Statistica A. Ingegneria Logistica e della Produzione - Teledidattico. Prova del 15 marzo 2007

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1 Compito A Statistica A Ingegneria Logistica e della Produzione - Teledidattico Prova del 15 marzo 2007 Cognome e Nome N 0 di Matricola. ISTRUZIONI: Copiare in modo chiaro e leggibile lo svolgimento di ciascun esercizio sul foglio contenente il testo corrispondente. Soltanto i fogli che vi sono stati consegnati saranno ritirati e corretti per la valutazione della prova scritta. 1. I fili di cotone, di diametro trascurabile, prodotti da una determinata ditta tessile possono essere affetti da due tipi di difetti, la sfilacciatura (difetto A) e i nodi (difetto B). Il numero di difetti di tipo A e il numero di difetti di tipo B sono variabili casuali che seguono una distribuzione di Poisson e le due variabili casuali sono indipendenti tra loro. E stato stimato che ogni 1000m di filo vi sono mediamente 0.5 difetti di tipo A e ogni 10000m vi è mediamente un difetto del tipo B. a) Calcolare la probabilità che in un rotolo di filo lungo m non vi sia alcun difetto nel tratto tra i m e i m b) Qual è la probabilità che in un rotolo di nastro lungo m vi siano 3 difetti del tipo B, dato che in esso sono stati riscontrati complessivamente 9 difetti dei due tipi?.. (3pt)

2 2. Quale dovrebbe essere la numerosità del campione di batterie per cellulari da estrarre dalla produzione della ditta produttrice se si vuole che la durata media di detto campione differisca dalla durata media dell intera produzione di batterie per meno del 25% della deviazione standard con una probabilità del 98%? Si assuma che la durata delle suddette batterie segua una distribuzione normale (3pt) 3. Un prigioniero è rinchiuso in una cella con 3 porte, di qui in poi denominate con A, B e C. La porta A si apre su un corridoio che riconduce il prigioniero nella cella dopo due ore e mezza di cammino; la porta B conduce ad un altro corridoio che lo riconduce nella cella dopo quattro ore di cammino ed infine la porta C gli ridà la libertà immediatamente. Il prigioniero sceglie la porta da utilizzare lanciando due dadi omogenei in questo modo: se la somma dei numeri apparsi sulla facce superiori è al più uguale a 5 sceglie la porta A se la somma dei numeri è almeno uguale a 10 sceglie la porta B negli altri casi sceglie la porta C. Se poi il prigioniero torna in cella, sceglie la porta tra le due non ancora provate in modo equiprobabile. Qual è la probabilità che il prigioniero impieghi al più quattro ore per riacquistare la libertà? (4pt)

3 4. Il diametro (in mm) di un certo tipo di valvole è approssimativamente distribuito secondo una distribuzione normale con media 65; si è valutato inoltre che l 84% delle valvole ha un diametro superiore a Determinare la percentuale di valvole il cui diametro differisce dal diametro medio per più di una volta e mezzo la deviazione standard; 2. calcolare la percentuale di valvole con un diametro superiore a 68 tra quelle con diametro superiore alla media più metà deviazione standard... (5pt) 5. Usando i dati dell esercizio precedente, rispondere ai seguenti quesiti: 1. avendo acquistato 12 valvole di quel tipo, calcolare la probabilità che il loro diametro medio sia compreso tra 63.5 e 66.5; 2. avendo acquistato 12 valvole di quel tipo, calcolare la probabilità che almeno 2 abbiano un diametro compreso tra 63.5 e (4 pt)

4 6. Siano X 1 e X 2 variabili casuali indipendenti e normali standardizzate. Si ponga Y 1 = 1 + 2X 1 + X 2 e Y 2 = 1 + X 1 2X 2. Calcolare varianza e covarianza di Y 1 e Y 2.. (4pt) 7. Due eventi A e B si dicono indipendenti se.... (1pt) 8. Definizione della probabilità classica (o a priori):.... (1pt)

