Le variabili casuali discrete

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1 Piano Lauree Scientifiche in Statistica AA 27/8 Azione C: Formazione Insegnanti Le variabili casuali discrete Giovanni De Luca Sommario o Definizione e caratteristiche delle variabili casuali discrete o La variabile casuale di Bernoulli o La variabile casuale binomiale o La variabile casuale di Poisson PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti

2 Le variabili casuali (o aleatorie) Una variabile casuale (in breve VC) X è una funzione che associa ad ogni evento elementare w i di una prova un unico numero reale. w w2 w3 w4 w5 w6 x x2 x3 x4 x5 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 2 Le VC si suddividono in:. VC discrete 2. VC continue PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 3 2

3 Le VC discrete Una VC discreta può assumere un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali. Es : X = risultato del lancio di un dado. X = {, 2, 3, 4, 5, 6} è insieme finito Es. 2: X = numero di penne difettose in una confezione di 4. X = {,, 2, 3, 4} è insieme finito Es 3: X = numero di guasti di un ascensore in un anno. X = {,, 2, 3, 4, } è insieme numerabile PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 4 In classe è Stimolare esempi di variabili casuali con un insieme finito di numeri reali e variabili casuali con un insieme numerabile di numeri reali. PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 5 3

4 Per una VC discreta si definisce la funzione di probabilità (in breve fp) che associa ad ogni valore x i della VC una probabilità P(x i ). La fp ha due proprietà:. P(x i ) 2. S i P(x i ) = PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 6 VC: risultato del lancio di un dado Funzione di probabilità x P(x) /6 2 /6 3 /6 4 /6 5 /6 6 /6 Totale PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 7 4

5 VC: risultato del lancio di un dado Funzione di probabilità (rappresentazione grafica),2,8,6,4,2,,8,6,4, PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 8 Per una VC discreta si definisce la funzione di ripartizione (o di distribuzione) che associa ad ogni valore x i la probabilità cumulata F(x i ) = P(X x i ) PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 9 5

6 VC: risultato del lancio di un dado Funzione di ripartizione x F(x) /6 2 2/6 3 3/6 4 4/6 5 5/6 6 Totale PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti VC: risultato del lancio di un dado Funzione di ripartizione (rappresentazione grafica),8,6,4, PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 6

7 VC: risultato del lancio di un dado Funzione di ripartizione (rappresentazione grafica) La funzione di ripartizione è innanzitutto definita per i valori della VC (, 2, 3, 4, 5, 6). Es: F(4) = P(X 4) = 4/6,8,6,4, PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 2 VC: risultato del lancio di un dado Funzione di ripartizione (rappresentazione grafica) La funzione di ripartizione è anche definita per valori reali diversi da quelli della VC. Es: F(4,2) = P(X 4,2) = P(X 4) = 4/6,8,6,4, PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 3 7

8 VC: risultato del lancio di un dado Funzione di ripartizione (rappresentazione grafica) La funzione di ripartizione è quindi definita anche per valori maggiori del massimo (in questo caso 6). Es: F(8) = P(X 8) =,8,6,4, PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 4 VC: risultato del lancio di un dado Funzione di ripartizione (rappresentazione grafica) La funzione di ripartizione è quindi definita anche per valori minori del minimo (in questo caso ). Es: F(,5) = P(X,5) =,8,6,4, PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 5 8

9 Proprietà della funzione di ripartizione. F(x) è non decrescente, ovvero x > x 2 F(x ) F(x 2 ) lim x - 2. F(x) = lim x + 3. F(x) = 4. F(x) è continua a destra, ovvero lim + F(x) = F(x ) x x PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 6 In classe è Data la funzione di probabilità di una VC che rappresenta il numero di penne difettose in una confezione di 4, rappresentare graficamente la fp e la funzione di ripartizione. x P(x),6,5 2, 3,4 4, Totale PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 7 9

10 Valore atteso Il valore atteso (anche detto valore medio, o speranza matematica) di una VC discreta X, indicato con E(X), è dato da E ( X ) = å xip( x i ) i E = expectation PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 8 VC: risultato del lancio di un dado x P(x) xp(x) /6 /6 2 /6 2/6 3 /6 3/6 4 /6 4/6 5 /6 5/6 6 /6 6/6 Totale 2/6 2 E( X ) = = 3,5 6 Interpretazione: se lanciassimo un dado infinite volte e calcolassimo la media di tutti i risultati, questa risulterebbe essere 3,5. PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 9

