente in esame è difettoso allora p(a B) = 95% e p(a c B c ) = 95%. In una partita di componenti molto numerosa è noto che p(b) = 5%. Calcolare la probabilità che posto che lo strumento segnali un difetto, il componente in esame lo sia veramente. (2) Una dattilografa ha circa il 2% di probabilità di commettere un errore in una pagina. Qual è la probabilità che in un libro di 4 pagine ci siano al massimo 7 pagine con qualche errore? (2) Due dadi piramidali con 4 sole facce numerate da a 4 vengono lanciati. Sia X la variabile aleatoria che fornisce il risultato del primo dado e sia Y quella che fornisce il risultato del secondo dado. Siano poi U e V due nuove variabili aleatorie, definite da: U = min(x, Y ), V = X Y. Calcolare la probabilità congiunta di U e V e stabilire se si tratta di variabili aleatorie incorrelate. (22) Un agricoltore ha stimato che il 2% della semente di melone che ha prodotto non germoglierà. Egli vende questa semente in scatole contenenti 5 semi ciascuna. Calcolare la probabilità che una data scatola contenga più di un seme sterile. (23) Si fanno vari lanci con una moneta equilibrata, e ci si ferma alla prima uscita del lato Testa. (quindi possibili risultati degli esperimenti sono i seguenti: CCCT, CT, CCCCCCCT e così via). Calcolare la probabilità di ottenere Testa esattamente al quarto lancio. (24) Un urna contiene 4 palle bianche e 2 nere. Si estraggono due palle dall urna senza reimmissione (cioè la prima palla estratta non viene rimessa nell urna). Calcolare la probabilità che entrambe le palle estratte siano bianche. (25) Sia X una variabile aleatoria che assume i valori,, con uguale probabilità. Trovare la distribuzione congiunta di X ed X 2 e la probabilità condizionata di X sotto la condizione X 2 =. (26) Una prima urna contiene 3 palle rosse e bianca. Una seconda urna ne contiene invece 3 bianche ed rossa. Si estraggono una palla dalla prima urna ed una palla dalla seconda. Calcolare la probabilità che le palle estratte abbiano diverso colore. (27) Siano A e B due eventi indipendenti e si supponga che p(a) =.5 e p(a B) =.2. Calcolare p(b). (28) Siano A e B due eventi indipendenti tali che p(a) = p(b A) =.5. Calcolare p(a B). (29) Studi epidemiologici mostrano che il % delle persone ha la bronchite cronica, che il 65% delle persone con la bronchite fuma, mentre il 35% delle persone senza bronchite fuma. Determinare la percentuale dei fumatori con bronchite rispetto a tutti i fumatori. (3) Si lanciano due dadi a quattro facce (due tetraedri) numerate da a 4. Sia X la variabile aleatoria che fornisce il più piccolo dei numeri usciti e sia invece Y la variabile aleatoria che ne dà il più grande. Trovare la distribuzione congiunta di X ed Y e la distribuzione di Y condizionata da X = 3. (3) X è una variabile aleatoria la cui distribuzione è binomiale con parametri (ignoti) N e p. Si sa però che M[X] = 5 e che Var X = 4. Determinare N ed p. 3

4 (32) X è una variabile aleatoria la cui distribuzione è di Poisson con parametro (ignoto) λ. Si sa però che p(x = ) = p(x = ). Determinare λ. Calcolare poi M[X] e Var[X]. (33) Da un urna contenente tre palle numerate da a 3 ne vengono estratte due senza reimmissione (cioè la prima estratta non viene rimessa nell urna). Sia X il numero della prima palla estratta ed Y il più grande dei due estratti. Determinare la distribuzione congiunta di X e Y e trovare p(x = Y = 3). (34) Sono dati due eventi A e B per i quali sono noti i seguenti fatti: p(a B) = /3, p(b c ) = 6/7, p(a B) = /2. Gli eventi A e B sono indipendenti? (35) Una casa da gioco ha deciso di introdurre un nuovo gioco d azzardo. Consiste nel lancio di un dato a forma ottagonale, nel quale le facce, 2, 3, 4 sono tra loro equiprobabili, così come pure sono tra loro equiprobabili le facce 5, 6, 7, 8, tuttavia, le due piramidi contrapposte che costituiscono il dado sono realizzate in materiali diversi, così che di fatto la faccia ha una probabilità tripla rispetto a quella della faccia 5. Il gioco consiste in questo: il giocatore lancia una sola volta il dado e se esce, 2, 3 o 5 allora egli paga al banco Euro, mentre se esce 4, 6, 7 o 8 egli vince X Euro. Determinare il valore di X in modo che il gioco sia equo (il che significa che il guadagno medio del banco è pari a ). (36) Il malfunzionamento di una lavatrice porta all allagamento del locale che la ospita. Vi sono solo due possibili cause del suo malfunzionamento: la presenza di una cricca nel suo oblò e l intasamento del suo filtro. La prima causa ha probabilità.2. Inoltre, è noto che nel primo caso la probabilità di un allagamento è.9, mentre nel secondo è pari a.3. Supponiamo che una volta messa in funzione la lavatrice effettivamente si assista (ahinoi!) all allagamento del locale. Qual è la probabilità che esso sia dovuto alla cattiva pulizia del filtro? (37) Determinare per quale valore del parametro reale c la funzione { c x x [, /2) f(x) = c x x [/2, ] fornisce una densità di probabilità su [, ]. Per tale valore di c si calcolino poi media e varianza dello spazio campionario. (38) Su un spazio campionario Ω sono date due variabili aleatorie X, Y le cui probabilità congiunte sono date dalla seguente tabella: X\Y /8 /8 /8 2 /8 3/8 /8 Calcolare M[X], M[Y ], M[2X 3Y ], Cov[X, Y ] e Var[X+Y ]. X ed Y sono indipendenti? (39) Il mal funzionamento dell apparato W ha tre sole possibili cause, dette causa A, causa B e causa C. Il costruttore di W dichiara che se la causa A si realizza, essa produce il guasto di W nel % dei casi, se a realizzarsi è la causa B essa produce il guasto di W nel 4% dei casi e, da ultimo, che se a realizzarsi è la causa C essa determina il guasto di W nel 6% dei casi. 4

