STATISTICA: esercizi svolti sulla DISTRIBUZIONE NORMALE

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1 STATISTICA: esercizi svolti sulla DISTRIBUZIONE NORMALE 1

2 2 Tavole della normale standard. Φ(x) = x 1 2π e t2 2 dt z

3 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 3 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 1. Sia Z un carattere distribuito secondo la normale standardizzata. Determinare la frequenza relativa dei seguenti intervalli: a) (, 2); b) (, 2.1); c) (, 2.18); d) (, 2.1); e) ( 2.18, + ); f) (1.15, 2); g) ( 2, 1.15); h) (0, 2.21); i) ( 2.21, 2.21); l) (, 5). Svolgimento Svolgimentyo punto a) Avendo Z una distribuzione normale standardizzata, il valore della frequenza relativa associata all intervallo (, 2) coincide con l area sottesa dalla curva normale in corrispondenza dell intervallo (, 2). Il valore di tale area coincide con la frequenza relativa cumulata F r{z 2} = Φ(2). Dalle tavole della normale standard si ottiene: Φ(2) = Svolgimento punto b) Dalle tavole della normale standard si ottiene: F {Z 2.1} = Φ(2.1) = Svolgimento punto c) Dalle tavole della normale standard si ottiene: Fr{Z 2.18} = Φ(2.18) = Svolgimento punto d) La frequenza relativa associata all intervallo (, 2.1) è data da: Fr{Z 2.1} = Φ( 2.1). Si ricordi che, grazie alla simmetria della distribuzione normale standardizzata, si ha: Φ( z) = 1 Φ(z) z > 0. (1) La validità di tale relazione è osservabile anche dal seguente grafico:

4 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 4 Pertanto si ha: Φ( 2.1) = 1 Φ(2.1) = = Svolgimento punto e) La frequenza relativa associata all intervallo ( 2.18, ) coincide con F r{z > 2.18}. Si osservi che: 1 = Fr{Z 2.18} + Fr{Z > 2.18}. Alla luce di ciò: Fr{Z > 2.18} = 1 Fr{Z 2.18}. (2) Essendo Z distribuita come una normale standard, tenendo conto della (1), la (2) può essere così riscritta: Fr{Z > 2.18} = 1 Φ( 2.18) = 1 [1 Φ(2.18)] = Φ(2.18) = = Fr{Z 2.18}. Svolgimento punto f) Si osservi che: Fr{1.15 < Z < 2} = Fr(Z < 2) Fr{Z 1.15} (3) Essendo Z distribuita secondo la normale standard, la (3) può essere così riscritta: Fr{1.15 < Z < 2} = Φ(2) Φ(1.15) = = Svolgimento punto g) Si osservi che: Fr{ 2 < Z < 1.15} = Fr(Z < 1.15) Fr{Z 2} (4)

5 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 5 Essendo Z distribuita secondo la normale standard, tenendo conto della (1), la (4) può essere così riscritta: Fr{ 2 < Z < 1.15} = Φ( 1.15) Φ( 2) = 1 Φ(1.15) [1 Φ(2)] = Φ(2) Φ(1.15) = = = Fr{1.15 < Z < 2}. Svolgimento punto h) Si osservi che: Fr{0 < Z < 2.21} = Fr(Z < 2.21) Fr{Z 0} (5) Essendo Z distribuita secondo la normale standard la (5) può essere così riscritta: Fr{0 < Z < 2.21} = Φ(2.21) Φ(0) = = Svolgimento punto i) Si osservi che: Fr{ 2.21 < Z < 2.21} = Fr(Z < 2.21) Fr{Z 2.21} (6) Essendo Z distribuita secondo la normale standard, tenendo conto della (1), la (6) può essere così riscritta: F r{ 2.21 < Z < 2.21} = Φ(2.21) Φ( 2.21) = Φ(2.21) [1 Φ(2.21)] = 2 Φ(2.21) 1 = = Svolgimento punto l) La frequenza relativa associata alla semiretta (, 5) coincide con Fr(Z 5). Essendo il carattere Z distribuito secondo una normale standard, si ha che: Fr(Z 5) = Φ(5). Si ossevi che le tavole di pagina 2 non riportano il valore della normale standard in corrispondenza di z = 5. Tuttavia si ricordi che: 0 Φ(z) 1 z (, ) ; Φ(z 1 ) > Φ(z 2 ) se e solo se z 1 > z 2. Alla luce di ciò, essendo Φ(4.09) = 1, a maggior ragione si avrà Φ(5) = 1. Concludendo: Fr(Z < 5) = 1.