11 In classe è Data la funzione di probabilità di una VC che rappresenta il numero di penne difettose in una confezione di 4, calcolare e interpretare il valore atteso E(X). x P(x),6,5 2, 3,4 4, Totale PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 2 Gioco equo Un gioco viene detto equo se il risultante valore atteso è pari a. PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 2

12 In classe èstimolare l utilizzo del valore atteso per giudicare scommesse, contratti, ecc. èes.: lancio del dado. È corretto accettare di scommettere euro sull uscita della faccia 6 per vincerne,2 nel caso in cui la faccia esca? È corretto accettare di scommettere euro sull uscita della faccia 6 per vincerne 5 nel caso in cui la faccia esca? È corretto accettare di scommettere euro sull uscita della faccia 6 per vincerne 4 nel caso in cui la faccia esca? PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 22 In classe èstimolare l utilizzo del valore atteso per giudicare scommesse, contratti, ecc. èes.: devo proporre una scommessa, basata sull uscita del risultato dal lancio di due dadi. Quale somma devo proporre in premio a fronte di una scommessa di euro affinché il gioco risulti equo? PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 23 2

13 La variabile casuale di Bernoulli La VC di Bernoulli, in simboli X ~ Ber(p) è una VC che assume il valore (in caso di successo, evento di interesse) con prob p e il valore (insuccesso) con prob -p. X ì con prob -p ï = í ï con prob p î PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 24 Tutte le prove che producono due soli possibili risultati generano VC di Benoulli. Es : lancio di una moneta, T =, C =. In questo caso p è noto (p =,5) Es 2: la presenza di una caratteristica P =, A = (p =?) In questo caso p non è noto (p =?) PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 25 3

14 In classe èrichiedere qualche esempio di prova che produce due soli risultati con p noto. PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 26 La sua fp è P x - x ( x) = p ( -p ) Infatti: per x =, si ha per x =, si ha - P() = p ( -p ) = -p - P() = p ( -p ) = p PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 27 4

15 Il valore atteso di una VC di Bernoulli è dato da E(X) = p Infatti: E ( X ) = å xip( x i ) i = ( -p ) + p = p PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 28 La variabile casuale Binomiale La VC Binomiale, in simboli X ~ Bin(p, n) è una VC che descrive il numero di successi in n prove indipendenti. Numero di successi: numero di volte in cui si verifica l evento di interesse. Il numero di successi è X = {,, 2,, n} ovvero varia da a n (numeri interi). Il parametro p è la probabilità di successo in una singola prova. La VC binomiale è la somma di n VC di Bernoulli indipendenti. PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 29 5

16 Esempio Si considerano 3 prove (3 rilevamenti di velocità), n=3. La VC X = numero di eccessi di velocità può assumere valori da a 3. X = {,, 2, 3} La prob che si rilevi un eccesso di velocità (Ecc) in un rilevamento è,3 (p =,3). P(Ecc) = p =,3 P(NEcc) = - p =,7 X ~ Bin(,3, 3) PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 3 Calcoliamo la funzione di probabilità x P(x) 2 3 Totale PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 3 6

17 P() =? P() = P( NEcc NEcc NEcc ) Intersezione di 3 eventi indipendenti P() = P(NEcc) P(NEcc) P(NEcc) = (-p)(-p)(-p) = (-p) 3 =,7 3 =,343 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 32 Calcoliamo la funzione di probabilità x P(x), Totale PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 33 7

18 P() =? P() = P[ ( Ecc NEcc NEcc ) ( NEcc Ecc NEcc ) ( NEcc NEcc Ecc ) ] Unione di 3 eventi incompatibili = somma delle prob P() = P( Ecc NEcc NEcc ) + P( NEcc Ecc NEcc ) + P( NEcc NEcc Ecc) = P(Ecc) P(NEcc) P(NEcc) + P(NEcc) P(Ecc) P(NEcc) + P(NEcc) P(NEcc) P(Ecc) = p(-p)(-p) + (-p)p(-p) + (-p)(-p)p = 3[p(-p) 2 ] = 3,3,7 2 =,44 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 34 Calcoliamo la funzione di probabilità x P(x),343, Totale PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 35 8

