Probabilità e Processi stocastici. Ingegneria Robotica e dell Automazione. Prova scritta del giorno 15/12/14

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1 Probabilità e Processi stocastici. Ingegneria Robotica e dell Automazione. Prova scritta del giorno 15/12/14 In ingegneria un sistema formato da n componenti è detto k su n se funziona quando almeno k tra gli n elementi sono efficienti. Consideriamo un sistema 2 su 4. a) Supponiamo che ogni elemento sia efficiente con probabilità 0,8 indipendentemente dagli altri: qual è la probabilità che il sistema funzioni? b) Supponiamo invece che gli elementi siano messi in serie, che il primo sia efficiente con probabilità 0,8 e che ogni elemento successivo sia efficiente con probabilità 0,8 se l elemento precedente è efficiente, altrimenti con probabilità 0,6 : qual è ora la probabilità che il sistema funzioni? (x 1) m e x x > 1 f(x) = C m. 0 x 1 dove m è un intero (relativo) e C m una opportuna costante. a) Dire per quali valori di m e di C m la funzione sopra scritta è una densità di probabilità. b) Considerata una v.a. X con la densità sopra scritta (per valori ammissibili di m e di C m ), esaminare se X ammette valore atteso ed in caso affermativo calcolarlo. c) Si può affermare che esistono tutti i momenti di ordine n? d) Sia Y = (X 2) 2 : dire se la v.a. Y ha densità ed in caso affermativo calcolarla. Sei sfere, delle quali 3 bianche e 3 rosse, sono distribuite a caso in due urne A e B (3 sfere per urna): ad ogni passo viene estratta una sfera da ciascuna urna e vengono scambiate. Fissiamo la nostra attenzione sull urna A e consideriamo nel tempo il numero di sfere bianche contenute in A. a) Modellizzare il problema come una catena di Markov, disegnarne il grafo e scrivere la matrice di transizione. b) Esaminare la struttura di questa catena di Markov (classi chiuse, probabilità invarianti, ecc...) 1

2 Prova scritta del giorno 12/01/15 Un tecnico riparatore di PC ha davanti a sé due scatole contenente ciascuna 12 Hard Disk; nella prima tuttavia vi sono 3 HD difettosi e nella seconda ve n è uno difettoso. a) Il tecnico prende 2 HD dalla prima scatola: indicando con X il numero di HD funzionanti che sono stati presi, calcolare E[X]. b) Supponiamo che il tecnico scelga a caso una scatola e da questa prenda 3 HD: se tutti e tre sono funzionanti, quale è la probabilità che abbia scelto la prima scatola? e x2 x 0 f(x) = c x 2 e x x < 0 a) Dire per quale valore della costante c la funzione sopra scritta è una densità di probabilità. b) Presa una v.a. X avente la densità sopra scritta, dire per quali valori di n (intero positivo) X ammette momento di ordine n e calcolare esplicitamente la speranza e la varianza della variabile X. Si consideri la catena di Markov con stati S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } associata /3 0 1/ /3 0 1/ /2 0 1/ /2 0 1/ /2 1/2 0 a) Dopo aver disegnato il grafo, classificato gli stati e determinato le classi chiuse irriducibili, determinare tutte le probabilità invarianti della catena. b) Dette C 1,..., C k le classi chiuse irriducibili, qual è la probabilità, partendo da un generico stato i, di finire in una di queste classi? 2

3 Prova scritta del giorno 28/01/15 Le centraline elettriche di quartiere in Italia sono prodotte da due ditte: se prodotte dalla ditta A nel corso di un anno si guastano con probabilità 0,12 e se prodotte dalla ditta B con probabilità 0,08. Inoltre il 45% delle centraline è prodotto dalla ditta A. A Pisa vi sono 12 centraline, tutte provenienti dalla stessa ditta, e nel corso dell ultimo anno se ne sono guastate due: è più probabile che le centraline presenti a Pisa siano state prodotte dalla ditta A oppure dalla ditta B? Consideriamo una v.a. X la cui densità è 0 x a f(x) = c/x a < x < b 0 x b dove 0 < a < b < + e c è una opportuna costante positiva. a) Determinare la costante c in modo che la funzione così scritta sia una densità; esaminare inoltre quali momenti possiede la variabile X. b) Calcolare i momenti primo e secondo di X. c) Per quali valori delle costanti a, b la v.a. Y = 1/X ha la stessa densità di X? Si consideri la catena di Markov con stati S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } associata 0 1/2 1/ /2 0 1/ /2 1/ /3 0 2/ /3 0 1/3 1/ /4 1/ /4 1/4 a) Dopo aver disegnato il grafo, classificare gli stati e determinare le classi chiuse irriducibili esaminando in particolare se sono regolari. Determinare inoltre tutte le probabilità invarianti della catena. 3

4 b) Qual è la probabilità, partendo da 4 al tempo 1, di trovarsi in 6 al tempo 4? b) Esaminare, per ogni stato i, se esiste lim n p (n) 4i, ed in caso affermativo calcolarlo. Prova scritta del giorno 17/02/15 Un urna contiene 5 palline numerate con i numeri 1, 2, 3, 4, 5. Essa viene svuotata estraendo una pallina per volta (senza rimpiazzo). Poniamo A i = la i esima pallina estratta porta un numero pari}, (i = 1, 2,... 5). Calcolare: a) P(A i ), per ogni i = 1, 2,..., 5 ; b) P(A 2 A 1 ), P(A 3 A 2 A 1 ). c) Posto X = numero della prima pallina pari estratta, calcolare la legge di probabilità di X e, se esiste, la sua speranza. e x x 0 f(x) = C. 1 x < 0 1+x 2 a) Dire per quali valori della costante C la funzione sopra scritta è una densità di probabilità. b) Presa una v.a. X con questa densità, calcolare (se esiste) E[X] e, più in generale, dire quali momenti ha la variabile aleatoria X. c) Dire se la v.a. Y = X 2 ha densità, ed in caso affermativo calcolarla. Si consideri la catena di Markov con stati S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 } associata 1/3 1/3 1/ / / /3 2/ /2 1/2 4

5 a) Dopo aver disegnato il grafo, classificato gli stati e determinato le classi chiuse irriducibili, determinare tutte le probabilità invarianti della catena. b) Dette C 1,..., C k le classi chiuse irriducibili, qual è la probabilità, partendo dallo stato 1, di finire in una di queste classi? c) Esaminare, per ogni stato i, se esiste lim n p (n) 1i ; e quando esiste calcolarlo. 5