5 Gianni acquista l apparato W e lo installa in un ambiente in cui probabilità che l evento causa A si verifichi è 5% mentre la probabilità che a verificarsi sia l evento causa B è 4%. Calcolare anzitutto la probabilità che si verifichi l evento causa C. A seguito di un mal funzionamento di W, Gianni decide di consultare il call-center messo a disposizione dei suoi clienti dal costruttore di W. Il tecnico del call-center non ha accesso a W e decide di guidare Gianni nel tentativo di risolvere il mal funzionamento. Le cause A,B,C hanno però rimedi distinti e quindi per non perdere tempo conviene partire dalla causa più probabile: qual è? (4) La probabilità di trovare una perla in un ostrica non coltivata è pari a circa.. Quante ostriche si dovranno pescare per poter disporre, con probabilità maggiore od uguale a.3, di almeno perle? (4) Guardavo il Tg2 del ottobre e mi sono soffermato su un servizio. L argomento è lo stalking (perseguitare, seguire, fare la posta). La voce di una giornalista in sottofondo diceva che un italiano su cinque (2%) ha subito molestie; su omicidi volontari, dieci (%) sono stati preceduti da un fenomeno di stalking. Qual è secondo voi il rischio di essere uccisi da uno stalker? Per rispondere è utile tenere presente che Il tasso di omicidi in Italia è di uno ogni mila persone nel 26 (fonte: Rapporto del Viminale sulla criminalità). (42) Determinare per quali valori della costante reale c la funzione f(x) = 3cx + 3c 2 x 2 è una densità sullo spazio campionario Ω = [, ]. Si calcoli poi media µ e varianza σ 2 per ciascuna di esse. (43) Determinare per quali valori della costante reale c la funzione f(x) = c 2 x 3 2 cx2 sia una densità sullo spazio campionario Ω = [, ]. Si calcoli poi media µ e varianza σ 2 per ciascuna della densità trovate. (44) Un pediatra sa che la presenza di macchie rosse sulla pelle di un bambino può essere sintomo di una infezione da varicella, di una infezione da morbillo oppure avere una origine non meglio precisata. Sulla base della sua esperienza egli stima: p(morbillo) =.5 e p(varicella) =.3; egli inoltre sa che l infezione da morbillo provoca la comparsa delle macchie nel 3% dei casi che l infezione da varicella provoca la comparsa delle macchie nel 6% dei casi e infine che le macchie possono comparire anche nel 2% dei bimbi sani. In presenza di un paziente che presenta il sintomo macchie rosse, qual è la causa più probabile? (45) Il moto di un grave in caduta libera da un altezza x con velocità iniziale nulla e trascurando le forze di resistenza è regolato dalla legge x(t) = x g 2 t2, dove g è l accelerazione di gravità. Un esperimento consiste nel lanciare da un pallone aerostatico un grave nelle condizioni precedenti, e nel registrare la posizione ad intervalli di tempo prefissati. Così facendo si sono ottenuti i dati seguenti: t in secondi x in metri Usando il metodo dei minimi quadrati determinare una stima per le costanti x e g. Attenzione! la legge che lega x al tempo non è lineare, tuttavia lo è quella che lega x a t 2. È dunque a queste variabili che deve essere applicato il metodo dei minimi quadrati. (46) La quantità Z di zinco deposta al catodo di un bagno elettrochimico dipende linearmente dalla quantità di carica q che vi fluisce. Si ha cioè che Z = z + m q dove z rappresenta la quantità di zinco già presente al catodo al momento dell accensione del bagno ed m rappresenta una costante di proporzionalità. Durante un bagno chimico sono fatte le 5

6 seguenti misure: q in Coulomb Z in grammi Usando il metodo dei minimi quadrati determinare una stima per le costanti m ed z. (47) A seguito del procedere di una reazione chimica la concentrazione C della sostanza ℵ decade secondo la legge C = C e bt dove C misura la concentrazione al tempo t = e b è un parametro di reazione costante nel tempo. La legge che lega C (variabile dipendente) al tempo t (variabile indipendente) non è lineare, tuttavia da essa segue che log C = log C b t per cui se si assumono come nuove variabili il tempo t (variabile indipendente) e log C (variabile dipendente) la legge appare della forma lineare: log C = q + m t (dove l ordinata all origine q di fatto coincide con log C e il coefficiente angolare coincide con b). Un esperimento fornisce i seguenti dati: t in secondi C Usando il metodo dei minimi quadrati determinare una stima per le costanti C e b. Suggerimento: per ogni valor di C calcolare log C ed interpolare linearmente log C e t. (48) Presso un certo pronto soccorso di XXX il numero di casi di tetano diagnosticati ogni mese è distribuito come una poissoniana con λ = 4.5. (a) Qual è la probabilità che in un certo mese venga diagnosticato un (sott. inteso unico) caso di tetano? (b) Qual è la probabilità che in un certo mese vengano diagnosticato più di tre casi di tetano? (49) In un periodo di 2 anni ci sono stati nel mondo 87 terremoti di alta intensità. a) Calcolare il numero medio di terremoti di alta intensità in un anno. b) Calcolare la probabilità che il numero di terremoti in un anno selezionato a caso sia esattamente 2. c) Quale sarà il numero di anni su 2 in cui si sono verificati 2 terremoti? (5) La tabella riassume il gruppo sanguigno e il fattore Rh di un campione di persone. A B AB Rh Rh a) Scegliendo a caso una persona, determinare la probabilità che:. il suo gruppo sanguigno non sia 2. abbia il gruppo AB o il fattore Rh+ 3. abbia il fattore Rh- sapendo che ha gruppo A b) Scegliendo a caso tre persone, determinare la probabilità che abbiano il gruppo B. (5) Su 5 analisi effettuate in un laboratorio, sono state riscontrate le seguenti frequenze dei vari gruppi sanguigni. Gruppo Fr. assolute 78 A 48 B 5 AB 9 a) Calcolare le corrispondenti frequenze percentuali. b) Calcolare la probabilità che scelti due individui a caso essi abbiano lo stesso gruppo sanguigno. 6

7 c) Come è noto le trasfusioni di sangue sono possibili: dal gruppo a tutti i gruppi; dal gruppo A ai gruppi A, AB; dal gruppo B ai gruppi B, AB; dal gruppo AB al gruppo AB. Calcolare la probabilità che un individuo scelto a caso possa donare il proprio sangue a un secondo individuo scelto a caso. (52) Consideriamo tre urne, la prima contiene 2 palline bianche e 3 nere, la seconda contiene 4 palline bianche e una nera, la terza contiene 3 palline bianche e 4 nere. a) Si sceglie a caso un urna e si estrarre una pallina bianca. qual è la probabilità che questa provenga dalla prima urna? b) Si ripongono tutte le palline in un unica urna e se ne estraggono 5 senza reimmissione. Calcola la probabilità che 3 siano bianche e due nere. (53) In una vasta regione pianeggiante sono distribuite 4 querce. per studiare il territorio la regione è suddivisa in zone. sapendo che la distribuzione di piante su un territorio può essere studiata utilizzando la distribuzione di poisson: a) qual è la probabilità di trovare esattamente 2 querce in una zona scelta a caso? b) Qual è la probabilità di trovarne meno di quattro? (54) Il Ministero della salute riferisce che la probabilità di avere l HIV nella popolazione a rischio è del 6%. Un test di screening con sensibilità pari al 9% ha fornito 657 esiti negativi in un campione di 9 soggetti. a) Calcolare il valore predittivo del test. b) Calcolare la specificità del test. c) Quanti falsi negativi mi aspetto nel campione in esame? 7