6 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 6 2. L area sottostante la curva normale standardizzata negli intervalli (0, z 1 ), (, z 2 ) e ( 1.15, z 3 ) è pari rispettivamente a 0.379, e Determinare z 1, z 2 e z 3. Svolgimento Si consideri l intervallo (0, z 1 ). L area sottostante la curva normale in tale intervallo è data da: Fr{0 Z z 1 } = Φ(z 1 ) Φ(0) = Φ(z 1 ) 0.5. Il testo dell esercizio specifica che Φ(z 1 ) 0.5 = e di conseguenza z 1 deve essere tale da soddisfare la seguente equazione: Φ(z 1 ) = (7) Il valore z 1 che soddisfa la (7) viene individuato ricercando all interno delle tavole della normale standard il valore Φ(z 1 ) = e risalendo da questo al valore di z 1. Per chiarire meglio questo procedimento, di seguito riportiamo una porzione delle tavole della normale standard in cui sono evidenziati i passaggi da compiere: Concludendo si ha: z 1 = In altre parole z 1 = 1.17 è quel valore della distribuzione normale standard tale che Φ(1.17) = Si consideri l intervallo (, z 2 ). L area sottostante la curva normale in tale intervallo è data da: Fr{Z z 2 } = Φ(z 2 ). Il testo dell esercizio specifica che z 2 deve soddisfare la seguente equazione: Φ(z 2 ) = (8)

7 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 7 Il valore z 2 che soddisfa la (8) viene individuato ricercando all interno delle tavole della normale standard il valore Φ(z 2 ) = e risalendo da questo al valore di z 2. Tale procedimento è di seguito schematizzato: Concludendo si ha: z 2 = Si consideri l intervallo ( 1.15, z 3 ). L area sottostante la curva normale in tale intervallo è data da: Fr{ 1.15 Z z 3 } = Φ(z 3 ) Φ( 1.15) = Φ(z 3 ) 1 + Φ(1.15) = Φ(z 3 ) = Φ(z 3 ) Il testo dell esercizio specifica che Φ(z 3 ) = e di conseguenza z 3 deve essere tale da soddisfare la seguente equazione: Φ(z 3 ) = 0.6. (9) Il valore z 3 che soddisfa la (9) si dovrebbe individuare ricercando all interno delle tavole della normale standard il valore Φ(z 3 ) = 0.6 e risalendo da questo al valore di z 3. In questo caso, tuttavia, all interno delle tavole della normale standard, non è possibile individuare un valore di Φ(z) pari a 0.6. I due valori di Φ(z) più prossimi a 0.6 sono evidenziati nel seguente prospetto:

8 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 8 In questo caso, si hanno due alternative: si considera tra i valori e quello più vicino a 0.6, vale a dire e si approssima z 3 con 0.25; si determina l equazione della retta passante per i punti noti (0.25, ) e (0.26, ) e dall equazione di tale retta si desume il valore (approssimato) di z 3. Graficamente: Φ(z) z Si ricorda che, dati due punti nel piano cartesiano A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ), la retta

