X Vincita (in euro) Tabella 1: Vincite

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1 Cognome e Nome: Matricola CdS CALCOLO DELLE PROBABILITA - 9 Giugno 1 CdS in STAD, SIGAD - docente: G. Sanfilippo Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi. Tempo a disposizione: due ore e trenta minuti. Non è consentito l utilizzo di libri o appunti. Ogni esercizio svolto correttamente vale 6 punti. Per avere il punteggio massimo occorre risolvere correttamente 5 quesiti. 1. Dati 4 eventi A, B, C, D con A B C e C D =, P (A) = P (A c B) = P (B c C) = p e P (D) =.1 calcolare l insieme I dei valori coerenti di p. Considerato inoltre il numero aleatorio X = A B + C D, calcolare il massimo M della previsione di X. Infine posto p =.1 calcolare la funzione di ripartizione F (x) di X. I = [ ] M = F (x) =. Un giocatore intende partecipare al seguente gioco. Si estraggono (senza restituzione) numeri da un urna contenente 9 numeri distinti. Il giocatore gioca 1 numeri pagando 1 euro. Indicando con X il numero dei numeri estratti fra quelli giocati, calcolare la distribuzione di probabilità di X. Le vincite si hanno solo nei casi illustrati nella Tabella 1. X Vincita (in euro) Tabella 1: Vincite Indicando con V la vincita aleatoria, calcolare il codominio C V dei possibili valori di V. Inoltre, per ogni valore v h C V, calcolare la probabilità p h dell evento (V = v h ). Infine, stabilire se il gioco è equo. X C V = { } p h = { } Gioco equo? Si No 3. Da un urna, contenente 1 pallina bianca e 3 nere, si effettuano 3 estrazioni senza restituzione. Definiti gli eventi E i = l i-ma pallina estratta è bianca, i = 1,, 3, si ponga X = E 1 + E, Y = E + E 3. Calcolare il valore atteso di X e la covarianza di X, Y. Inoltre, stabilire, motivando la risposta, se X, Y sono stocasticamente indipendenti. (nota: indicare P (X = x, Y = y) con p xy ). E(X) = Cov(X, Y ) = Indipendenza? Si, No 4. Siano dati 1 numeri aleatori X 1, X,..., X 1 indipendenti e con distribuzione uniforme in [ 1, 1 ]. Posto S = X 1 + X X 1, calcolarne la funzione caratteristica ψ S (t), il valore atteso e la varianza. Infine calcolare, mediante un opportuna approssimazione, il valore s tale che P ( S s ) =.95. ψ S (t) = E(S) = var(s) = s = 1

2 5. Un sistema Σ è costituito da due dispositivi in parallelo D 1 e D, che entrano in funzione contemporaneamente. Siano X e Y i tempi aleatori (in giorni) di durata dei due dispositivi con densità congiunta pari a f(x, y) = 6e 3x y per x >, y > e con f(x, y) = altrove. Calcolare la funzione di sopravvivenza S X (x) del tempo X. Inoltre, per ogni z >, calcolare la funzione di rischio h Z (z) del tempo aleatorio Z di durata del sistema Σ. Infine, calcolare la probabilità α che il dispositivo D 1 si guasti prima del dispositivo D. { S X (x) = h Z (z) = α =

3 Compito del 9 Giugno 1 Soluzione. 1. Dati 4 eventi A, B, C, D con A B C e C D =, P (A) = P (A c B) = P (B c C) = p e P (D) =.1 calcolare l insieme I dei valori coerenti di p. Considerato inoltre il numero aleatorio X = A B + C D, calcolare il massimo M della previsione di X. Infine posto p =.1 calcolare la funzione di ripartizione F (x) di X. I = [ ] M = F (x) = Ω C D A B C 4. C 3 C. C 1.. C 5 Si hanno i seguenti costituenti Figura 1: Costituenti. C 1 = A = ABCD c, C = A c B = A c BCD c, C 3 = B c C = A c B c CD c, C 4 = D = A c B c C c D, C 5 = C c D c = A c B c C c D c. L assegnazione P (A) = P (A c B) = P (B c C) = p, P (D) =.1 è coerente se e solo se il seguente sistema, nelle incognite x 1, x,..., x 5, è risolubile. (S) x 1 = p x = p x 3 = p x 4 =.1 x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 = 1 x i, i = 1,,..., 5 x 1 = p x = p x 3 = p x 4 =.4 x 5 =.9 3p x i, i = 1,,..., 5 Osserviamo che il sistema (S) è risolubile se e solo se.9 3p e p. Pertanto l intervallo dei valori coerenti di p è dato da I = [,.3]. Poichè E(X) = E( A B + C D ) = p p + 3p.1 = p.1, per p =.3 si ottiene il massimo valore di E(X), ovvero M = max p I E(X) =.5. Infine, si ha C 1 = A = ABCD c, X = 1, C = A c B = A c BCD c, X =, C 3 = B c C = A c B c CD c, X = 1, C 4 = D = A c B c C c D, X = 1, C 5 = C c D c = A c B c C c D c X =, 3

