1 Eventi. Operazioni tra eventi. Insiemi ed eventi. Insieme dei casi elementari. Definizione di probabilità.

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1 Quella che segue e la versione compatta delle slides usate a lezioni. NON sono appunti. Come testo di riferimento si può leggere Elementi di calcolo delle probabilità e statistica Rita Giuliano. Ed ETS [i primi 4 capitoli contengono gia piu di quello che verra fatto al corso] 1 Eventi. Operazioni tra eventi. Insiemi ed eventi. Insieme dei casi elementari. Definizione di probabilità. L universo dei possibili risultati di un esperimento è detto insieme dei casi elementari, ed è indicato convenzionalmente con Ω. Esempi. 1. tiro di una moneta Ω = {T, C} 2. tiro di un dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3. tiro di 2 monete (distinguibili) Ω = {(T, C), (T, T ), (C, C), (C, T )} 4. tiro di 2 monete (indistinguibili) Ω = {(T, C), (T, T ), (C, C)} 5. tiro di due dadi (distinguibili) Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (2, 1), (2, 2),..., (6, 5), (6, 6)} In probabilità si considerano sottoinsiemi di Ω. (insiemi di casi elementari). Esempi. 1. tiro di un dado: A=esce un numero pari. Si ha A = {2, 4, 6} Ω, con Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. tiro di 2 monete: A=esce almeno una testa, allora A = {(T, C), (T, T ), (C, T )} Ω, con Ω = {(T, C), (T, T ), (C, C), (C, T )} 3. tiro di due dadi (distinguibili), ossia A=la somma fa 4, allora A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1). Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (2, 1), (2, 2),..., (6, 5), (6, 6)} Dati due sottoinsiemi A e B di Ω sono importanti le seguenti operazioni Evento contrario o complementare: A c := {ω Ω : ω A} Evento intersezione: A B := {ω Ω : ω A & ω B} Evento unione: A B := {ω Ω : ω A OR ω B} Evento differenza: A \ B =: {ω Ω : ω A & ω B} 1

2 Definizione: una probabilità è funzione da A, famiglia di sottoinsiemi di Ω, tale che Proprietà: 0 P (A) 1 per ogni A in A P (Ω) = 1 P (A B) = P (A) + P (B) P (A c ) = 1 P (A) P (A \ B) = P (A) P (A B) se A B = P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Definizione: la probabilità uniforme su uno spazio Ω finito è data da P (A) := A / Ω. Non è l unica possibilità, non sempre è quella sensata!! (meditare sugli esempi) Esempio. Estrazione semplice. Un urna contiene 5 palle Rosse, 4 palle Nere, 3 palle Bianche. Si estrae una pallina. La probabilità che esca una pallina rossa (R) è P (R) = Frequenza. Esempio: nati aprile 2002 S.Camillo Roma = Peso frequenza frequenza relativa 0 1Kg 9 9/116 = Kg 21 21/116 = Kg 50 50/116 = 0.43 > 2Kg 36 36/116 = 0.31 totale 116 Se scegliamo un neonato a caso fra i nati il aprile 2002 S.Camillo Roma la probabilità che il suo peso alla nascita fosse compreso fra 1 Kg e 1.5 Kg è 21/116. Attenzione: non vuol dire che se prendiamo un neonato a caso fra i nati in italia la probabilità che pesi 1-1.5Kg è 0.18!! 2 Calcolo combinatorio minimo. il numero delle possibili coppie (a i, b j ) con i A e j B è A B. (vedere l analogo per k-puple.) il numero di disposizioni in cui si possono disporre n oggetti è n! = n il numero dei campioni ordinati senza restituzione di ampiezza k estraibili da una popolazione di n individui è n(n 1)... (n k + 1) 2

