Statistica A. Corsi di Laurea afferenti alla IV Facoltà Prova del Cognome e Nome...

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1 Compito A Statistica A Corsi di Laurea afferenti alla IV Facoltà Prova del Cognome e Nome N 0 di Matricola ISTRUZIONI: Copiare in modo chiaro e leggibile lo svolgimento di ciascun esercizio sul foglio contenente il testo corrispondente. Soltanto i fogli che vi sono stati consegnati saranno ritirati e corretti per la valutazione della prova scritta. 1. La lunghezza dei raggi delle ruote per biciclette prodotti dalla Rags s.p.a. sono approssimativamente distribuiti secondo una distribuzione normale con media di 38.5 cm; si è valutato inoltre che il 10.57% dei raggi ha una lunghezza superiore a 40 cm. Si calcoli: a) la percentuale dei raggi con lunghezza compresa tra 37.9 cm e 39.4 cm. b) Se i raggi vengono consegnate in imballi da 30 raggi ciascuno, calcolare la probabilità che la lunghezza media dei raggi di un imballo sia compresa tra 38.2 cm e 38.8 cm; c) Scelti in modo indipendente due raggi dalla popolazione dei raggi prodotti dalla Rags, calcolare la probabilità che la loro lunghezza differisca per non più di 0.5 cm... (6pt) 2. Si considerino le 3 variabili casuali X 1, X 2, e X 3 che seguono tutte una distribuzione normale con parametri µ = 1 e σ 2 = i 2, con i = 1, 2, 3.

2 a. Si calcoli media e varianza di Y = X 1 2X 2 + X 3 nel caso in cui le 3 variabili siano mutuamente non correlate. b. Si calcoli media e varianza di Y = X 1 2X 2 + X 3 nel caso in cui il coefficiente di correlazione ρ( X i, X j ) sia uguale a 0.5 per ogni i, j = 1, 2, 3 e i j c. Sempre nel caso in cui le 3 variabili casuali X 1, X 2 e X 3 siano mutuamente non correlate, lo sono anche le due variabili U = 9X 2 4X 3 e V = 9X 1 + X 3? Giustificare la risposta... (5pt) 3. Si consideri l esperimento che consiste di due fasi; nella prima si lancia un dato ben bilanciato, mentre nella seconda si sceglie casualmente un intero nell insieme {1,2,...,n}, essendo n il numero apparso sulla faccia del dado lanciato nella fase precedente. a. Detta X la variabile casuale che indica l intero scelto nella seconda fase, determinare la funzione di densità discreta della v.c. X. b. Calcolare la probabilità dell evento l intero scelto nella seconda fase sia uguale a 2 condizionatamente al verificarsi dell evento nella prima fase è apparsa la faccia del dado con il numero 3. c. Calcolare la probabilità che si verifichino congiuntamente i due eventi: l intero scelto nella seconda fase sia uguale a 2 e nella prima fase è apparsa una faccia del dado con un numero almeno uguale a 4..

3 .... (5pt) 4. I raggi delle ruote per biciclette prodotti dalla Rags s.p.a. vengono consegnati ai negozianti in scatole da 50 pezzi ciascuna. La Rags ha potuto accertare che la probabilità che un raggio sia difettoso è dell 1%. 1.a) Calcolare la probabilità che in una scatola vi siano almeno due raggi difettosi. 1.b) Una consegna di raggi ad un rivenditore specializzato consiste in una fornitura di 150 scatole e l'intera consegna viene accettata se meno di due scatole contengono al più un raggio difettoso ciascuna; calcolare la probabilità che una consegna sia rifiutata. 2) Si supponga ora che vi sia un altra ditta produttrice di raggi che afferma che in ogni sua scatola di raggi (50 raggi ciascuna) che consegna ai negozi vi sono 2 raggi difettosi. Calcolare la probabilità che tra i 5 raggi acquistati da un avventore al più uno sia difettoso... (3pt) 5. Sia data la variabile casuale X con distribuzione uniforme con media 0 e varianza 4/3. Calcolare la distribuzione e la media della variabile casuale Y = X 2.

