ESERCIZI HLAFO ALFIE MIMUN

Transcript

1 ESERCIZI HLAFO ALFIE MIMUN December, 27. Testo degli esercizi Risolvere i seguenti problemi: () Siano X, X 2, X 3 variabili aleatorie i.i.d. bernulliane di media.5 e siano Y, Y 2, Y 3, Y 4 variabili aleatorie i.i.d. con distribuzione di Poissondimedia2. DetteX = X +X 2 +X 3 edy = Y +Y 2 +Y 3 +Y 4, calcolare E[2XY X+3Y +5] e Var(X 2Y +5). Si supponga che X i sia indipendente da Y j, per i =,2,3 e j =,2,3,4. (2) Siano X, Y variabili aleatorie assolutamente continue con densità congiunta data da f(x,y) = cxy [,] 2(x,y) = cxy [,] (x) [,] (y). Calcolare la costante c tale che f sia una densità. Calcolare (a) la densità di X; (b) la densità di Y; (c) la distribuzione di Z = max{x,y} e di W = min{x,y}. (3) Siano X exp(λ ) e Y exp(λ 2 ) variabili aleatorie indipendenti. Calcolare P(X +Y t). (4) Siano X Unif[a, b] e Y Unif[c, d] variabili aleatorie indipendenti. Calcolare P(X +Y t) e calcolare la stessa probabilità nel caso in cui [a,b] = [,2] e [c,d] = [,3]. (5) Il tempo, in ore, che un computer funzioni prima di bloccarsi è una variabile aleatoria continua con densità f(x) = ce x [,+ ) (x). Si trovi la costante c affinché f sia una densità e si calcoli la probabilità che (a) il computer funzioni tra le 5 e le 5 ore prima di bloccarsi; (b) il computer funzioni per meno di ore prima di bloccarsi. (6) Sia X una variabile aleatoria tale che Var(X) = E[X] = 2. Cosa possiamo dire relativamente alla probabilità P( < X < 4)? (Suggerimento: cercare di fornire una stima usando opportuni risultati noti.) (7) Per l esperienza maturata, un professore sa che il punteggio (in centesimi) del test di uno studente che sostenga l esame finale del suo corso si distribuisce come una variabile aleatoria di media 75.

2 2 HLAFO ALFIE MIMUN (a) Si dia un limite superiore alla probabilità che il punteggio del test di uno studente sia superiore a 85; (b) Si supponga ora che il professore sappia che la varianza del risultato del test sia uguale a 25. (i) Cosa possiamo dire circa la probabilità che il risultato sia compreso tra 65 e 85 (estremi esclusi)? (ii) Quanti studenti devono sostenere il test per essere sicuri con probabilità almeno pari a.9 che la votazione media della classe sia compresa tra 7 e 8 (estremi esclusi)? (Non si faccia uso del teorema centrale del limite.) (iii) Si utilizzi il teorema centrale del limite per risolvere il punto precedente. (8) Mostrare che se Var(X) =, allora P(X = E[X]) =. Ciò ci dice che le uniche variabili aleatorie con varianza nulla sono quelle quasi certamente costanti. (9) Sia X variabile aleatoria assolutamente continua con funzione di densità f(x) = 2 5 x [2,3](x). Calcolare la funzione di distribuzione di X e fornire un algoritmo per la simulazione di X a partire da variabili con leggi note. 2. Soluzioni degli esercizi () X Bin(3,.5) mentre Y Poi(8)., usando l ipotesi di indipendenza, si ha E[2XY X+3Y +5] = 2E[X]E[Y] E[X]+3E[Y]+5 = = 5.5, Var(X 2Y +5) = Var(X)+4Var(Y) = = (2) Osserviamo che dx dyf(x,y) = c La risposta ad (a) è f(x) = La risposta a (b) è f(y) = La risposta a (c) è dyf(x,y) = dxf(x,y) = P(Z t) = P(X t, Y t) = dx dyxy = c = c = 4. 4 dy4xy [,] (x) = 2x [,] (x). dx4xy [,] (y) = 2y [,] (y). dx dyf(x,y) =, se t ; dx dy4xy = t4, se < t ;, se t.