3 il numero di modi in cui si possono estrarre k oggetti su n è ( ) n n! := k k!(n k)! Esempio. Un urna contiene 5 palle Rosse, 4 palle Nere, 3 palle Bianche. Si estraggono due palline assieme. I casi possibili sono le coppie non ordinate di palline. Immaginiamo di identificare ogni pallina con il proprio numero e il proprio colore, ossia In questo caso Urna = {R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, N 1, N 2, N 3, N 4, B 1, B 2, B 3 }. Ω = {(E i, E j ) con E i E j, E i, E j Urna}. La cardinalità di Ω si calcola osservando che coincide con il numero di modi in cui si possono estrarre 2 oggetti (le palline) su = 12 (numero totale di palline nell urna), ossia ( ) 12 Ω =. 2 L evento che escano due bianche è A = {(B 1, B 2 ), (B 1, B 3 ), (B 2, B 3 )}. Attenzione: le coppie questa volta sono non ordinate! Quindi P (A) = 3 ( 12 2 ). Si noti che la cardinalità di A coincide con il numero in cui si possono scegliere 2 oggetti su 3, ossia ( ) 3 3! A = = 2 2!(3 2)! = = 3. 3 Probabilità condizionale, formula di Bayes, formula delle probabilità totali, eventi indipendenti. Definizione: la probabilità condizionale di A dato B è P (A B) := P (A B) P (B) (se P (B) > 0). Proprietà: Se P (H) > 0 e P (H c ) > 0 (Teorema di Bayes) Più in generale P (B A) = P (A B) P (B) P (A) (se P (A) > 0 e P (B) > 0). P (A) = P (A H)P (H) + P (A H c )P (H c ), P (H A) = P (A H)P (H) P (A H)P (H) + P (A H c )P (H c ). P (A) = P (A H 1 )P (H 1 ) + P (A H 2 )P (H 2 ) + + P (A H n )P (H n ) 3

4 se P (H i ) > 0 per i = 1,..., n e H i H j = per ogni i j. Definizione: A e B sono detti indipendenti se P (A B) = P (A)P (B). Esempio. Una fabbrica produce televisori in due stabilimenti. La frazione di televisori difettosi nella produzione del primo stabilimento è 1/200 e, nel secondo, 1/100. Nel primo stabilimento si producono 5000 televisori nel secondo I televisori prodotti vengono raccolti assieme in un unico magazzino. a) Qual è la probabilità di prelevare un televisiore proveniente dal primo stabilimento? La probabilità in questo caso non è altro che n.primostabilimento = 5000 totale = 1 4. b) Qual è la probabilità che un televisore prelevato a caso dal magazzino sia difettoso? D =difettoso, I =primo stabilimento, II =secondo stabilimento P (D) = P (D I)P (I) + P (D II)P (II) = P (D I)P (I) + P (D II)(1 P (I)) poiché P (D I) = 1/200 e P (D II) = 1/100 si ha P (D) = = c) Nell ipotesi che il televisore scelto sia difettoso, qual è la probabilità che esso provenga dal primo stabilimento? P (D I)P (I) P (I D) = = 1 1 = 1 P (D) Variabili aleatorie discrete: definizione, densità di probabilità. Una variabile aleatoria discreta è una funzione X : (Ω, A, P ) {x 1,..., x N }. Definizione: la densità di probabilità di una v.a. discreta X calcolata in x i è Esempi: p(x i ) = P {ω : X(ω) = x i }. 1. tiro due dadi (indipendenti): X =somme dei numeri ottenuti, X=numero ottenuto nel primo lancio. 2. tiro 4 monete (indipendenti) equilibrate: X =numero di teste ottenute. 5 Speranza matematica (media), varianza e momenti per variabili aleatorie discrete. Definizioni: la media (valore atteso) di X è: E(X) = i x i p(x i ), 4

5 il momento k-esimo di X è: E(X k ) = i x k i p(x i ), la varianza di X è: V ar(x) = i (x i E(X)) 2 p(x i ) Proprietà: Inoltre se a e b sono costanti: V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2. E(aX + b) = ae(x) + b, V ar(ax + b) = a 2 V ar(x). Media e varianza empirica. Ogni elemento ha lo stesso peso. X = 1 n s 2 = 1 n x i x 2 i X 6 Vettori di variabili aleatorie discrete; leggi congiunte e indipendenza; tabelle di contingenza. Un vettore aleatorio è una funzione (X, Y ) : Ω R R. Caso discreto: i possibili valori di X sono un numero finto (o numerabile) di punti {x 1,..., x n } quelli di Y anche, {y 1,..., y m }. Definizione: la densità di probabilità congiunta di un vettore discreto (X, Y ) calcolata in(x i, y j ) è: le densità marginali sono definite come: P (X = x i, Y = y j ) = p(x i, y j ). P (X = x i ) = j p(x i, y j ), P (Y = y j ) = i p(x i, y j ). La tabella di probabilità è un modo per descrivere la distribuzione di un vettore discreto. Esempio. La distribuzione del vettore aleatorio (X, Y ) è definita da Y X