19 P(2) =? P(2) = P[ ( Ecc Ecc NEcc ) ( Ecc NEcc Ecc ) ( NEcc Ecc Ecc ) ] Unione di 3 eventi incompatibili = somma delle prob P(2) = P( Ecc Ecc NEcc ) + P( Ecc NEcc Ecc ) + P( NEcc Ecc Ecc) = P(Ecc) P(Ecc) P(NEcc) + P(Ecc) P(NEcc) P(Ecc) + P(NEcc) P(Ecc) P(Ecc) = pp(-p) + p(-p)p + (-p)pp = 3[p 2 (-p)] = 3,3 2,7 =,89 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 36 Calcoliamo la funzione di probabilità x P(x),343,44 2,89 3 Totale PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 37 9

20 P(3) =? P(3) = P( Ecc Ecc Ecc ) = P(Ecc) P(Ecc) P(Ecc) = p p p = p 3 =,3 3 =,27 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 38 Calcoliamo la funzione di probabilità x P(x),343,44 2,89 3,27 Totale PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 39 2

21 In generale, la fp di una VC Binomiale è In questa formula, ænö P( x) ç p è xø x n-x = p ( - ) ænö n! ç = è xø x!( n - x)! è il coefficiente binomiale. n! = n (n-) (n-2) 2 è il fattoriale di n. Per convenzione,! =. PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 4 Il coefficiente binomiale è il numero delle combinazioni di n elementi in classe x : quanti gruppi di x elementi possono formarsi in modo che due gruppi differiscano per almeno un elemento. n = 3 (A, B, C) x = 2 {A, B}, {A, C}, {B, C} æ3ö 3! ç = = 3 è2ø 2!(3-2)! PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 4 2

22 Esempio precedente X ~ Bin(,3, 3) æ3ö P() = ç,3 ( -,3) èø 3! =,3,7!(3 - )! 3 2 =,3,7 3 2 =,7 3 =, PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 42 æ3ö P() = ç,3 ( -,3) èø 3! =,3,7!(3 -)! 3 2 =,3,7 2 = 3,3,7 2 = 2 3-2,44 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 43 22

23 æ3ö 2 P(2) = ç,3 ( -,3) è2ø 3! 2 =,3,7 2!(3-2)! =,3,7 2 = 3, ,7 =,89 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 44 æ3ö 3 P(3) = ç,3 ( -,3) è3ø 3! 3 =,3,7 3!(3-3)! =,3,7 3 2 =,3 3 =, PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 45 23

24 Rappresentazione grafica della fp di VC binomiali con n = 8,4,3,2, ,3,25,2,5,, ,4,3,2, n = 8, p =,25 n = 8, p =,5 (simmetrica) n = 8, p =,75 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 46 Rappresentazione grafica della fp di VC binomiali con p =,25,4,3,2, ,2,,8,6,4, n = 8, p =,25 n = 8, p =,25 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 47 24

25 E ( X ) = å xip( x i ) =,9 i Valore atteso x P(x) xp(x),343,44,44 2,89,378 3,27,8 Totale,9 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 48 Si può dimostrare che il valore atteso di una VC binomiale è dato da E(X) = np Nell esempio E(X) = 3,3 =,9 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 49 25

26 Esempio Una scatola contiene 5 pezzi. La prob che un pezzo sia difettoso è pari a,7.. Qual è la prob che nella scatola non ci siano pezzi difettosi? 2. Qual è la prob che nella scatola ci siano 2 pezzi difettosi? 3. Qual è la prob che nella scatola ci sia almeno pezzo difettoso? PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 5 Dati del problema n = 5 p =,7 X = numero di pezzi difettosi in una scatola di 5 pezzi X ~ Bin(,7, 5) PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 5 26