8 Soluzioni () L intersezione A B non può essere l insieme vuoto. Infatti, se gli eventi A e B non si intersecassero, succederebbe che p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = p(a) + p(b) p( ) = /2 + 2/3 = 7/6 cosa che però è assurda, visto che la probabilità di ogni evento deve essere sempre un numero tra e. (2) Per ottenere il valore di M[X] basta tener presente la definizione di media di X: M[X] = α Ω X(α)p( α ), e quindi nel caso in esame si ha M[X] = p( a ) + 3p( b ) + 5p( c ) + 7p( d ) + 9p( e ) = /3 + 3 /9 + 5 /9 + 7 /9 + 9 /3 = 45/9 = 5. Analogamente otteniamo M[X 2 ] = 2 p( a ) p( b ) p( c ) p( d ) p( e ) = 2 / / / / /3 = 329/9. Dalla formula Var[X] = M[X 2 ] (M[X]) 2 otteniamo Var[X] = M[X 2 ] (M[X]) 2 = 329/9 5 2 = 4/9. (3) Ricordo che quando lo spazio Ω è continuo, la media e varianza della distribuzione di probabilità sono definite tramite integrali: media = µ = + xf(x)dx, varianza = σ 2 = + (x µ) 2 f(x)dx. In questo caso Ω = [, 2] e questa situazione rientra in quella ricordata qui sopra, pur di pensare alla densità di probabilità come ad una funzione che vale fuori dell intervallo [, 2]. Dunque è: µ = + xf(x)dx = 2 x2(x )dx = 2 = ( 2 3 x3 x 2 ) 2 = ( ) ( ) = 5 3. (2x 2 2x)dx Per calcolare la varianza, possiamo usare la formula σ 2 = Var[X] = M[X 2 ] (M[X]) 2 = M[X 2 ] µ 2, dove X è la variabile aleatoria che sul punto x assume il valore x. Tuttavia, anche per variare un po le cose, questa volta calcoliamo σ 2 direttamente dalla sua definizione: σ 2 = = (x µ) 2 f(x)dx = 2 (x 5 3 )2 2(x )dx = 2 2 (x x x 25 9 )dx = 2( 4 x4 3 9 x x x) 2 = 2( ) 2( ) = 8. (x 2 3 x )(x )dx 8

9 (4) Procedo come nell esercizio precedente: µ = = + 2 xf(x)dx = (x 2 /2 + x) dx + 2 x(x + 2)/2 dx + x/2 dx + 2 x /2 dx + (x x 2 /2) dx 2 x(2 x)/2 dx = (x 3 /6 + x 2 /2) 2 + (x2 /4) + (x2 /2 x 3 /6) 2 = =. Il fatto che il valor medio sia non è casuale e poteva essere anticipato: la funzione f è infatti una funzione pari (ovvero soddisfa l identità f(x) = f( x)), e la media di una distribuzione pari è sempre uguale a. Per il calcolo della varianza, abbiamo σ 2 = = = (x µ) 2 f(x)dx = x 2 (x + 2)/2dx + (x 3 /2 + x 2 )dx x 2 f(x) dx x 2 /2dx + x 2 /2dx x 2 (2 x)/2dx (x 2 x 3 /2)dx = (x 4 /8 + x 3 /3) 2 + (x3 /6) + (x3 /3 x 4 /8) 2 = = 5 4. (5) Sia X la variabile aleatoria il cui valore è il risultato di ogni singola misura. In mancanza di ulteriori informazioni i valori di X sono assunti tutti equiprobabili e nel caso in esame essi sono in tutto 5 quindi a ciascuno compete una probabilità pari a p = /5. La media di X è dunque pari a: M[X] =.2p(.2) +.3p(.3) +.5p(.5) +.6p(.6) +.p(.) = = =.2. Per il calcolo della varianza è invece conveniente usare la formula secondo cui e così Var[X] = M[X 2 ] (M[X]) 2, M[X 2 ] =.2 2 p(.2) p(.3) p(.5) p(.6) +. 2 p(.) = = =.348. La varianza è quindi pari a: Var[X] = M[X 2 ] (M[X]) 2 =.348 (.2) 2 =.936. (6) I dadi sono dichiarati non truccati, quindi le probabilità con cui ciascuna faccia esce al lancio di ogni dado è pari ad /6. I dadi lanciati sono però due e quindi dobbiamo considerare lo spazio campionario Ω = {, 2, 3, 4, 6 } {, 2, 3, 4, 6 } corrispondente a tutte le possibili coppie di risultati corrispondenti al lancio simultaneo di due dadi. Inoltre, dato che non si afferma nulla riguardo possibili interferenze del primo dado sul secondo, è sicuramente lecito supporre che i due lanci siano indipendenti, e quindi le probabilità congiunte da assegnarsi allo spazio cartesiano Ω saranno i prodotti delle corrispondenti distribuzioni marginali: ma le probabilità di ogni faccia è /6, quindi ad ogni evento dello spazio Ω compete la probabilità / /6 = /36. Per calcolare Media 9

10 e varianza di X dobbiamo quindi calcolare le seguenti somme: M[X] = 6 6 X(α)p(α) = (n + m)p( (n, m) ) α Ω Quindi = 6 n= m= 6 (n + m) n= m= 6 36 = 36 n= m= 6 (n + m) = 36( (+)+(+2)+(+3)+(+4) +(+5)+(+6)+(2+)+(2+2)+ +(6+6) ) = 7. M[X 2 ] = α Ω X(α) 2 p(α) = = 6 n= m= = 36 = 329/6. 6 (n + m) 2 6 n= m= 6 (n + m) 2 p( (n, m) ) 6 36 = 36 n= m= 6 (n + m) 2 ( (+) 2 +(+2) 2 +(+3) 2 +(+4) 2 +(+5) 2 +(+6) 2 +(2+) 2 +(2+2) 2 + +(6+6) 2) Var[X] = M[X 2 ] (M[X]) 2 = 329/6 7 2 = 35/6. C è anche un secondo metodo, un po più rapido, che consente di ottenere il medesimo risultato. Osserviamo che dei 36 possibili eventi di Ω (le 6 6 possibili uscite dal lancio contemporaneo di due dadi), X assume il valore 2 solo su di essi (l evento ( (, ) )), il valore 3 su 2 di essi (gli eventi ( (, 2) ) e ( (2, ) )), il valore 4 su 3 di essi (gli eventi ( (, 3) ), ( (2, 2) ) e (3, ) ), e così via secondo la tabella seguente: M[X] = M[X 2 ] = valore di X numero di volte e che quindi ai valori di X competono le seguenti probabilità: valore di X probabilità /36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 /36 e quindi a=valore di X 2 a p(a) = a p(a) a=2 = = 7. a=valore di X a 2 p(a) = 2 a=2 a p(a) = = 329/6. Evidentemente i valori trovati coincidono con quelli precedentemente trovati; il vantaggio che si ha nel condurre il calcolo nel secondo modo deriva dal fatto che ora si devono eseguire meno somme.

