6) Una variabile aleatoria discreta V ha la seguente densità di probabilità:

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1 (VHUFL]LVX&DOFRORGHOOHSUREDELOLWj PRGHOOLSUREDELOLVWLFLHYDULDELOLDOHDWRULH 1) Un fax può venir trasmesso a tre diverse velocità, a seconda di quali siano le condizioni di traffico sulla connessione tra due macchine. Le velocità sono: alta (a) a b/s, media (m) a b/s, bassa (b) a b/s. In risposta ad una richiesta, una ditta invia o un fax breve di due pagine (p2) o uno lungo di quattro pagine (p4). Si consideri l esperimento consistente nel monitorare la trasmissione dei fax, osservando la loro lunghezza e la velocità di trasmissione. Ad esempio un osservazione potrebbe essere h- p2, cioè un fax breve trasmesso ad alta velocità. a) Qual è lo spazio dei campioni dell esperimento? b) Quali uscite corrispondono all evento A1 fax a velocità media? c) Quali uscite corrispondono all evento A2 fax breve? d) Quali uscite corrispondono all evento A3 fax a velocità alta o bassa? e) A1, A2 e A3 sono eventi mutuamente esclusivi? f) L unione di A1, A2 e A3 copre tutto lo spazio dei campioni? g) L unione di A1, A2 e A3 costituisce una ripartizione dello spazio dei campioni? 2) Una fabbrica di circuiti integrati ha tre macchine X, Y e Z. Si consideri l esperimento consistente nel eseguire un test su un circuito integrato di ciascuna macchina. Il risultato del test può essere: accettato D o respinto U. Un osservazione consiste in una sequenza di tre risultati, corrispondenti all esame di un circuito proveniente rispettivamente dalla macchina X, Y e Z. Ad esempio l uscita DDU significa che i circuiti provenienti dalle macchine X e Y hanno superato il test, mentre quello prodotto dalla macchina Z è risultato difettoso. a) Qual è lo spazio dei campioni dell esperimento? b) Quali sono le uscite relative agli eventi: ZI = {circuito della macchina Z respinto} XD = {circuito della macchina X accettato} c) Gli eventi ZI e XD sono mutuamente esclusivi? d) Quali sono le uscite relative agli eventi: C = {più di un circuito accettato} D = {almeno due circuiti respinti} e) C e D sono mutuamente esclusivi? f) C e D costituiscono una ripartizione dello spazio dei campioni? 3) I programmi di un computer sono classificati in base alla lunghezza del codice sorgente e al tempo di esecuzione. Quelli con più di 150 linee di codice sorgente sono considerati grossi (G), quelli con un numero di linee inferiore o uguale a 150 sono considerati piccoli (P). I programmi veloci (V) girano in meno di un decimo di secondo, quelli lenti (L) impiegano un tempo maggiore o uguale a 0.1 s. L esperimento consiste nell osservare lunghezza e tempo di esecuzione dei vari programmi. Da osservazioni statistiche si è dedotto che: P[PV]=0.5, P[GV]=0.2 e P[GL]=0.2. a) Qual è lo spazio dei campioni di questo esperimento? b) Si calcolino le seguenti probabilità: P[L] P[G] P[L G]