27 . Qual è la prob che nella scatola non ci siano pezzi difettosi? æ5ö 5- P() = ç,7 ( -,7) èø 5! =,7,83!(5 - )! =,7, =,83 5 =, PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti Qual è la prob che nella scatola ci siano 2 pezzi difettosi? æ5ö 2 P(2) = ç,7 ( -,7) è2ø 5! 2 =,7,83 2!(5-2)! =, =,7 2, ,83 3 =,65 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 53 27

28 3. Qual è la prob che nella scatola ci siano almeno pezzo difettoso? P ( X ³ ) = P() + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) P( X ³ ) = - P() P( X ³ ) = -,394 =,66 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 54 Esempio Un tizio affronta un test composto da 6 quesiti a risposta multipla (5 risposte). Si supera il test se si risponde correttamente ad almeno 4 quesiti.. Qual è la prob di superare il test rispondendo a caso? PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 55 28

29 Dati del problema n = 6 p =,2 X = numero di risposte esatte su 6 quesiti X ~ Bin(,2, 6) PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 56. Qual è la prob di superare il test rispondendo a caso? P ( X ³ 4) = P(4) + P(5) + P(6) æ6ö 4 2 P(4) = ç,2 ( -,2) =,54 è4ø æ6ö 5 P(5) = ç,2 ( -,2) =,5 è5ø æ6ö 6 P(6) = ç,2 ( -,2) =,64 è6ø P( X ³ 4) =,54 +,5 +,64 =,6964 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 57 29

30 La variabile casuale di Poisson La VC di Poisson, in simboli X ~ Po(l) è una VC che descrive il numero di successi in un determinato arco temporale. Il numero di successi è X = {,,2, } ovvero varia da a (numeri interi). PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 58 La fp di una VC di Poisson è e P( x) = e rappresenta la costante di Nepero (2,7828) l > è il numero atteso (medio) di successi nell arco di tempo specificato x! = x (x-) (x-2) -l x l x! PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 59 3

31 Esempio Quanti possono essere i clienti di una banca in una giornata? Evento di interesse (successo): numero di clienti di una banca in una giornata. I clienti possono essere,, 2, 3, La VC X = numero clienti di una banca in una giornata è una VC di Poisson. PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 6 Sapendo che il numero medio di clienti di una banca in una giornata è 5, qual è la probabilità. che ci siano 4 clienti (4 successi)? l = P(4) = e 4! P( 4) = 4,75 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 6 3

32 2. che ci siano 8 clienti (8 successi)? -5 5 P(8) = e 8! P( 8) = 8,65 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti che ci sia non più di (al massimo) cliente? P( X e 5 ) = P() + P() =! 5 e 5 +! -5 - P( X ) =,7 +,34 =,4 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 63 32

33 4. che ci siano più di 2 clienti? P( X > 2) = P(3) + P(4) +... P( X > 2) = - P() - P() - P(2) P( X > 2) = -,7 -,34 -,84 =,875 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 64 Rappresentazione grafica della fp di VC di Poisson,4,35,3,25,2,5,,5,2,5,,5,, ,4,8,6,4, ,3,25,2 l = l = 2,5,2 l = 5, l = PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 65 33

34 Si dimostra che il valore atteso di una VC di Poisson è dato da E(X ) = l PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 66 Esempio Ad un casello autostradale la media settimanale di guasti al Telepass è pari a 4,.. Qual è la prob che in una settimana non ci sia alcun guasto al Telepass? 2. Qual è la prob che in una settimana ci siano almeno due guasti del Telepass? PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 67 34

35 Dati del problema X = numero guasti in una settimana l = 4, X ~ Po(4,) PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 68. Qual è la prob che in una settimana non ci sia alcun guasto al Telepass? P() = e P( ) = -4, 4,!,7 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 69 35

36 2. Qual è la prob che in una settimana ci siano almeno due guasti del Telepass? P( X ³ 2) = - P() - P() e P() = 4,! -4, =,68 P( X ³ 2) = -,7 -,68 =,95 PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 7 In classe èvc binomiale o di Poisson? Con un problema da risolvere non è sempre agevole comprendere quale delle due VC utilizzare. èstimolare esempi di VC binomiali (il numero di successi va da fino ad un valore specifico, n). èstimolare esempi di VC di Poisson (il numero di successi parte da ma non ha un limite superiore). PLS in Statistica 27/8, Azione C: Formazione Insegnanti 7 36