11 (7) Per poter essere considerata come una densità di probabilità la funzione f(x) deve essere continua a tratti, essere a valori non negativi e il suo integrale su tutto il dominio deve valere. La funzione in esame soddisfa sicuramente i primi due requisiti, quindi resta da controllare quando (e se) è soddisfatta anche la terza ipotesi. = 2 Ovvero ((α + )x α + (2α + )x 2α ) dx = (x α+ + x 2α+ ) 2 = 2α α α α 3 =. Per risolvere l equazione poniamo 2 α = x, così che essa diventa { { 2x 2 + 2x 3 = x = ± 7 2 α = 2 = x 2 α = x delle due soluzioni trovate la x = 7 2 non è accettabile (poiché 2 α = x non ha in quel caso soluzione), e quindi resta solo 7 2 da cui 2 α = ( 7 )/2 = α = log(( 7 )/2). log 2 (8) Affermare che i valori di una variabile aleatoria X sono distribuiti come una binomiale di parametri N = 4 e p = /3 significa affermare che X assume i valori,, 2, 3, 4, con una probabilità che è pari a p(x = n) = ( N n ) p n ( p) N n = ( ) 4 (/3) n (2/3) 4 n, n =,, 2, 3, 4. n Per il calcolo di M[X] e di Var[X] possiamo procedere ricordando che essi sono dati dalle seguenti formule: (caso di distribuzione binomiale) M[X] = Np = 4 3 = 4 3, Var[X] = Np( p) = = 8 9. Per il calcolo di M[X + 2] possiamo usare le proprietà formali dell operatore di media: M[X + 2] = M[X] + M[2] = M[X] + 2 = = 3. Per il calcolo della varianza di X + 2 invece non possiamo procedere in modo analogo (la varianza di una somma non è, in generale, la somma delle varianze), tuttavia osserviamo che le proprietà della media consentono di dimostrare le seguenti uguaglianze Var[(X + 2)] = M[(X + 2) 2 ] (M[X + 2]) 2 = M[X 2 + 4X + 4] (M[X] + 2) 2 = M[X 2 ] + 4M[X] + 4 (M[X]) 2 4M[X] 4 = M[X 2 ] (M[X]) 2 = Var[X], quindi Var[X + 2] = Var[X] = 8 9. Per il calcolo di M[X 2 ] possiamo usare la formula: Var[X] = M[X 2 ] (M[X]) 2 = M[X 2 ] = Var[X] + (M[X]) 2 = ( 4 3 )2 = 8 3. Per il calcolo della varianza di X 2 non c è scampo e ci tocca eseguire tutte le somme; infatti Var[X 2 ] = M[(X 2 ) 2 ] (M[X 2 ]) 2 = M[X 4 ] (M[X 2 ]) 2

12 e quindi abbiamo bisogno di conoscere M[X 4 ]. Si ha: 4 4 ( ) 4 M[X 4 ] = n 4 p(x = n) = n 4 (/3) n (2/3) 4 n n n= n= ( ) ( ) 4 4 = 4 (/3) (2/3) (/3) (2/3) ( ) ( ) (/3) 3 (2/3) (/3) 4 (2/3) ( ) 4 (/3) 2 (2/3) = (2/3) (/3)(2/3) (/3) 2 (2/3) (/3) 3 (2/3) (/3) 4 = = 44 27, quindi Var[X 2 ] = M[X 4 ] (M[X 2 ]) 2 = ( 8 3 )2 = (9) Per poter calcolare la media di X è necessario anzitutto conoscere con quale probabilità X assuma i propri valori. Dato che si conosce la distribuzione congiunta di X ed Y, la probabilità di X è data dalla distribuzione marginale: quindi, ad esempio, p(x = ) = p(x =, Y = 2) + p(x =, Y = 4) + p(x =, Y = 6) + p(x =, Y = 8) = /2 + /2 + /24 + /4 = /24. Di fatto si tratta della somma dei dati che nella tabella compaiono nella prima riga. La probabilità di X può essere quindi rapidamente ottenuta come somma sulle righe, ed analogamente quella di Y è ottenuta come somma sulle colonne: X\Y Marginale X /2 /2 /24 /4 /24 2 /4 /2 /2 5/2 3 /2 /24 /8 Marginale Y 5/2 /6 /2 /3 Possiamo ora calcolare il valor medio di X: M[X] = a p(x = a) = p(x = ) + 2 p(x = 2) + 3 p(x = 3) a valore di X = = 5 3. Analogamente M[Y ] = b p(y = b) = 2 p(y = 2) + 4 p(y = 4) + 6 p(y = 6) + 8 p(y = 8) b valore di Y = = 4 3. Possiamo ora calcolare la covarianza di X ed Y : Cov[X, Y ] = (a M[X])(b M[Y ]) p(x = a, Y = b) (a,b) Ω = ( 5 3 )(2 4 3 )p(x =, Y = 2) + ( 5 3 )(4 4 3 )p(x =, Y = 4) + ( 5 3 )(6 4 3 )p(x =, Y = 6) + ( 5 3 )(8 4 3 )p(x =, Y = 8) + (2 5 3 )(2 4 3 )p(x =, Y = 2) + (2 5 3 )(4 4 3 )p(x =, Y = 4) + (2 5 3 )(6 4 3 )p(x =, Y = 6) + (2 5 3 )(8 4 3 )p(x =, Y = 8) + (3 5 3 )(2 4 3 )p(x =, Y = 2) + (3 5 3 )(4 4 3 )p(x =, Y = 4) + (3 5 3 )(6 4 3 )p(x =, Y = 6) + (3 5 3 )(8 4 3 )p(x =, Y = 8) 2