2 4) Si mescolino per bene tre carte: esse sono il 2, il 3 e il 4 di picche. Le carte vengono estratte in sequenza. ( (L = 1, 2, 3) indica l evento che la i-esima carta sia pari e 2 (L = 1, 2, 3) L L indica l evento che la i-esima carta sia dispari. a) Quanto vale 3 [( / ( ] (probabilità che la seconda carta sia pari data che la prima era pari?) b) Qual è la probabilità condizionata che le prime due carte siano pari, sapendo che la terza è pari c) Quanto vale 3 [( / 2 ]? d) Quanto vale 3 [ 2 / 2 ]? 5) Al termine dei tempi regolamentari, una squadra di basket è indietro di un punto e un suo giocatore si appresta a tirare due tiri liberi. Se egli fa esattamente un punto, l incontro va ai supplementari. La probabilità di andare a canestro al primo tiro è 0.5. Tuttavia, se il primo tiro è stato buono, il giocatore si rilassa e nel secondo tiro va a canestro con probabilità 0.75, mentre se egli ha fallito il primo tiro, l aumentata pressione riduce la probabilità di successo per il secondo tiro, che diventa Qual è la probabilità che l incontro vada ai tempi supplementari? 6) Una variabile aleatoria discreta V ha la seguente densità di probabilità: a) determinare la costante F I 9 ( Y) = FY δ ( Y L) b) Trovare la probabilità che 9 {[ [ =,,... } c) Trovare la probabilità che V sia un numero pari d) Calcolare P[9!]. L = 7) Quando un utente preme il tasto SEND sul suo telefono cellulare, il telefono tenta di avviare una procedura di connessione trasmettendo un messaggio di SETUP ad una stazione base situata nei dintorni. L apparato attende una risposta e se questa non arriva entro 0.5 s, esso esegue un altro tentativo. Se non ottiene risposta dopo sei tentativi, interrompe la procedura e dà un segnale di occupato. a) Ipotizzando che le varie trasmissioni siano tra loro indipendenti e che la probabilità che il messaggio di SETUP vada a buon fine sia S, qual è la densità di probabilità della variabile aleatoria K, numero di messaggi trasmessi in un tentativo di connessione? b) Qual è la probabilità che il telefono generi un segnale di occupato? c) Se S = 0.9 e si desidera che la probabilità di occupato sia minore di 0.02, qual è il minimo numero per K necessario per raggiungere questo obiettivo? 8) Immaginate di andare a pesca e di attaccare P ami alla vostra canna. Ogni qualvolta eseguite un lancio, ciascun amo ha probabilità S di aver agganciato un pesce, indipendentemente da ciò che è successo agli altri ami. Qual è la densità di probabilità della variabile aleatoria K, numero di pesci catturato con un lancio?

3 9) Ogni qual volta un bambino lancia il suo frisbee, il suo cagnolino lo piglia con probabilità S, indipendentemente dal fatto che nel precedente lancio il frisbee sia stato preso o no. Quando il cane prende il frisbee, esso scappa via con il frisbee e non lo si vede più. Il bambino continua a lanciare il frisbee fino a che il cane lo piglia. Sia X la variabile aleatoria: numero di volte in cui il frisbee è stato lanciato. a) Qual è la densità di probabilità della variabile aleatoria X? b) Che tipo di variabile aleatoria è K? (%HUQRXOOL%LQRPLDOH*HRPHWULFD3DVFDO, 8QLIRUPH3RLVVRQ) c) Se S = 0.2, quanto vale la probabilità che il bambino lanci il frisbee per più di quattro volte? 10) Il numero K di autobus che arrivano ad una certa fermata in un intervallo di T minuti è una variabile aleatoria di Poisson, con valore medio T/5. a) Qual è la densità di probabilità della variabile aleatoria K? b) Quanto vale la probabilità dell evento: in un intervallo di 2 minuti arrivano tre autobus? c) Con che probabilità in dieci minuti non arriva nessun autobus? d) Quale intervallo di tempo bisogna scegliere affinché la probabilità che in esso arrivi almeno un autobus sia 0.99? 11) Il vostro computer si è guastato. Chiamate il tecnico dell assistenza, il quale arriva entro un massimo di quattro giorni. Il costo dell intervento varia a seconda di quanto avete aspettato per l arrivo del tecnico. Il numero di giorni di attesa è una variabile aleatoria discreta D, caratterizzata dalla seguente densità di probabilità: I ' ( G) =. δ ( G ) +. δ ( G ) +. δ ( G ) +. δ ( G ) Il costo C del servizio in ¼è così valutato: per 1 giorno di attesa per 2 giorni di attesa & = per 3 giorni di attesa per 4 giorni di attesa a) Qual è il valor medio P del tempo di attesa? ' b) Qual è il valor medio della deviazione ' P? ' c) Qual è ol valor medio del costo C? 12) La variabile aleatoria X ha la seguente densità di probabilità: I ([) ([ N) = δ N N= a) Che tipo di variabile aleatoria è X? (%HUQRXOOL%LQRPLDOH*HRPHWULFD3DVFDO, 8QLIRUPH3RLVVRQ) b) Calcolare la sua deviazione standard σ P σ + σ. c) Calcolare la probabilità dell evento { } P