3 ESERCIZI 3 La risposta a (d) è P(W t) = P(W > t) = P(X > t,y > t) =, se t ; = dx dyf(x,y) = t t t dx t dy4xy = t4, se < t ;, se t. (3) Noto che P(X+Y t) = Noto che f Y (s)f X (t s)ds = t s [,+ ) t s < + < s < t. A(t) diventa λ λ 2 e λ t (λ 2 λ )s {[, ) (,t]} (s)ds. λ 2 e λ 2s λ e λ (t s) [,+ ) (t s)ds = A(t). Abbiamo diversi casi se [, ) (,t] =, cioè se t <, si ha che l integrale A(t) fa zero. se [, ) (,t], ovvero t, allora tale intersezione deve essere [, t]. A(t) diventa λ λ 2 e λ t+(λ λ 2 )s ds = λ λ 2 e λ t e (λ λ 2 )s ds = = λ λ 2 e λ t e(λ λ 2 )s s=t λ λ = λ λ 2 (e λ2t e λt ). 2 s= λ λ 2 { λ λ 2 λ λ 2 (e λ 2t e λ t ), se t ;, se t <. (4) Osservo che c Y d, a X b e dunque {, se t b+d;, se t a+c. Consideriamo ora t (,2). Osserviamo che f Y (s)f X (t s)ds = d c [a,b] (t s) ds =: A(t) t s [a,b] a t s b b s t a t b s t a. Allora possiamo riscrivere A(t) così Abbiamo dunque i seguenti casi: {[c,d] [t b,t a]} (s)ds.

4 4 HLAFO ALFIE MIMUN se c t b t a d, allora se t b c d t a, allora se t b c t a b, allora se c t b d t a, allora (5) Cerco c [t b,t a] (s)ds = d c ; [c,d] (s)ds = b a ; [c,t a] (s)ds = t a c ; [t b,d] (s)ds = d+b t ; se c d t b t a o t b t a c d, allora { } (s)ds =. Orase[a,b] = [,2]e[c,d] = [,3],alloradevocapirecom è fatta l intersezione [t 2,t] [,3] sapendo che t (,2): si ha che se t, allora [t 2,t] [,3] = ; se t 2 t, cioè t 3, allora [t 2,t] [,3] = [,t]; se t 2 3, cioè 3 t 5, allora [t 2,t] [,3] = [t 2,3]; se t 2 3, cioè t 5, allora [t 2,t] [,3] =., se t, t 4, se t 3, 5 t 4, se 3 t 5,, se t 5. f(x)dx = c Impongo che c = c =. La risposta alla domanda (a) è P(5 < X < 5) = 5 5 e x dx = ce x e x dx = e x La risposta alla domanda (b) è P(X < ) = e x dx = e x 5 + = c. = e.5 e = e.633.

5 (6) Si ricordino i seguenti fatti ESERCIZI 5 y < a a < y < a, y > a y < a o y > a. Analogamente con i simboli e. Risolviamo ora il problema. Notiamo che P( < X < 4) = P( 2 < X 2 < 2) = P( X 2 < 2) =: p. Usando la disuguaglianza di Markov per la variabile Z = X 2 (che è non negativa!) si ottiene P(Z 2) E[Z] 2 = 2 2 =. P(Z < 2) = P(Z 2) =. Non mi dà quindi alcuna informazione interessante. Proviamo con la disuguaglianza di Chebyshev (notare che siamo esattamente nella forma voluta dalla disuguaglianza essendo 2 la media di X) P( X 2 2) Var(X) 2 2 = = 2. P( X 2 < 2) = P( X 2 2) 2 = 9 2. (7) Indichiamo con X la variabile aleatoria che indica il punteggio dello studente. E[X] = 75. Allora, poiché il punteggio è non negativo, la variabile X è non negativa e dunque posso applicare la disuguaglianza di Markov (non uso Chebyshev in quanto non ho informazioni sulla varianza) P(X > 85) < E[X] 85 = = 5 7. Supponiamo adesso che Var(X) = 25. Vogliamo ricondurci alla disuguaglianza di Chebyshev, ovvero alla forma X 75 <... Allora P(65 < X < 85) = P( < X 75 < ) = P( X 75 < ) = P( X 75 ). Uso Chebyshev ed ottengo P( X 75 ) Var(X) 2 = 25 = 4. P(65 < X < 85) = P( < X 75 < ) = P( X 75 < ) = P( X 75 ) 4 = 3 4. Supponiamo adesso di avere n studenti e di avere n variabili aleatorie i.i.d. X,...,X n, dove X i indica il punteggio dell i-esimo studente, per i =,...,n. Ogni X i ha media 75 e varianza 25. Sia W n = n n i= X i. Il testo ci chiede di calcolare n affinché P(7 < W n < 8).9.