5 Compito B Statistica A Ingegneria Logistica e della Produzione - Teledidattico Prova del 15 marzo 2007 Cognome e Nome N 0 di Matricola.. ISTRUZIONI: Copiare in modo chiaro e leggibile lo svolgimento di ciascun esercizio sul foglio contenente il testo corrispondente. Soltanto i fogli che vi sono stati consegnati saranno ritirati e corretti per la valutazione della prova scritta. 1. I tappeti, prodotti da una determinata ditta tessile possono essere affetti da due tipi di difetti, la sfilacciatura (difetto A) e la non uniformità di colore (difetto B). Il numero di difetti di tipo A e il numero di difetti di tipo B sono variabili casuali che seguono una distribuzione di Poisson e le due variabili casuali sono indipendenti tra loro. E stato stimato che ogni 10 mq di tappeto vi sono mediamente 0.5 difetti di tipo A e ogni 25 mq di tappeto vi è mediamente un difetto del tipo B. a) Calcolare la probabilità che in un tappeto di lunghezza 5 m e larghezza 4 m (superficie pari a 20 mq) non vi sia alcun difetto nella striscia centrale di larghezza 1 m e di lunghezza 5 m b) Qual è la probabilità che in un tappeto di superficie pari a 50 mq vi siano 2 difetti del tipo B, dato che in esso sono stati riscontrati complessivamente 4 difetti dei due tipi?.... (3pt)

6 2. Quale dovrebbe essere la numerosità del campione di lampadine a risparmio energetico da estrarre dalla produzione della ditta produttrice se si vuole che la durata media di detto campione differisca dalla durata media dell intera produzione di lampadine per meno del 20% della deviazione standard con una probabilità del 95%? Si assuma che la durata delle suddette lampadine segua una distribuzione normale (3pt) 3. Un prigioniero è rinchiuso in una cella con 3 porte, di qui in poi denominate con A, B e C. La porta A si apre su un corridoio che lo riconduce nella cella dopo quattro ore di cammino; la porta B gli ridà la libertà immediatamente; la porta C conduce su un altro corridoio che riconduce il prigioniero nella cella dopo tre ore di cammino. Il prigioniero sceglie la porta da utilizzare lanciando due dadi omogenei in questo modo: se la somma dei numeri apparsi sulla facce superiori è inferiore a 5 sceglie la porta A; se la somma dei numeri è superiore a 10 sceglie la porta B; negli altri casi sceglie la porta C. Se poi il prigioniero torna in cella, sceglie la porta tra le due non ancora provate in modo equiprobabile. Qual è la probabilità che il prigioniero impieghi al più quattro ore per riacquistare la libertà? (4pt)

7 4. Il diametro (in mm) di un certo tipo di dischi è approssimativamente distribuito secondo una distribuzione normale con media 70; si è valutato inoltre che il16% dei dischi ha un diametro inferiore a 64.5; 1) determinare la percentuale di dischi il cui diametro differisce dal diametro medio per più di una volta e mezzo la deviazione standard; 2) calcolare la percentuale di dischi con un diametro superiore a 73 tra quelle con diametro superiore alla media più metà deviazione standard... (5pt) 5. Usando i dati dell esercizio precedente, rispondere ai seguenti quesiti: 1) avendo acquistato 12 dischi di quel tipo, calcolare la probabilità che il loro diametro medio sia al di fuori dei limiti di specifica 68.5 e 71.5; 2) avendo acquistato 12 dischi di quel tipo, calcolare la probabilità che al più uno abbia un diametro al di fuori dei limiti di specifica 68.5 e (4 pt)

8 6. Siano X 1 e X 2 variabili casuali indipendenti e normali standardizzate. Si ponga Y 1 = 1-3 X 1 + X 2 e Y 2 =1 + X 1 +3 X 2. Calcolare varianza e covarianza di Y 1 e Y 2.. (4pt) 7. Due eventi A e B si dicono mutuamente escludentisi o incompatibili se.. (1pt) 8. Definizione della probabilità frequentista (o a posteriori):.... (1pt)