9 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 9 passante per A e B ha equazione: y = y 1 + (x x 1 ) y 2 y 1 x 2 x 1. Nel presente caso A = (0.25, ) e B = (0.26, ), di conseguenza: y = (x 0.25) y = (x 0.25) 0.39 y = x. In corrispondenza di y = 0.6 si ottiene la seguente equazione dalla quale, in definitiva, si ottiene: 0.6 = x z 3 = Sia X una distribuzione normale con media µ = 5 e scarto quadratico medio = 1. a) Si determini la frequenza relativa di X 4, 5 e 4 X 6. b) Di quanto deve aumentare µ, fisso restando = 1, affinché la frequenza relativa di X 4.5 risulti 0.2? c) Di quanto deve diminuire, fisso restando µ = 5, affinché la frequenza relativa di X 4.5 sia 0.2? Svolgimento Svolgimento punto a) Dato che X è una variabile normale di media µ = 5 e scarto quadratico medio = 1 si ha che Z = X 5 1 è una variabile normale standardizzata. Si ha di conseguenza che: { X 5 Fr{X 4.5} = Fr } = Fr{Z 0.5} = Φ( 0.5). 1 1 Dalle tavole della normale standard si ottiene che: Φ( 0.5) = 1 Φ(0.5) = = Fr{4 X 6} { 4 5 = Fr X } = Fr{ 1 Z 1} = Φ(1) Φ( 1) = Φ(1) [1 Φ(1)] = 2 Φ(1) 1 = 2 (0.8413) 1 =

10 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 10 Svolgimento punto b) Si vuole determinare il valore di µ tale per cui: Fr{X 4.5} = 0.2. (10) A tal fine si osservi che l equazione (10) può essere riscritta in questo modo: { } (X µ) (4.5 µ) Fr = 0.2. (11) 1 1 Dato che X è normale di media µ e scarto quadratico medio = 1, la (11) coincide con: Φ(4.5 µ) = 0.2. (12) Utilizzando la notazione z = (4.5 µ), il valore di z che soddisfa la (12) si dovrebbe individuare ricercando all interno delle tavole della normale standard il valore Φ(z) = 0.2 e risalendo da questo al valore di z. In questo caso, tuttavia, all interno delle tavole della normale standard, non è possibile individuare un valore di Φ(z) pari a 0.2 in quanto tale valore risulta minore di 0.5. In forza della simmetria della distribuzione normale si ha però che z può essere determinato risolvendo la seguente equazione Φ(z 2 ) = 0.8 e ricordando che z = z 2. Si procede dunque a determinare z 2 utilizzando il metodo dell interpolazione. Nel presente caso Di conseguenza si ha: (x 1, y 1 ) = (0.84, ) e (x 2, y 2 ) = (0.85, ). y = y 1 + (x x 1 ) y 2 y 1 x 2 x y = (x 0.84) y = x. In corispondenza di y = 0.8 si ottiene la seguente equazione dalla quale, in definitiva, si ottiene: Ricordando che z = (4.5 µ) si ha: 0.8 = x z 2 = z = z 2 = µ = = Svolgimento punto c) Si vuole determinare il valore di tale per cui: Fr{X 4.5} = 0.2. (13) A tal fine si osservi che l equazione (13) può essere riscritta in questo modo: { } (X 5) (4.5 5) Fr = 0.2. (14)

11 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 11 Dato che X è normale di media 5 e scarto quadratico medio, la (14) coincide con: ( ) 0.5 Φ = 0.2. (15) Utilizzando la notazione z = 0.5, sfruttando i calcoli effettuati in precedenza, il valore di z che soddisfa la (15) risulta pari a Si ha dunque che: = 0.5 = = = Sia X una distribuzione normale di media µ = 8 e varianza 2 = 9. Determinare la frequenza relativa di X 12 e 4 X 10. Svolgimento Essendo X una variabile normale di media µ = 8 e varianza 2 = 9, si ha che la variabile X 8 3 ha distribuzione normale standardizzata. In tal caso si ha: Fr{X 12} = 1 Fr{X < 12} { X 8 = 1 Fr{X 12} = 1 Fr 3 { = 1 Fr Z 4 } = 1 Φ(1. 3) } 3 = 1 Φ(1.33) = = Fr{4 X 10} = Fr{X 10} Fr{X < 4} = Fr{X 10} Fr{X 4} { X 8 = Fr 10 8 } { X 8 Fr { = Fr Z 2 } { Fr Z 4 } } 3 = Φ(0. 6) Φ( 1. 3) = Φ(0.66) [1 Φ(1.33)] = = Sia data una distribuzione normale di media µ = 100 e varianza ignota. Sapendo che il terzo quartile è pari a 107, determinare lo scarto quadratico medio di X.