4 .... (3pt) 6. Definire la probabilità secondo la definizione assiomatica unitamente ai tre assiomi di Kolmogorov... (1pt) 7. Definire la funzione di distribuzione cumulativa (di ripartizione) e le sue proprietà.... (1pt) 8. Dati P[A]=0.5 e P[B]=0.4, calcolare P[A B] se A e B sono eventi indipendenti... (1pt)

5 Compito B Statistica A Corsi di Laurea afferenti alla IV Facoltà Prova del Cognome e Nome N 0 di Matricola ISTRUZIONI: Copiare in modo chiaro e leggibile lo svolgimento di ciascun esercizio sul foglio contenente il testo corrispondente. Soltanto i fogli che vi sono stati consegnati saranno ritirati e corretti per la valutazione della prova scritta. 1. Se E [X] =1 e var [X] = 5, si calcoli: E [(1 + X) 2 ]... var [3 4X] =... (2pt) 2. Le probabilità di chiusura dei cinque relè nella figura sottostante sono p per i relè 1, 2 e 3 e 2p per i relè 4 e 5. Tutti i relè sono indipendenti. Qual è la probabilità che passi corrente tra gli estremi A e B del circuito? A B (4 pt) 5

6 3. I dati a disposizione dei meteorologi indicano che le precipitazioni annuali, cioè l altezza delle precisazioni in ciascun anno, a Torino hanno una distribuzione normale con media mm e varianza mm 2. Si assuma che le precipitazioni di anni successivi siano indipendenti. d. Calcolare la probabilità che le precipitazioni dei prossimi due anni siano inferiori, complessivamente, a 123 mm. e. Calcolare la probabilità che le precipitazioni del 2007 superino quelle del 2008 per più di 14mm..... (4pt) 4. Siano date due urne U 1 ed U 2 contenenti la prima 3 palline bianche e 2 nere, la seconda 2 bianche e 3 nere. Si lancia una moneta, avente P[T] = 0.4. Se viene testa si effettuano estrazioni con reimmissione dall urna U 1, se viene croce si effettuano estrazioni, sempre con reimmissione, però dall urna U 2. Si indichi con B j l evento alla j-esima estrazione la pallina estratta risulta bianca, calcolare: 1. P[B j ], con j = 2, 3 2. P[B 3 B 1 B 2 ] 3. P[U 1 B 1 B 2 ].. (4pt)

7 5. Le centraline elettroniche da montare sulle autovetture della Auto spa vengono acquistate da due ditte fornitrici diverse: dalla prima arriva il 70% delle centraline e le rimanenti dalla seconda. La prima ditta fornitrice dichiara che il 2% delle sue centraline è difettoso, mentre le centraline difettose che provengono dalla seconda ditta sono il 5%. 1. Il giorno 13 maggio 2007 l azienda produttrice di autovetture riceve una fornitura di 200 centraline dalla stessa azienda: i. qual è la probabilità che tutte le centraline siano prive di difetti? ii. avendo esaminato l intera fornitura ed avendo constato che due centraline sono difettose, qual è la probabilità che la fornitura provenga dalla seconda ditta? 2. In cinque settimane successive l azienda produttrice di autovetture riceve cinque forniture di 200 centraline ciascuna tutte dalla stessa ditta fornitrice: iii. qual è la probabilità che almeno una fornitura su cinque sia senza difettosi (cioè tutte le centraline appartenenti alla fornitura siano non difettose)?. (5pt) 6. Sia data la variabile casuale X con distribuzione normale di parametri 0 e 1. Calcolare la distribuzione e la media della variabile casuale Y = X 2 +2X.

8 . (4pt) 7. Definire la funzione di densità per una variabile casuale discreta unitamente alle sue proprietà..... (1pt) 8. Due eventi A e B si dicono indipendenti se.... (1pt)