13 Cov[X, Y ] = ( 5 3 )(2 4 3 ) 2 + ( 5 3 )(4 4 3 ) 2 + ( 5 3 )(6 4 3 ) 24 + ( 5 3 )(8 4 3 ) 4 + (2 5 3 )(2 4 3 ) 4 + (2 5 3 )(4 4 3 ) 2 + (2 5 3 )(6 4 3 ) + (2 5 3 )(8 4 3 ) 2 + (3 5 3 )(2 4 3 ) 2 + (3 5 3 )(4 4 3 ) + (3 5 3 )(6 4 3 ) 24 + (3 5 3 )(8 4 3 ) = 7 9. Dato che Cov[X, Y ], X ed Y non sono incorrelate, quindi non sono neanche indipendenti. () Procediamo come nell esercizio precedente. La probabilità di X può essere rapidamente ottenuta come somma sulle righe, ed analogamente quella di Y è data dalla somma sulle colonne della tabella contenente la distribuzione congiunta: X\Y Marginale X 2 /2 /2 /24 /24 /4 3 /6 /6 /2 /2 /2 4 /2 /2 /24 /24 /4 Marginale Y /3 /3 /6 /6 Possiamo ora calcolare il valor medio di X: M[X] = a p(x = a) = 2 p(x = 2) + 3 p(x = 3) + 4 p(x = 4) a valore di X = = 3. Analogamente M[Y ] = b p(y = b) = 3 p(y = 3) + 5 p(y = 5) + 7 p(y = 7) + 9 p(y = 9) b valore di Y = = 6 3. Possiamo ora calcolare la covarianza di X ed Y : Cov[X, Y ] = (a M[X])(b M[Y ]) p(x = a, Y = b) (a,b) Ω = (2 3)(3 6 3 )p(x = 2, Y = 3) + (2 3)(5 6 3 )p(x = 2, Y = 5) + (2 3)(7 6 3 )p(x = 2, Y = 7) + (2 3)(9 6 3 )p(x = 2, Y = 9) + (3 3)(3 6 3 )p(x = 3, Y = 3) + (3 3)(5 6 3 )p(x = 3, Y = 5) + (3 3)(7 6 3 )p(x = 3, Y = 7) + (3 3)9 6 3 )p(x = 3, Y = 9) + (4 3)(3 6 3 )p(x = 4, Y = 3) + (4 3)(5 6 3 )p(x = 4, Y = 5) + (4 3)(7 6 3 )p(x = 4, Y = 7) + (4 5)(9 6 3 )p(x = 4, Y = 9) = (2 3)(3 6 3 ) 2 + (2 3)(5 6 3 ) 2 + (2 3)(7 6 3 ) 24 + (2 3)(9 6 3 ) 24 + (3 3)(3 6 3 ) 6 + (3 3)(5 6 3 ) 6 + (3 3)(7 6 3 ) 2 + (3 3)(9 6 3 ) 2 + (4 3)(3 6 3 ) 2 + (4 3)(5 6 3 ) 2 + (4 3)(7 6 3 ) 24 + (4 3)(9 6 3 ) 24 =. 3

14 Dato che Cov[X, Y ] =, X ed Y sono incorrelate. In realtà, le variabili sono addirittura indipendenti poiché è possibile verificare direttamente che la probabilità congiunta è sempre data come prodotto delle due probabilità marginali, ovvero che p(x = a, Y = b) = p(x = a) p(y = b) a, b. Ad esempio (ma la verifica va fatta per tutti i 2 casi!) p(x = 2, Y = 3) = /2 = /4 /3 = p(x = 2) p(y = 3). () Si tratta di un problema interessante ed istruttivo. La cosa più difficile è indubbiamente riuscire a matematizzare in modo corretto il problema. Anzitutto studiamo gli eventi. Tutto è regolato dal lancio di due dadi a 6 facce: vi sono quindi 6 6 = 36 eventi possibili corrispondenti a tutte le possibili coppie. I lanci sono tra loro indipendenti e quindi la probabilità di ciascuna coppia è pari al prodotto delle probabilità delle singole uscite: i dadi non sono truccati, quindi ogni faccia esce con probabilità pari a /6, ragion per cui la probabilità di ogni coppia è pari a /6 /6 = /36. Delle 36 coppie, solo 6 hanno per somma il numero 7, quindi i casi favorevoli alla vincita sono in tutto 6. Gli altri 3 invece producono una perdita. Ad ogni lancio di una coppia di dadi, quindi, si ha probabilità p = 6/36 = /6 di vincere e probabilità p = 3/36 = 5/6 di perdere. Sia S la variabile aleatoria che conta il numero totale di vincite (attenzione! S dà il numero di partite vinte, non la somma vinta) dopo aver eseguito le N = partite. Da considerazioni generali sappiamo che la variabile S è distribuita come una binomiale con parametri N = e p = /6 (ripetizione di N volte del medesimo singolo esperimento che ha probabilità p di riuscire. Le ripetizioni sono indipendenti ed S conta il numero totale di successi). La variabile aleatoria V che fornisce la somma vinta è collegata evidentemente alla variabile S. Il legame è il seguente: ogni vittoria fa guadagnare 2 Euro, ogni perdita fa spendere Euro, inoltre, se si vincono S partite, evidentemente se ne sono perse N S = S, quindi V = 2S (N S) = 3S N = 3S. Ciò che il testo chiede di calcolare per primo è la probabilità che V sia maggiore o uguale ad Euro, e quindi: p(v ) = p(3s ) = p(3s ) = p(s /3) = p(s 33. 6). Dato che S ha una distribuzione di tipo binomiale con parametri N = e p = /6, abbiamo che p(v ) = p(s 33. 6) = p(s = 34) + p(s = 35) + p(s = 36) + = = n=34 ( n ) (/6) n (5/6) n. n=34 p(s = n) Questa formula è corretta ma purtroppo non è certo di agevole calcolo: ci sono 67 addendi, ciascuno dei quali è prodotto di un numero enorme (il binomiale) moltiplicato per un numero molto piccolo (il prodotto delle probabilità). È quindi sicuramente una buona idea tentare un approccio approssimato. Osserviamo che M[S] = Np = /6 = 6. 6, Var[S] = Np( p) = /6 5/6 = 3. 8; entrambe i parametri della distribuzione sono ben maggiori di 5, per cui possiamo sicuramente utilizzare il Teorema del Limite Centrale (ed il suo corollario) e pensare ad S come ad una variabile distribuita come una Normale (cosa che però è falsa!): il valore ottenuto 4

15 sotto questa ipotesi differisce ben poco (meno di %) dal valore corretto. Abbiamo p(v ) = p(s 33. 6) = p( S M[S] ) Var[S] 3. 8 = p( S M[S] Var[S] 4.56) = Φ(4.56) < = 5 6 =.5%. (In questo calcolo Φ è la funzione di ripartizione di probabilità per la distribuzione Normale Standard ed il suo valore è stato ricavato dalle note tabelle). La seconda probabilità che si chiede di calcolare è la probabilità di perdere almeno 4 Euro, ovvero che V 4. Procedendo come prima, ed usando ancora il Teorema del limite Centrale, abbiamo: p(v 4) = p(3s 4) = p(3s 6) = p(s 2) = p( S M[S] ) Var[S] 3. 8 = p( S M[S] Var[S].89) = Φ(.89) = %. Come si vede, le probabilità di vincere qualcosa sono estremamente basse, mentre decisamente elevata è quella di perdere una bella cifretta! (2) Procedere come nell esercizio precedente. (3) Anzitutto occorre calcolare la probabilità con cui al lancio di un dado esce una delle facce diverse dalla. Nel testo si dice che la faccia ha probabilità /3, quindi resta una probabilità pari a /3 = 2/3 da spartirsi tra le altre facce. Dato che il testo afferma che esse sono equiprobabili, a ciascuna di esse compete un quinto della loro probabilità totale, e quindi le facce 2, 3, 4, 5, 6 hanno tutte probabilità pari a /5 2/3 = 2/5. L esperimento consiste però nel lancio indipendente di due dadi: le probabilità appena calcolate vanno quindi intese come probabilità marginali associate ad una probabilità congiunta ancora da calcolarsi, e che rappresentiamo nella solita forma a tabella: dado \ dado Marginale dado /3 2 2/5 3 2/5 4 2/5 5 2/5 6 2/5 Marginale dado 2 /3 2/5 2/5 2/5 2/5 2/5 Dato che i lanci sono indipendenti, la probabilità congiunta è data dal prodotto delle marginali, per cui la tabella si completa nel modo seguente dado \ dado Marginale dado /9 2/45 2/45 2/45 2/45 2/45 /3 2 2/45 4/225 4/225 4/225 4/225 4/225 2/5 3 2/45 4/225 4/225 4/225 4/225 4/225 2/5 4 2/45 4/225 4/225 4/225 4/225 4/225 2/5 5 2/45 4/225 4/225 4/225 4/225 4/225 2/5 6 2/45 4/225 4/225 4/225 4/225 4/225 2/5 Marginale dado 2 /3 2/5 2/5 2/5 2/5 2/5 La somma dei valori della coppia vale 7 solo per le seguenti coppie: (, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, ) 5