4 quindi X { 1,, 1}. Posto p =.1, si ha P (X = 1) = P (C 4 ) =.1, P (X = ) = P (C C 5 ) = p +.9 3p =.9 p =.9. =.7, P (X = 1) = P (C 1 C 3 ) = p =.. Pertanto, x < 1,.1, 1 x <, F (x) =.8, x < 1, 1, x 1.. Un giocatore intende partecipare al seguente gioco. Si estraggono (senza restituzione) numeri da un urna contenente 9 numeri distinti. Il giocatore gioca 1 numeri pagando 1 euro. Indicando con X il numero dei numeri estratti fra quelli giocati, calcolare la distribuzione di probabilità di X. Le vincite si hanno solo nei casi illustrati nella Tabella 1. X Vincita (in euro) Tabella : Vincite Indicando con V la vincita aleatoria, calcolare il codominio C V dei possibili valori di V. Inoltre, per ogni valore v h C V, calcolare la probabilità p h dell evento (V = v h ). Infine, stabilire se il gioco è equo. X C V = { } p h = { } Gioco equo? Si No Il numero aleatorio X che conta i numeri giocati vincenti, ha una distribuzione H(9,, 1 9 ). Pertanto ( 1 )( 8 ) h h P (X = h) = ), h =,...,. Sia V la vincita aleatoria, si ha ( 9 con V = X = + 5 X = X = 6, V {,, 5, 1}, ) ( 9 ) 15) ( 9 ) 14) ( 9 ) P (V = ) = P (X = ) = (1 )( 8 P (V = 5) = P (X = 5) = (1 5 )( 8 P (V = 1) = P (X = 6) = (1 6 )( 8 P (V = ) ,..693,.38,.6, Poichè la previsione di V è data da E(V ) = , si ha E(G) = E(V 1) = E(V ) Pertanto il gioco non è equo. 4

5 3. Da un urna, contenente 1 pallina bianca e 3 nere, si effettuano 3 estrazioni senza restituzione. Definiti gli eventi E i = l i-ma pallina estratta è bianca, i = 1,, 3, si ponga X = E 1 + E, Y = E + E 3. Calcolare il valore atteso di X e la covarianza di X, Y. Inoltre, stabilire, motivando la risposta, se X, Y sono stocasticamente indipendenti. (nota: indicare P (X = x, Y = y) con p xy ). Si ha E(X) = Cov(X, Y ) = Indipendenza? Si, No X {, 1}, Y {, 1}, (X, Y ) {(, ), (1, ), (, 1), (1, 1)}, XY {, 1}, con P (X = ) = P (E1 cec ) = = 1 = P (X = 1), e con P (Y = ) = P (EE c 3) c = P (E 1 EE c 3) c + P (E1E c E c 3) c = = 1 = P (Y = 1) ; p = P (E c 1E c E c 3) = 3 4 = 1 4, p 1 = P (E 1 E c E c 3) = = 1 4, p 1 = P (E c 1E c E 3 ) = 3 4 = 1 4, p 11 = P (E c 1E E c 3) = = 1 4 ; P (XY = ) = p + p 1 + p 1 = 3 4, P (XY = 1) = p 11 = 1 4. Pertanto E(X) = = 1 3 = E(Y ) ; E(XY ) = = 1 4 ; quindi: Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = =. 4. Siano dati 1 numeri aleatori X 1, X,..., X 1 indipendenti e con distribuzione uniforme in [ 1, 1 ]. Posto S = X 1 + X X 1, calcolarne la funzione caratteristica ψ S (t), il valore atteso e la varianza. Infine calcolare, mediante un opportuna approssimazione, il valore s tale che P ( S s ) =.95. ψ S (t) = E(S) = var(s) = s = La funzione caratteristica di X i, per i = 1,..., 1, è data da quindi ψ i (t) = ψ i (t) = { 1 1 e itx dx, e it 1 e it 1 it, t, 1, t =. Poichè X 1, X,..., X 1 sono stocasticamente indipendenti, si ha [ ] 1 ψ S (t) = [ψ i (t)] 1 e it 1 e it 1 = it, t, 1, t =. Osserviamo che, per i = 1,..., 1, si ottiene Poniamo µ = E(X i ) = e σ = var(x i ) = 1 1. Si ha E(X i ) =, var(x i ) = 1 1. E(S) = E(X 1 ) + E(X ) E(X 1 ) = 1µ = 5

