. iii) Cosa si può dire di esatto (non approssimato) su P X 1

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1 Corsi di Probabilità, Statistica e Processi stocastici per Ing. dell Automazione, Informatica e Inf.Gest.Azienda 30/06/0 Esercizio. Dieci persone si iscrivono ad un torneo di tennis. Quattro di loro hanno più di 40 anni. i) Selezionando una coppia (non ordinata) a caso, che probabilità c è che sia fatta di due ultra-quarantenni? ii) Calcolare (rigorosamente) il numero medio di ultra-quarantenni in una coppia causale. Esercizio. Si consideri la funzione f (x) che vale Ce x per x 0 e 0 per x > 0. i) Stabilire per quali valori di e di C è una densità di probabilità. ii) Detta X una v.a. con tale densità, trovare una trasformazione Y = g (X) per cui Y sia una v.a. esponenziale di parametro. iii) Calcolare quindi la funzione generatrice ' X (t), usando il punto precedente (o altre strade se non si è risolto tale punto), sottolineando per quali valori di t essa è ben de nita. iv) Calcolare P (X ) >. Esercizio 3. Consideriamo la catena di Markov su E = f; ; 3; 4; 5; 6; 7g associata alla seguente matrice di transizione 0 P = 0 =4 =4 =4 = = = i) Calcolare la probabilità, partendo da, di essere in 7 dopo n passi. Converge per n!? ii) Classi care gli stati e trovare le classi irriducibili. iii) Determinare tutte le probabilità invarianti della catena. Cercare di usare ragionamenti il più possibile strutturali e non solo calcoli alla cieca. Esercizio 4. Siano X ; :::; X delle v.a. indipendenti, di media 0 e varianza. Si ponga X = X + ::: + X : C A

2 i) Calcolare V ar X (non dare ovviamente il risultato per buono nel caso lo si conosca). ii) Calcolare approssimativamente P X < 0:. iii) Cosa si può dire di esatto (non approssimato) su P X < 0:5?

3 Soluzioni Esercizio. i) Risolviamo ad es. col rapporto tra casi favorevoli e casi possibili. I casi possibili sono tutte le coppie non ordinate, ovvero 0. I casi favorevoli sono tutte le coppie non ordinate prese tra i 4 ultra-quarantenni, ovvero 4. In conclusione la probabilità richiesta vale = 4!!8!!!0! = = = 0:33 33: Un altro modo consiste nell estrarre due persone tra le 0; la probabilità richiesta è la probabilità che in entrambe le estrazioni esca un ultraquarantenne. La probabilità che la prima estrazione dia un ultra-quarantenne è 4. La seconda estrazione è indipedente, e per essa la probabilità che esca 0 un ultra-quarantenne è 3. Per l indipendenza, la probabilità complessiva è il 9 43 prodotto, = ii) La v.a. X, numero di ultra-quarantenni in una coppia causale, può assumere solo i valori 0,,. Il valore è assunto con probabilità. In 5 modo analogo, il valore 0 è assunto con probabilità 65 =. Quindi il valore 09 3 è assunto con probabilità. Il valor medio allora è = = 5 = 4 5 : Esercizio. i) Dev essere > 0 altrimenti la funzione e quindi l integrale diverge (a ). Poi Z 0 Ce x dx = C e x 0 = C per cui dev essere C =. ii) La v.a. X assume valori in ( ; 0], quindi X assume valori in [0; ). Consideriamo allora la funzione g (x) = x. e la v.a. Y = g (X). Vale P (Y > t) = P ( X > t) = P (X < t) Z t = e x dx = e ( t) = e t per cui Y è davvero esponenziale di parametro. 3

4 iii) Siccome Y = X, vale X = Y, quindi ' X (t) = ' Y (t) = ' Y ( t) = ( t) = + t : Siccome ' Y (s) è de nita solo per s <, ' Y ( t) è de nita solo per t <, quindi ' X (t) è de nita solo per t >. iv) P (X + ) > = P (jx + j > ) = P (X < ) = P (Y > ) = e : Esercizio 3. i) Per n = la probabilità è (percorso!! 7) 4 per n = 3 la probabilità è (percorso!! 6! 7), per n = 4 la 4 probabilità è (percorso!! 7! 6! 7), e così via. Ovviamente 4 converge a. 4 ii) e sono transitori, 5 è assorbente, 3 e 4 formano una classe irriducibile, 6 e 7 formano una classe irriducibile. iii) 5 è assorbente, quindi (0; 0; 0; 0; ; 0; 0) è una misura invariante. Alla classe f3; 4g è associata la misura invariante (0; 0; =; =; 0; 0; 0) ed alla classe f6; 7g è associata la misura invariante (0; 0; 0; 0; 0; =; =). Le misure invarianti sono (0; 0; =; =; ; =; =) con ; ; [0; ], + + = (eventualmente esprimibili tramite solo due parametri, a causa della relazione + + = ). Esercizio 4. i) E X = X E [X i ] = per linearità, V ar X h = E X i = E 4 i= X i= " = X E (X i ) (X j ) i;j= = X i;j= E (X i ) = 4 (X i ) # = X i;j=! 3 5 X i;j= V ar [X i ] = E [(X i ) (X j )]

5 avendo usato l indipendenza. ii) P X < 0: = P 0:9 < X < : = P (90 < X + ::: + X < 0) ed ora applichiamo il TLC: 90 = P p < X + ::: + X p < 0 ' p = 0:843 0:586 = 0:68 7: 0 p 90 p = () ( ) iii) Per la disuguaglianza di Chebyshev P X X < 0:5 = P X 0:5 = P 0:5 h E X i V ar X = = 0:5 0:5 0:5 = 5 : 5