16 Quindi la probabilità cercata è p( a + b = 7 ) = p((, 6)) + p((2, 5)) + p((3, 4)) + p((4, 3)) + p((5, 2)) + p((6, )) = 2/45 + 4/ / / / /45 = 4/25. (4) Sia N =, il numero di lampadine vendute, e sia p = / la probabilità di ogni singola lampadina di essere guasta. Immaginiamo di fare effettivamente il controllo di tutto il lotto di lampadine e di indicare con X la variabile aleatoria che assume il valore se la prima lampadina è guasta, se la prima lampadina è non guasta. Analogamente con X 2 indica la variabile aleatoria che assume il valore se la seconda lampadina è guasta, se la seconda lampadina è non guasta, e così via: X n vale se la lampadina numero n è guasta, altrimenti. Quindi ogni X n assume due soli valori, e, ed ha probabilità pari a p di assumere il valore. In questo schema, il numero totale di lampadine guaste è rappresentato dalla somma S = N X n. n= Osserviamo che le X n sono N variabili aleatorie identiche (stessa distribuzione di probabilità) e tra loro indipendenti (il fatto che la lampadina numero 6 sia guasta o no non ha influenza sul fatto che lo sia o meno la lampadina numero 7). Dai principi generali sappiamo che S è una variabile aleatoria i cui valori sono distribuiti secondo una binomiale con parametri N e p, e che quindi la probabilità che cerchiamo è p(s > 5) = N n=6 ( ) N p n ( p) N n = n n=6 ( n ) (/) n (999/) n. La formula precedente, seppur corretta, è assolutamente intrattabile: contiene ben 9985 addendi, ( ciascuno dei quali è dato un prodotto tra un numero molto grande (il binomiale ) 5 ad esempio vale circa 2 e quindi è un intero con circa 2 cifre in rappresentazione decimale) ed uno invece molto piccolo (il prodotto della probabilità). Per poter eseguire effettivamente il calcolo avremmo dunque bisogno di poter rappresentare circa numeri e ciascuno con almeno 2 cifre decimali esatte (in realtà ne servono molte di più). Evidentemente occorre escogitare qualcosa di meglio. Osserviamo che M[S] = Np = / =, Var[S] = Np( p) = / 999/ = 999/, e che quindi entrambi questi parametri sono ben maggiori di 5. Come abbiamo osservato precedentemente la variabile S è somma di variabili aleatorie identicamente distribuite ed indipendenti; possiamo quindi applicare il Teorema del Limite Centrale (o meglio, un suo corollario) che mostra che quando i parametri M[S] e Var[S] sono maggiori di 5, il calcolo può essere condotto come se S fosse distribuita come una normale: l errore che così si commette (inevitabile dato che in realtà S è distribuito come una binomiale) è sicuramente inferiore a.%. Supponendo dunque S distribuito come una normale, abbiamo p(s > 5) = p( S M[S] Var[S] > 5 999/ ) = p( S M[S] Var[S] >.582) = Φ(.58) = %. 6

17 (5) Si procede come nell esercizio precedente, solo che ora si deve calcolare p(s 2) e p(s 4). Usando ancora il Teorema del Limite Centrale abbiamo: p(s 2) = p( S M[S] Var[S] Analogamente 2 999/ ) = p( S M[S] Var[S] 3.63) = Φ(3.63) =.9992.%. p(s > 4) = p( S M[S] Var[S] 4 999/ ) = p( S M[S] Var[S] 9.49) = Φ(9.49) < Già nel primo caso, quindi, ma a maggior ragione nel secondo, ci troviamo con un dilemma: l evento che si è prodotto, più di 2 lampadine guaste, è estremamente improbabile, quindi o crediamo al venditore, ma allora dobbiamo pensare di essere stati estremamente sfortunati, o non crediamo più al venditore (egli dichiara che la probabilità di essere guasta per ogni lampadina è /, ma forse l evento è molto più probabile...) (6) Sia N =, il numero di test eseguiti, e sia p = / la probabilità che ogni singolo test fornisca un dato errato. Immaginiamo di fare effettivamente tutti gli N test ed indichiamo con X n la variabile aleatoria che assume il valore se il test numero n ha fornito il risultato scorretto, se invece ha dato il risultato corretto: tutto ciò ovviamente per n =, 2, 3,, N. In questo schema, il numero totale di test errati è rappresentato dalla variabile aleatoria N S = X n. n= Osserviamo che le X n sono N variabili aleatorie identiche (stessa distribuzione di probabilità) e tra loro indipendenti (il fatto che il test numero 6 fornisca la risposta errata non ha influenza sul fatto che lo stesso accada o meno per il test numero 7). Dai princìpi generali sappiamo che S è una variabile aleatoria i cui valori sono distribuiti secondo una binomiale con parametri N e p e che quindi la probabilità che cerchiamo è N p(s 8) = n=8 ( N n ) p n ( p) N n = n=8 ( n ) (/) n (99/) n. La formula precedente, seppur corretta, è assolutamente ineseguibile (anche su un PC): evidentemente occorre escogitare qualcosa di meglio. Osserviamo che M[S] = Np = / =, Var[S] = Np( p) = / 99/ = 9.9, e che quindi entrambi questi parametri sono ben maggiori di 5. Come abbiamo osservato precedentemente la variabile S è somma di variabili aleatorie identicamente distribuite ed indipendenti; possiamo quindi applicare il Teorema del Limite Centrale (o meglio, un suo corollario) che mostra che quando i parametri M[S] e Var[S] sono maggiori di 5, il calcolo può essere condotto come se S fosse distribuita come una normale: l errore che così si commette (inevitabile dato che in realtà S è distribuito come una binomiale) è sicuramente inferiore a %. Supponendo dunque S distribuito come una normale, abbiamo p(s 8) = p( S M[S] 8 ) Var[S] 9.9 = p( S M[S] Var[S].63) = Φ(.63) = %. 7

