1 quartile. 2 quartile. 3 quartile. 1 percentile. 99 percentile. 5 percentile. 95 percentile. 10 percentile. 90 percentile.

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1 ESERCIZIO 1 Il test di ammissione alla prestigiosa Università STUDY produce punteggi che seguono una distribuzione normale con media 500 e scarto quadratico medio 100. Il punteggio necessario per superare il test è stabilito pari a quartile 2 quartile 3 quartile 1 percentile 99 percentile 5 percentile 95 percentile 10 percentile 90 percentile 25 percentile 50 percentile 1 di 9

2 ESERCIZIO 2 Si supponga che il numero di km percorsi da un'autovettura prima che la sua batteria sia esausta si distribuisca come una variabile aleatoria esponenziale di media km. a) Se una persona intraprende un viaggio di 5000 km qual è la probabilità che lo porti a termine senza sostituire la batteria? b) Qual è la probabilità che la batteria appena acquistata duri più di km? b) Qual è la probabilità che la batteria appena acquistata duri esattamente km? ESERCIZIO 3 Sia X una v.c. uniforme continua sull'intervallo [0, 10]. Scrivere la funzione di densità e tracciarne il grafico: Scrivere la funzione di ripartizione e tracciarne il grafico: ESERCIZIO 4 Lo studente Pietro Pane arriva alla fermata dell'autobus per l'università alle ore 8:00 e sa che passerà un autobus in un momento distribuito uniformemente tra le 8:00 e le 8:20. a) Qual è la probabilità che debba aspettare più di 10 minuti? 2 di 9

3 b) Qual è la probabilità che debba aspettare non più di 10 minuti? Corso di Statistica, II parte c) Qual è la probabilità che debba aspettare esattamente 10 minuti? d) Qual è la probabilità che debba aspettare tra 5 è 10 minuti? e) Qual è la probabilità che debba aspettare più di 15 minuti? f) Se alle 8:10 l'autobus non è ancora arrivato, qual è la probabilità che tu debba aspettare almeno altri 5 minuti? ESERCIZIO 5 Si consideri una variabile casuale X con valore atteso pari a 33 e varianza pari a 16. Si calcolino le seguenti probabilità: P(31 < X < 35) P(29 < X < 37) P(27 < X < 39) P(25 < X < 41) P(23 < X < 43) P(21 < X < 45) P(19 < X < 47) P(17 < X < 49) 3 di 9

4 Rappresentare graficamente su un grafico l'andamento delle probabilità calcolate al punto precedente, utilizzando in ascissa il valore dell'ampiezza dell'intervallo e in ordinate il valore della probabilità (limite inferiore) corrispondente: limite inferiore probabilità Ampiezza intervallo ESERCIZIO 6 La compagnia area EasyFly mette decide di sorteggiare 5 voli gratis tra il milione di clienti che hanno volato con la compagnia durante il Sapendo che durante il 2008 ci sono stati 750'000 passeggeri di sesso maschile e 250'000 di sesso femminile, si utilizzi il modello binomiale per la distribuzione di probabilità numero di premi vinti da uomini. a) Quali sono i parametri della variabile casuale e quanto valgono valore atteso e varianza? b) Costruire la distribuzione di probabilità della variabile casuale numero di premi vinti da uomini : 4 di 9

5 c) Si consideri la variabile casuale numero di premi vinti da uomini (costruita al punto precedente). Si calcolino le seguenti probabilità sia applicando la disuguaglianza di Cebicev (ipotizzando di conoscere cioè solo il valore atteso e la varianza della variabile) che sfruttando la distribuzione di probabilità ottenuta al punto precedente: Teorema di Cebicev Distribuzione variabile casuale P(3.27 < X < 4.23) P(2.78 < X < 4.72) P(2.30 < X < 5.20) P(1.81 < X < 5.69) P(1.33 < X < 6.17) P(0.85 < X < 6.65) P(0.36 < X < 7.14) d) Rappresentare graficamente su un grafico l'andamento delle probabilità calcolate al punto precedente, utilizzando in ascissa il valore dell'ampiezza dell'intervallo e in ordinate il valore della probabilità (limite inferiore) corrispondente e differenziando le due colonne (probabilità calcolate in base al teorema di Cebicev e probabilità calcolate sfruttando la distribuzione della variabile casuale) usando due linee di differente colore: limite inferiore probabilità Ampiezza intervallo 5 di 9

6 ESERCIZIO 7 La seguente tabella riporta la distribuzione di probabilità congiunta della variabile casuale doppia dove X=valutazione degli studenti sulla chiarezza espositiva del docente di Statistica ed Y=valutazione degli studenti sulla capacità del docente di Statistica di suscitare interesse, stimata a partire dai questionari per la valutazione della didattica: X Y a) Calcolare il valore atteso della componente X b) Calcolare il valore atteso della componente Y c) Calcolare la varianza della componente X d) Calcolare la varianza della componente Y 6 di 9

7 e) Calcolare i valori attesi delle distribuzioni condizionate di X Corso di Statistica, II parte f) Calcolare le varianze delle distribuzioni condizionate di X g) Verificare il legame tra il valore atteso delle distribuzioni condizionate della X e il valore atteso della distrbuzione marginale della X (analogo della proprietà dell'associatività della media visto nella prima parte del corso) 7 di 9

8 h) Verificare il legame esistente tra la varianza della distribuzione marginale della X e le varianze e i valori attesi delle distribuzioni condizionate della X (analogo della proprietà della scomposizione della devianza visto nella prima parte del corso) i) Verificare se le due componenti X ed Y sono indipendenti 8 di 9

9 l) Calcolare la covarianza tra X e Y Corso di Statistica, II parte m) Calcolare la correlazione tra X e Y 9 di 9