6 I possibili valori di X sono { 1, 0, 1}, mentre i possibili valori di Y sono { 2, 0, 2}. Ad esempio P {X = 1, Y = 2} = 0.3 mentre P {X = 1, Y = 0} = 0. Invece P {X = 1} = P {X = 1, Y = 2} + P {X = 1, Y = 0} + P {X = 1, Y = 0} = = 0.4. Definizione: X e Y sono indipendenti se P (X = x i, Y = y j ) = P (X = x i )P (Y = y j ) per ogni possibile coppia di valori (x i, y j ). Esempi sulle tabelle di contingenza. X e Y non sono indipendenti. X e Y sono indipendenti XY XY /6 1/12 1/12 1/3 0 1/6 1/12 1/12 1/3 1 1/6 1/12 1/12 1/3 1/2 1/4 1/4 7 Covarianza e correlazione per variabili aleatorie discrete. Momento misto: E(XY ) := ij x i y j p(x i, y j ). Covarianza: Cov(X, Y ) := ij (x i E(X))(y j E(Y ))p(x i, y j ). Coefficiente di correlazione lineare: R(X, Y ) := Cov(X, Y ) V ar(x)v ar(y ). Proprietà: Piu in generale: Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ), 1 R(X, Y ) 1. 6

7 Prop. E[f(X, Y )] = ij f(x i, y j )p(x i, y j ). In particolare: se m 1 := E[X] e m 2 := E[X 2 ], risulta che V ar(x) = E[(X m 1 ) 2 ], V ar(y ) = E[(Y m 2 ) 2 ] Cov(X, Y ) = E[(X m 1 )(Y m 2 )]. Esempio. Si consideri la distribuzione del vettore aleatorio (X, Y ) data da Y X /10 1/5 0 1/5 1/5 1 1/5 1/10 a) Calcolare P {Y = 0},P {Y = 1}. Per calcolare P {Y = 0} occorre sommare la prima colonna mentre per P {Y = 1} la seconda colonna. In entrambi i casi la somma risulta essere 1/2. b) Calcolare P {X 0}. P {X 0} = P {X = 0} + P {X = 1} = ( ) + ( ) = c) Calcolare E[X]. Si ha E[X] = 1 3/ / /10 = 0. d) Calcolare V ar[x]. Si ha V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2. Siccome E(X) = 0 basta calcolare E(X 2 ) = ( 1) 2 3/ / /10 = 3/5. Quindi V ar(x) = 3/5. e) Calcolare Cov(X, Y ).Cov(XY ) = E(XY ) E(X)E(Y ). Siccome E(X) = 0 basta calcolare E(XY ) = = 1/10. Se (X, Y ) sono v.a. allora E[aX + by ] = ae[x] + be[y ]. Variabili aleatorie indipendenti: Se X e Y sono variabili aleatorie indipendenti allora Se X e Y sono variabili aleatorie allora Se X e Y sono variabili aleatorie indipendenti Cov(X, Y ) = 0. V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ) V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ). Vettori di variabili aleatorie discrete (II) Un vettore aleatorio è una funzione (X 1, X 2,..., X n ) : Ω R n. Caso discreto: i possibili valori di X i sono un numero finto (o numerabile) di punti {x i,1, x i,2,... } (i = 1, 2,..., n). Definizione: la densità di probabilità congiunta di un vettore discreto (X 1,..., X n ) calcolata in (x 1,in,..., x n,in ) è: p X1,...,X m (x 1,in,..., x n,in ) = P (X 1 = x 1,i1,..., X n = x n,in ). 7

8 le densità marginali sono definite come: p X1 (x 1,i1 ) := P (X 1 = x 1,i1 ) = p X1 (x 2,i2 ) := P (X 2 = x 2,i2 ) = i 2,i 3,... i 1,i 3,i 4,... etc. Indipendenza (II). Definizione. X 1,..., X n v.a. discrete sono indipendenti se p(x 1,i1,..., x n,in ), p(x 1,i1,..., x n,in ), P (X 1 = x 1,i1,..., X n = x n,in ) = P (X 1 = x 1,i1 )P (X 2 = x 2,i2 )... P (X n = x n,in ) per ogni possibile n-upla di valori (x 1,i1,..., x n,in ). Se (X 1, X 2,..., X n ) vettore aleatorio allora Varianza della somma: E[X 1 + X X n ) = E[X 1 ] + E[X 2 ] + + E[X n ]. V ar(x 1 + X X n ) = Se sono variabili aleatorie indipendenti allora V ar( V ar(x i ) + 2 X i ) = V ar(x i ) j=i+1 Cov(X i, X j ) 8 Legge binomiale. La probabilità di avere k successi (k = 0, 1,..., n) su n esperimenti (tiri) indipendenti, dove in ogni esperimento la probabilità di successo è p è ( ) n p k (1 p) n k. k Si faccciano n esperimenti indipendenti con probabilità di successo p. Sia X i la variabile aleatoria che vale 1 se l i esimo esperimento ha dato esito positivo (successo) 0 se ha dato esito negativo. Allora la variabile T = n X i conta il numero di successi su n esperimenti e ( ) n P {T = k} = p k (1 p) n k k = 0,..., n k inoltre e E(T ) = np V ar(t ) = np(1 p). 8