6 e var(s) = var(x 1 ) + var(x ) var(x 1 ) = 1σ = 1 1. Per il Teorema Centrale del Limite si ha che la funzione di ripartizione del numero aleatorio S 1 standardizzato, ovvero di S 1µ 1σ = S 1 1 numero aleatorio Z con distribuzione normale standard. Pertanto, può essere approssimata mediante la funzione di ripartizione di un P ( S s ) = P ( s S s ) = P ( s 1 1 S 1 1 P ( s 1 1 Z s 1 1 ) Poichè il valore z > tale che P ( z Z z ) =.95 è z 1.96 si ha 1 1 s s s 1 1 ) 5. Un sistema Σ è costituito da due dispositivi in parallelo D 1 e D, che entrano in funzione contemporaneamente. Siano X e Y i tempi aleatori (in giorni) di durata dei due dispositivi con densità congiunta pari a f(x, y) = 6e 3x y per x >, y > e con f(x, y) = altrove. Calcolare la funzione di sopravvivenza S X (x) del tempo X. Inoltre, per ogni z >, calcolare la funzione di rischio h Z (z) del tempo aleatorio Z di durata del sistema Σ. Infine, calcolare la probabilità α che il dispositivo D 1 si guasti prima del dispositivo D. { S X (x) = h Z (z) = α = Si può facilmente verificare che i numeri aleatori X, Y sono stocasticamente indipendenti con distribuzione esponenziale rispettivamente di parametri λ 1 = 3, λ =. Infatti, calcoliamo la densità f X (x) di X. Per x si ha mentre per x > si ha f X (x) = f X (x) = f(x, y)dy = Calcoliamo la densità f Y (y) di Y. Per y si ha mentre per y > si ha f Y (y) = f Y (y) = f(x, y)dx = f(x, y)dy = dy =, [ ] + 6e 3x y dy = 6e 3x e y = 3e 3x. f(x, y)dx = dx =, [ ] + 6e 3x y dx = 6e y e 3x = e y. 3 Osservando che f X (x)f Y (y) = f(x, y) per ogni (x, y) R si ha che i numeri aleatori X, Y sono stocasticamente indipendenti. Calcoliamo la funzione di sopravvivenza S X (x) = P (X > x) = 1 F X (x) di X. Si ha { 1, x S X (x) = e 3x, x >. 6

7 Per quanto riguarda Y si ha S Y (x) = { 1, y e y, y >. Osserviamo che Z = max{x, Y } è il tempo aleatorio di durata del sistema S. Ricordando che X, Y sono stocasticamente indipendenti, per z >, la funzione di sopravvivenza di Z è data da S Z (z) = P (Z > z) = P (max{x, Y } > z) = P (X > z Y > z) = = P (X > z) + P (Y > z) P (X > z)p (Y > z) = e 3z + e z e 5z, e la funzione densità di Z data da f Z (z) = S (z) = 3e 3z + e z 5e 5z. Quindi, per z >, si ha h Z (z) = f Z(z) f Z (z) = 3e 3z + e z 5e 5z e 3z + e z e 5z. Infine, la probabilità α che il dispositivo D 1 si guasti prima di D è data da α = P (X < Y ) = x 6e 3x y dxdy = [ + 6e 3x = 3e 5x dx = 3 [ e 5x 5 ] + ] + e y x = 3 5 = E(X ) E(X 1 )+E(X ). dy = 7