18 (7) Indichiamo con + il fatto che il test abbia dato esito positivo e con il fatto che il test abbia dato esito negativo. Indichiamo poi con m il fatto che il paziente sia malato, e con s il fatto che non lo sia. Lo spazio campionario da considerare è quindi bidimensionale: Test \ Salute m s + - Il testo fornisce quindi i seguenti dati: p(m) = / (probabilità di essere malato pari ad /), p(+ m) = 99/ (probabilità che su un paziente malato il test risulti positivo) ed infine p(+ s) = 5/ (probabilità che su un paziente sano il test risulti positivo). Conoscere p(m) significa conoscere una delle probabilità marginali: Test \ Salute m s Marginale Test + - Marginale Salute. Il fatto che le marginali siano delle particolari distribuzioni di probabilità dice subito che p(s) = p(m) =.9. Aggiungiamo questo dato alla tabella Test \ Salute m s Marginale Test + - Marginale Salute..9 Ora utilizziamo le informazioni sulle probabilità condizionate: dal fatto che p(+ m) = 99/ e dalla definizione di probabilità condizionata segue che p((+, m)) = p(+ m) p(m) = 99/ / = 99/. Dal fatto che p(+ s) = 5/ ricaviamo che p((+, s)) = p(+ s) p(s) = 5/.9 = 45/. Aggiungiamo anche questi dati alla tabella Test \ Salute m s Marginale Test + 99/ 45/ - Marginale Salute..9 Guardando la tabella precedente, si vede come in ogni colonna manchi un solo dato; tuttavia i dati di ogni colonna devono fornire la probabilità marginale riportata nella riga inferiore, quindi possiamo ricavare p((, m)) = p(m) p((+, m)) =. 99/ = /, ed analogamente p((, s)) = p(s) p((+, s)).9 45/ = 855/. Riportiamo anche questi dati nella tabella Test \ Salute m s Marginale Test + 99/ 45/ - / 855/ Marginale Salute..9 Ora possiamo anche calcolare le altre probabilità marginali, come somma sulle righe: 8

19 Test \ Salute m s Marginale Test + 99/ 45/ 44/ - / 855/ 856/ Marginale Salute..9 Possiamo ora rispondere alle domande poste a) Si chiede di calcolare la probabilità di una diagnosi corretta, ovvero che il test risulti positivo su un paziente effettivamente malato oppure che il test risulti negativo su un paziente effettivamente sano. In formule si tratta di calcolare p((+, m)) + p((, s)) = 99/ + 855/ = 954/ 95.4%. b) Si chiede di calcolare la probabilità che, dato un test negativo, il paziente sia di fatto malato. In formule si tratta di calcolare la probabilità condizionata p(m ). Dalla sua definizione segue p(m ) = p((, m)) p( ) = / 856/ =. =.%. 856 (8) Perché la funzione possa essere pensata come densità di probabilità è necessario che π/2 (α sin(x) sin(2x)) dx =. Calcolando l integrale si ottiene una semplice equazione per α la cui soluzione è α = 2. Si osservi che però l esercizio non è finito qui: dobbiamo controllare che quando α = 2 i valori della funzione sono non negativi per ogni x [, π/2]. Questo è vero, ma sapreste dimostrarlo? Come? (9) L esercizio chiede di calcolare p(b A). Visti i dati forniti, è abbastanza chiaro che prima o poi si dovrà usare la formula di Bayes. Per maggiore chiarezza conviene ricostruire la formula man mano che si eseguono i calcoli. Osserviamo che p(b A) = p(b A) = p(b A) p(a) = p(b A) p(a B) + p(a B c ). La prima di queste relazioni è la definizione di probabilità condizionata, la seconda deriva dal fatto che B, B c è una partizione dello spazio campionario. Sempre dalla definizione di probabilità condizionata abbiamo che p(a B) = p(a B)p(B), p(a B c ) = p(a B c )p(b c ), quindi p(a B)p(B) p(b A) = p(a B)p(B) + p(a B c )p(b c ). (La formula appena scritta è proprio la formula di Bayes). Per calcolare p(b c ) e p(a B c ), osserviamo che valgono le relazioni seguenti: p(b) + p(b c ) =, p(a B c ) + p(a c B c ) =, la cui validità deriva dal fatto che p( ) e p( B c ) sono delle probabilità sullo spazio campionario Ω. Di conseguenza si ha: p(a B)p(B) p(a B)p(B) + ( p(a c B c ))( p(b c )) = (.95)(.5) = 2. Come si vede il risultato è abbastanza sbalorditivo: la probabilità che il componente sia difettoso veramente, posto che lo strumento lo segnali come tale, è solo 5%! Significa che lo strumento non è poi così eccezionale come sembrava dalle alte probabilità date nel testo per p(a B) (probabilità che lo strumento segnali effettivamente un componente difettoso) e per p(a c B c ) (probabilità che lo strumento non segnali come difettoso un campione che non lo è). 9

20 (2) Si tratta di un esercizio il cui impianto logico è già stato discusso (ad esempio negli esercizi 4 e 5). In sostanza, per ogni n =, 2, 3,, 4 sia X n la variabile aleatoria il cui valore è se la pagina numero n presenta qualche errore, altrimenti vale. I valori di X n sono quindi solo e, e la probabilità p(x n = ) è pari a.2, stando a quanto è detto nel testo. Evidentemente possiamo pensare alle variabili X n come a variabili indipendenti (la presenza di errori in una data pagina non influenza la presenza di errori in una pagina diversa). Questo sarà particolarmente utile in seguito. Sia S := 4 n= X n. Questa variabile aleatoria conta il numero totale di pagine che contengono qualche errore. Sotto le ipotesi precedenti sappiamo che S è distribuita come una binomiale con parametri N = 4 e p =.2. Ciò che il testo chiede è il numero p(s 7). Quindi: 7 7 ( ) N 7 ( ) 4 p(s 7) = p(s = n) = p n ( p) N n = (.2) n (.8) 4 n. n n n= n= Purtroppo questa formula non è di agevole calcolo; cerchiamo quindi di calcolarne il valore in modo approssimato. Osserviamo che M[S] = N p = 4.2 = 8, Var[S] = N p ( p) = = 64. Entrambi i parametri sono evidentemente maggiori di 5. Per il Teorema del Limite Centrale (ed il suo corollario) sappiamo che sotto queste condizioni possiamo trattare S come se fosse distribuito come una normale (cosa che evidentemente non è visto che è una binomiale), sapendo che così facendo introduciamo un errore che è inferiore a % nella probabilità. Grazie a questa osservazione abbiamo p(s 7) = p( S M[S] 7 8 ) Var[S] 64 n= = p( S M[S] Var[S].25) = Φ(.25) = %. (2) Dato che si lanciano in modo indipendente due dadi di 4 facce ciascuno, è sicuramente conveniente pensare ad uno spazio campionario Ω composto dalle 4 4 = 6 possibili combinazioni: X\Y Dato che i dadi sono assunti non truccati (altrimenti si direbbe in che cosa consiste il trucco), le facce sono equiprobabili, quindi le marginali sono X\Y Marginale X /4 2 /4 3 /4 4 /4 Marginale Y /4 /4 /4 /4 e visto che i lanci sono indipendenti, le probabilità congiunte sono date dal prodotto delle rispettive marginali, ovvero 2