9 9 Variabili aleatorie assolutamente continue 9.1 Definizione, densità di probabilità e funzione di ripartizione. Funzione di ripartizione Se X ha densità f allora e f è una densità se f(x) 0 per ogni x + f(x)dx = 1 F X (x) = P {X x}. F (x) = x f(t)dt P {a < X B} = F (b) F (a) = b a f(t)dt Si ha che Esempi: (1) distribuzione uniforme su [0, 1]. (2) distribuzione uniforme su [a, b] P {X A} = (3) distribuzione esponenziale di parametro λ > 0 A f(x) = I (0,1) (x); f(x)dx f(x) = 1 b a I (a,b)(x); f(x) = λe λx I (0,+ ) (x); Se con σ > 0 allora Y = σx + m { F Y (x) := P {Y x} = P X x m } σ ( x m ) = F X. σ 9.2 Media, momenti e varianza per variabili aleatorie con densità. In generale E(X) = E(X k ) = E(ψ(X)) = xf(x)dx x k f(x)dx ψ(x)f(x)dx 9

10 Nota: perche siano ben definiti serve che + x k f(x)dx < +, + ψ(x) f(x)dx < + V ar(x) = E[(X E(X)) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2 Proprietà: Se a e b sono costanti: E(aX + b) = ae(x) + b V ar(ax + b) = a 2 V ar(x). 9.3 Indipendenza. Definizione: X 1,..., X n sono indipendenti se P {X 1 x 1,..., X n x n } = P {X 1 x 1 } P {X n x n }. per ogni n-upla (x 1,..., x n ). In generale E[X X n ] = E[X 1 ] + + E[X n ]. Vale, come nel caso discreto, che V ar(x 1 + X 2 ) = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) dove Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ] e E[XY ] definita come integrale doppio (sorvolare!). Se X 1,..., X n sono indipendenti V ar(x X n ) = V ar(x 1 ) + + V ar(x n ). 10 Legge gaussiana. La densità gaussiana di parametri (m, σ 2 ) è: Se X è G(m, σ) allora Se Y è G(0, 1) f(x) = è G(m, σ). Eesempio misurazioni affette da errori: 1 (x m)2 e 2σ 2. 2πσ 2 E(X) = m V ar(x) = σ 2. X = m + σy X i = m + σy i dove Y i indipendenti tutte con legge G(0, 1). Proprietà: è una gaussiana di media m e di varianza σ 2 /n. m n = 1 n X i 10

11 11 Campioni gaussiani. Stimatori puntuali, intervalli di confidenza per la media. Media incognita e varianza nota. Se X 1,..., X n sono indipendenti identicamente distribuite con legge gaussiana di media incognita m e di varianza nota σ 2 allora m n = 1 n è uno stimatore puntuale della media e un intervallo di confindenza α (con 0 < α < 1) è dato da X i [m n c ασ n, m n + c ασ n ]. In questo caso c α va determinato determinato (vedere le tavole) in modo che Φ(c α ) = 1 α 2. (con Φ funzione di ripartizione di una Gaussiana di media 0 e varianza 1). Media incognita e varianza incognita. Se X 1,..., X n sono indipendenti identicamente distribuite con legge gaussiana di media incognita m e di varianza incognita σ 2 allora m n = 1 n è uno stimatore puntuale della media e un intervallo di confindenza α (con 0 < α < 1) per la media è dato da [m n c αs n, m n + c αs n ]. n n In questo caso X i s n = 1 (X i m n ) n 1 2 e c α va determinato determinato (vedere le tavole) in modo che T n 1 (c α ) = 1 α 2. dove T n 1 è la funzione di ripartizione di una T di Student con n 1 gradi di libertà. Può essere utile osservare che s 2 n = n n 1 ( 1 Xi 2 m n ). n 11