4 13) Ogni test eseguito su un circuito integrato produce come risultato accettato con probabilità S o respinto con probabilità S, indipendentemente dai risultati di prove precedenti. Sia N la variabile aleatoria che esprime il numero di circuiti respinti in U prove e sia X il numero di circuiti accettati nell ultimo test (X oppure X ). Indicare quante e quali sono le possibili coppie di valori per le variabili aleatorie N e X. Esprimere la 1 = Q, = [. probabilità di ciascun evento congiunto { } 14) La funzione di distribuzione di una variabile aleatoria X è: [ < ) ([) = ( [ + ) / [ [ a) Calcolare 3 [ > / ] 3 / [ < / b) Calcolare [ ] c) Calcolare 3 [[ / ] < d) Qual è il valore da assegnare alla costante D affinché 3 [ D] =. e) Qual è la densità di probabilità di X?? < = =. 15) La variabile aleatoria X è uniformemente distribuita tra e. Sia J( ) a) Calcolare ([ ] e Var [ ]. b) Calcolare J ((( ) e [ J( )] (. c) Determinare la densità di probabilità della variabile aleatoria Y. < Var <. d) Calcolare ([ ] e [ ] 16) Una variabile aleatoria continua è detta esponenziale se al sua densità di probabilità è del tipo: D[ I ([) = DH per [ essendo D una costante positiva. Sapendo che Y è una variabile aleatoria esponenziale con varianza pari a 25, a) Si scriva la sua densità di probabilità b) Si calcoli il suo valore quadratico medio 3 < >. c) Si calcoli [ ] 17) La variabile aleatoria continua X è uniformemente distribuita sull intervallo [,) la sua densità di probabilità? a) Qual è la funzione di distribuzione della variabile X? (? b) Quanto vale [ ] c) Quanto vale [ ] d) Quanto vale [ H ] (? (?. Qual è

5 18) Quando viene fatta una chiamata telefonica, con probabilità 0.2 la linea è occupata e con probabilità 0.3 non si ottiene risposta. Quando si ottiene risposta, il tempo di conversazione è una variabile aleatoria X, caratterizzata da una densità di probabilità esponenziale, con valor medio 3 min. Sia W la variabile aleatoria durata della conversazione in secondi (W= 0 se non c è risposta o se la linea è occupata). a) Come sono fatte la densità di probabilità e la funzione di distribuzione di W? : Var :? b) Quanto valgono ([ ] e [ ] 19) La variabile aleatoria 8 è uniformemente distribuita tra e ed è posta all ingresso di un limitatore. La variabile aleatoria W rappresenta l uscita del limitatore ed è definita da: 8 8 : = J( 8 ) = 8 > Trovare la densità di probabilità, la funzione di distribuzione e il valore medio della variabile W. 20) Due variabili aleatorie X e Y hanno la seguente funzione di distribuzione congiunta: [ \ ( H )( H ) [, \ ) ([, = < a) Calcolare la 3 [, \ ] b) Esprimere le funzioni di distribuzione delle variabili X e Y. 21) La funzione ( [ + H [, \ ) ([, = < a) ha i requisiti per essere una funzione di distribuzione congiunta di due variabili aleatori X e Y? b) Se avete risposto sì, provate a calcolare la densità di probabilità congiunta. c) Siete ancora convinti della vostra risposta? 22) Due variabili aleatorie X e Y hanno la seguente densità di probabilità congiunta: F [ + \, [, \ I < ([, = a) Ricavare il valore della costante F b) Calcolare 3[ < ] 3 + < c) Calcolare [ ] 23) Entro il cerchio di raggio U centrato nell origine due variabili aleatorie X e Y hanno la seguente densità di probabilità congiunta: 2 ( ) ( π U ) [, \ = [ + \ U I < Ricavare le densità di probabilità delle variabili aleatorie X e Y.

6 24) Due variabili aleatorie X e Y hanno la seguente densità di probabilità congiunta: I < ([, ([ + 3 = σ = Var. [ [, a) Calcolare P [ = ([ ] e [ ] b) Calcolare P \ = ([ < ] e σ = Var[ < ]. < c) Calcolare la covarianza & ([( P )( < P )] < < d) Quanto vale P + < = ([ + < ]? e) Quanto vale σ = Var[ + < ]? + < =. \