6 6 HLAFO ALFIE MIMUN Voglio sempre ricondurmi alla forma presente nella disuguaglianza di Chebyshev. Noto che E[W n ] = n n E[X ] = 75, Var(W n ) = n 2 n Var(X ) = 25 n. P(7 < W n < 8) = P( 5 < W n 75 < 5) = P( W n 75 < 5) = = P( W n 75 5) Var(W n) 5 2 = 25n 25 Per calcolare n basta imporre = n. n.9 n. = n. basta prendere n =. Vogliamo ora risolvere la stessa domanda usando il teorema centrale del limite (che può essere applicato in quanto X i ha media e varianza finita): ) ) n n P( W n 75 < 5) = P( X i 75 n < 5 = P( X i 75n < 5n = i= i= ( n i= = P X i 75n 5 n < 5n ) 5 P( Z < n) = n = P( n < Z < n) = φ( n) φ( n) = 2φ( n), dove Z N(,) e φ(t) è la funzione di distribuzione di Z. Imponiamo dunque 2φ( n).9 φ( n).95 n.65 n lim P n abbiamo ottenuto n 3 (considerando che n è intero). Notare che il valore ottenuto dista molto da quello ottenuto con Chebyshev. Per capire quanto sia corretta l approssimazione fatta con la variabile normale bisognerebbe stimare l errore con il teorema di Berry-Essen. Si consideri sempre che il numero di studenti che stiamo considerando è abbastanza piccolo rispetto alla varianza delle singole variabili X i, dunque ci si aspetta che l approssimazione normale non sia troppo buona in questo caso. (8) Per la disuguaglianza di chebyshev abbiamo che per ogni n N\{}: ( P X E[X] > ) ( P X E[X] > ) =. n n Vogliamo passare al limite per n che tende a +. Considero l evento A n = { X E[X] > n}. Osservo che la famiglia di eventi {An } n è crescente, cioè A n A n+. per i teoremi sulla continuità della probabilità si ha ( X E[X] > n ) = lim n P(A n) = P ( + n= A n) = P( X E[X] ) =,

7 lim x 2 lim x 3 ESERCIZI 7 dove l ultima uguaglianza è dovuta al fatto che X E[X] è una variabile non negativa. (9) Osserviamo inizialmente che f è una densità (il suo integrale su tutto R fa ). Poiché X è assolutamente continua posso ottenere F(x) come primitiva di f(x). Osserviamo che essendo f(x) = al di fuori di [2,3], allora F(x) deve essere costante al di fuori di [2,3]. Poiché lim x + F(x) = e lim x F(x) =, allora F(x) = se x < 2 ed F(x) = se x > 3. All interno di [2,3] calcoliamo una primitiva di f. otteniamo:, se x < 2; F(x) = x 2 5 +c, se 2 x 3;, se x > 3; dove c è una costante da determinare imponendo la continuità della funzione di distribuzione(poiché X è assolutamente continua). imponiamo la continuità in 2 e in 3: ( ) x 2 = lim lim = 4 +f(x) f(x) 5 +c = c = 4 5 ; x 2 x 2 + = lim lim f(x) +f(x) x 3 x 3 5 +c ( ) x 2 5 +c = 9 5 +c = c = 9 5 = 4 5. Poiché abbiamo trovato un valore di c che verifica entrambe le condizioni allora tale variabile esiste ed è assolutamente continua con densità e distribuzione esposte sopra (ponendo c = 4 5 ). Capiamo ora come simulare X. Sappiamo che Y = F (U), dove U Unif[,], è una variabile aleatoria con distribuzione F. Nel nostro caso la variabile Y è la variabile X. Calcolo allora F (parto dalla condizione U = F(X)): U = 5 (X2 4) X 2 = 5U +4 X = 5U +4, dove nell ultimo ho usato il fatto che X è una variabile aleatoria non negativa (basti osservare che P(X < ) = ). la formula X = 5U +4 simula la variabile X con distribuzione F a partire dalla variabile U uniforme in [,].