P (K C) = P (C) P (K C) = P (C K)P (K) = 1 p = p. Per trovare P (C), condizioniamo al fatto che sapesse la risposta o meno.

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1 Esami di Calcolo delle Probabilitá del 28 Settembre 29 É fatto assoluto divieto di usare appunti e libri di testo, il candidato che non osserverá questo divieto avrá annullato il compito e sará allontanato dalla prova. Si possono usare invece tabelle e calcolatrici tascabili. Esercizio n. In una prova a risposte multiple, nel rispondere a una domanda uno studente puó conoscere la domanda, oppure provare a indovinarla. Sia p la probabilitá che conosca la risposta e p la probabilitá che tiri a indovinare. Si assuma che se prova a indovinare, risponda correttamente con probabilitá m, dove m é il numero di alternative nelle scelte multiple. Qual é la probabiliá condizionata che egli conosce la risposta a una domanda alla quale ha risposto correttamente? (Considera il caso in cui p 2 e m 3. Soluzione Siano C e K rispettivamenete gli eventi sceglie la risposta giusta e conosce la risposta giusta. Per calcolare Notiamo subito che P (K C P (K C. P (C P (K C P (C KP (K p p. Per trovare P (C, condizioniamo al fatto che sapesse la risposta o meno. P (C P (C KP (K + P (C KP ( K p + ( p. m Quindi la quantitá richiesta è P (K C p mp p + ( m ( p + (m p. Allora nel caso in cui sia p 2 e m 3 al probabilitá che lo studente conoscesse la risposta, considerato il fatto che ha risposto correttamente è pari a 3 4. Esercizio n.2 In un concorso al tiro al bersaglio una persona tira su un bersaglio quattro colpi. La probabilitá di centrare il bersaglio al primo colpo, al secondo, al terzo, al quarto sono rispettivamente, 5,, 6,, 7,, 8. a Calcolare la probabilitá dell evento A che alla fine dei quattro tiri la persona abbia centrato il bersaglio una sola volta. b Calcolare la probabilitá dell evento B che alla fine dei quattro tiri la persona abbia centrato il bersaglio almeno una volta. I quesiti dell attuale compito di esame hanno gradi di difficoltá differenti e di questo se ne terrá conto nella valutazione.

2 Soluzione Sia A i l evento il bersaglio è centrato all i-mo tiro, i 4. A è allora l unione degli eventi A A 2 A 3 A 4, A A 2 A 3 A 4, A A 2 A 3 A 4, A A 2 A 3 A 4. Questi 4 eventi sono a due a due incompatibili; risulta che P (A P (A A 2 A 3 A 4 + P (A A 2 A 3 A 4 + P (A A 2 A 3 A 4 + +P (A A 2 A 3 A 4. Ora gli eventi tali che A, A 2, A 3, A 4 sono indipendenti, dunque: P (A P (A P (A 2 P (A 3 P (A 4 + P (A P (A 2 P (A 3 P (A 4 + +P (A P (A 2 P (A 3 P (A 4 + P (A P (A 2 P (A 3 P (A 4 Dunque P (A.6., 5, 4, 3, 2 +, 5, 6, 3, 2 +, 5, 4, 7, 2 +, 5, 4, 3, 8.6 Sia B l evento Almeno un tiro centra il bersaglio, dunque B è l evento nessun tiro centra il bersaglio. Dunque e B A A 2 A 3 A 4. P (B P (A P (A 2 P (A 3 P (A 4, 5, 4, 3, 2, 2 dunque la probabilitá che un colpo almeno centri il bersaglio in 4 tiri è P (B P (B, 2, 988. Esercizio n.3 Siano X e Y due variabili aleatorie congintamente continue con densitá di probabilitá congiunta data da { 2e f(x, y x e 2y, se x > o, y >, altrimenti. Si calcolino (ap (X >, Y < ;(b P (X < Y ;(c P (X < a; Soluzione Occorre integrare f(x, y nella regione in cui x > e y <, ma la seconda disuguaglianza si riduce a < y < perché f(x, y è nulla quando y. P (X >, Y < 2e 2y( 2e x e 2y dxdy e x dx dy si integra prima in una variabile.. 2e 2y { e x } x dy 2

3 e 2e 2y dy... si integra nell altra variabile.. e ( e 2 (b In questo caso la regione su cui integrare è quella dove x < y. Gli estremi di integrazione che corrispondono a questo dominio possono essere scelti in due modi : ( o si integra in dx tra gli estremi e y (infatti x > altrimenti f è nulla, mentre x < y è la definizione della regione che stiamo considerando, ed esternamente in dy tra e (infatti basta porre la condizione x < y sull integrale interno;(2 o si integra internamente in dy tra x e (per rispettarx < y ed esternamente in dx tra e, Scegliamo la prima strada P (X < Y 2e x e 2y dxdy... a questa regione... y (x,y;<x<y 2e x e 2y dxdy...corrispondono questi estremi... 2e 2y( y e x dx dy 2e 2y ( e y dy 2e 2y dy e 3y dy (C Nell ultimo caso gli estremi di integrazione sono semplici. La variabile aleatoria Y puó assumere un valore qualsiasi, quindi y si integra su tutto R. X invece deve essere minore di a. Supponendo che sia a >, questo significa integrare in dx tra e a. Se invece a allora {X < } è un evento di probabilitá nulla. P (X < a a a e x( e x dx e a. Esercizio n.4 2e 2y dy dx Ad una certa fermata passa un autobus ogni 5 minuti a cominciare dalle ore 7 (quindi 7., alle 7.5, alle 7.3, e cosívia. Se un passeggero arriva alla fermata in un momento casuale tra le 7 e le 7.3, si calcoli con che probabilitá dovrá aspettare il prossimo autobus per (a meno di 5 minuti; (b almeno 2 minuti. Soluzione (a Sia X l istante (espresso in minuti dopo le 7 in cui questa persona arriva alla fermata. X è uniforme sull intervallo [, 3]. Siccome il 3

4 passeggero deve aspettare meno di 5 minuti solo se arriva tra le 7. e le 7.5, oppure tra le 7.25 e le 7.3, la probabilitá richiesta è data da P ( < X < 5 + P (25 < X < (b Analogamente egli deve attendere per almeno 2 minuti se arriva tra le 7 e le 7.3 o tre le 7.5 e le 7.8, quindi la probabilitá cercata è pari a P ( < X < 3 + P (5 < X <

5 Rispondere alle seguenti domande a La deviazione standard D(ξ se e soltanto se, con probabilitá uguale a ξ é una v.a. costante. Commentare e dimostrare. b Se ξ é una v.a. assolutamente continua con densitá di probabilitá f(x e se ϕ é una funzione strettamente monotona tale che la funzione inversa ϕ sia derivabile, allora η ϕ(ξ úna v.a. assolumante continua con densitá di probabilitá???...(completare l enuciato e dimostrare. c Definire la funzione caratteristica ϕ ξ (t e dimostrare che ϕ ξ (t é uniformemente continua per t R. d Enunciare e dimostrare il teorema di Levy. 5