21 X\Y Marginale X /6 /6 /6 /6 /4 2 /6 /6 /6 /6 /4 3 /6 /6 /6 /6 /4 4 /6 /6 /6 /6 /4 Marginale Y /4 /4 /4 /4 Siamo ora in grado di individuare lo spazio campionario per la coppia di variabili U, V. Evidentemente U assume i valori, 2, 3, 4, mentre V assume i valori,, 2, 3, quindi lo spazio campionario per questa coppia è Ω dato dalla seguente tabella: U\V Per ciascuno degli eventi della coppia (X, Y ) rintracciamo il corrispondente evento (U, V ): (X =, Y = ) = (U =, V = ), (X = 3, Y = ) = (U =, V = 2), (X =, Y = 2) = (U =, V = ), (X = 3, Y = 2) = (U = 2, V = ), (X =, Y = 3) = (U =, V = 2), (X = 3, Y = 3) = (U = 3, V = ), (X =, Y = 4) = (U =, V = 3), (X = 3, Y = 4) = (U = 3, V = ), (X = 2, Y = ) = (U =, V = ), (X = 4, Y = ) = (U =, V = 3), (X = 2, Y = 2) = (U = 2, V = ), (X = 4, Y = 2) = (U = 2, V = 2), (X = 2, Y = 3) = (U = 2, V = ), (X = 4, Y = 3) = (U = 3, V = ), (X = 2, Y = 4) = (U = 2, V = 2), (X = 4, Y = 4) = (U = 4, V = ). Per ottenere la probabilità nella tabella (U, V ) occorre quindi sommare sulle probabilità di tutti gli eventi corrispondenti nella tabella (X, Y ). Ad esempio l evento (U =, V = 2) è prodotto sia da (X =, Y = 3) che da (X = 3, Y = ), quindi p(u =, V = 2) = p(x =, Y = 3) + p(x = 3, Y = ) = /6 + /6 = /8. Procedendo in questo modo si ottiene U\V 2 3 /6 /8 /8 /8 2 /6 /8 /8 3 /6 /8 4 /6 Per poter stabilire se U, V sono non correlate occorre anzitutto calcolare le marginali di U e V e poi utilizzare queste distribuzioni per ottenere M[U] e M[V ]. Abbiamo U\V 2 3 Marginale U /6 /8 /8 /8 7/6 2 /6 /8 /8 5/6 3 /6 /8 3/6 4 /6 /6 Marginale V /4 3/8 /4 /8 2

22 e quindi M[U] = M[V ] = u valore di U v valore di V u p(u = u) = 7/ / /6 + 4 /6 = 5/8, v p(v = v) = /4 + 3/8 + 2 /4 + 3 /8 = 5/4. Ora possiamo calcolare la covarianza di U e V. Cov(U, V ) = (u M[U])(v M[V ]) p(u = u, V = v) =... = 5/32. u valore di U v valore di V Dato che Cov(U, V ), le variabili sono correlate. (22) Lo schema è quello ormai ben noto (esercizi 4,5,2), ma con una piccola variazione interessante. Sia p =.2 la probabilità di ogni seme di essere sterile. Sia S il numero totale di semi sterili in un campione di N = 5 semi. Quello che si vuole calcolare è p(s > ). Osserviamo che S è distribuito come una binomiale con parametri N, p, e quindi possiamo scrivere 5 p(s > ) = p(s = n) = n=2 5 n=2 ( ) N p n ( p) N n = n 5 n=2 ( ) 5 (.2) n (.8) 5 n. n Questa somma è troppo complessa per poter essere eseguita effettivamente. Fortunatamente però non ce ne è alcun bisogno! Infatti possiamo osservare che p(s > ) + p(s ) = poiché gli eventi S > ed S sono complementari, e quindi p(s > ) = p( ) = p(s = ) p(s = ) ( ) ( ) 5 5 = (.2) (.8) 5 (.2) (.8) 5 = (.8) (.8) = 99.98%. (23) Dire che la moneta equilibrata significa dire che Testa e Croce sono equiprobabili e che quindi hanno entrambi probabilità /2. Ciò che si chiede di calcolare è la probabilità della sequenza CCCT. Siccome i lanci sono tra loro indipendenti la probabilità congiunta è data dal prodotto delle probabilità marginali e quindi p(ccct ) = p(lancio =C, lancio 2=C, lancio 3=C, lancio 4=T) = p(lancio =C) p(lancio 2=C) p(lancio 3=C) p(lancio 4=T) = /2 /2 /2 /2 = /6. (24) Alla prima estrazione c è ua probabilità pari a 4/6 di estrarre una palla bianca, ovvero p(prima = bianca) = 4/6. Posto che alla prima estrazione si sia estratta una pallina bianca, alla seconda estrazione sono rimaste 3 palline bianche su un totale di 5, quindi p(seconda=bianca prima = bianca) = 3/5. Ciò che si chiede di calcolare è p(seconda=bianca, prima = bianca) che dalla definizione di probabilità condizionata risulta essere uguale a: p(seconda=bianca, prima=bianca) = p(seconda=bianca prima=bianca) p(prima=bianca) = 3/5 4/6 = 2/5. 22

23 (25) Osserviamo che X 2 assume solo i valori,. Lo spazio campionario per la coppia X, X 2 è quindi il seguente: X\X 2 - Il testo dice che i valori di X sono equiprobabili quindi a ciascuno di essi compete probabilità /3, che nella tabella precedente compaiono come marginali di X: X\X 2 Marginale X - /3 /3 /3 Dato che X = = X 2 =, X = = X 2 =, X = = X 2 =, quindi nella tabella compaiono sicuramente i seguenti zeri: X\X 2 Marginale X - /3 /3 /3 Le altre caselle rimaste incognite possono essere determinate dal fatto che le marginali su X sono le somme sulle righe: X\X 2 Marginale X - /3 /3 /3 /3 /3 /3 Possiamo quindi calcolare le probabilità su X 2 : X\X 2 Marginale X - /3 /3 /3 /3 /3 /3 Marginale X 2 /3 2/3 Le probabilità di X condizionate da X 2 = sono quindi: p(x = X 2 = ) = p(x =, X 2 = )/p(x 2 = ) = /3 2/3 = 2, p(x = X 2 = ) = p(x =, X 2 = )/p(x 2 = ) =, p(x = X 2 = ) = p(x =, X 2 = )/p(x 2 = ) = /3 2/3 = 2. 23