12 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 12 Svolgimento Si rammenti che il terzo quartile Q 3 = 107 concide con quel valore tale per cui: Fr{X 107} = (16) Essendo X una variabile normale di media µ = 100 e scarto quadratico medio, si ha che la variabile X 100 ha distribuzione normale standardizzata. La (16) può essere dunque così riscritta: { } X Fr = 0.75 { } Fr Z = 0.75 ( ) 7 Φ = (17) Utilizzando la notazione z = 7 ;, il valore di z che soddisfa la (17) viene determinato utilizzando le tavole e sfruttando il metodo dell interpolazione. Nel presente caso Di conseguenza si ha: (x 1, y 1 ) = (0.67, ) e (x 2, y 2 ) = (0.68, ). y = y 1 + (x x 1 ) y 2 y 1 x 2 x y = (x 0.67) y = x. In corispondenza di y = 0.75 si ottiene la seguente equazione dalla quale, in definitiva, si ottiene: Ricordando che z = 7 si ha: 0.75 = x z = = = Si supponga che il peso in grammi di una confezione di merendine segua una distribuzione normale. Sapendo che il 2.5 % delle merendine prodotte ha peso inferiore ai 250 grammi e il 3% delle merendine prodotte ha peso superiore a 260 g., determinare la media e lo scarto quadratico medio del peso delle merendine.

13 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 13 Svolgimento Per rendere più chiaro lo svolgimento dell esercizio, ricaviamo preliminarmente i valori di z 1 e z 2 tali per cui: Φ(z 1 ) = ; Φ(z 2 ) = Si determina in primo luogo il valore di z 1. In forza della simmetria della distribuzione normale, si ha che: z 1 = z 3 dove z 3 è tale per cui Φ(z 3 ) = = Dalle tavole della normale standard si ottiene che z 3 = 1.96 e, di consegeunza, z 1 = Si determina ora il valore di z 2. Sfruttando le tavole della normale standard ed utilizzando il metodo della interpolazione si ha che: (x 1, y 1 ) = (1.88, ) e (x 2, y 2 ) = (1.89, ). y = y 1 + (x x 1 ) y 2 y 1 x 2 x y = (x 1.88) y = x. In corispondenza di y = 0.7 si ottiene la seguente equazione dalla quale, in definitiva, si ottiene: Ricapitolando: Il testo dell esercizio specifica che: Fr{X 250} = Fr{X > 260} = = x z 2 = Φ( 1.96) = 0.025;. (18) Φ(1.8814) = (19) Fr{X 250} = = Fr{X 260} = 0.97 Essendo X una variabile normale di media µ e scarto quadratico medio, si ha che la variabile Z = X µ ha distribuzione normale standardizzata. In forza di tale risultato, il sistema sopra riportato può essere riscritto come di seguito: { X µ Fr 250 µ } = { X µ Fr 260 µ } = 0.97

14 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 14 { Fr Z 250 µ } = { Fr Z 260 µ } = 0.97 ( ) 250 µ Φ = ( ) 260 µ Φ = 0.97 Ricordando la (18) e la (19), il sistema (20) diventa: 250 µ 260 µ µ = = 1.96 = (20) = µ = µ = = 10 = = Concludendo, la distribuzione del peso in grammi di una confezione di merendine è normale di media µ = e scarto quadratico medio = La distribuzione di frequenze del carattere continuo X è riportata nella seguente tabella: classi totale frequenze (n i ) a) Verificare se la distribuzione possa ritenersi normale. b) Si calcolino le frequenze che si dovrebbero avere nelle singole classi secondo il modello e le si confrontino con le frequenze effettive. Svolgimento Svolgimento punto a) In primo luogo si ricavano media e varianza del carattere X. A tal fine si predispone la seguente tabella nella quale sono riportati anche dei calcoli che ci saranno

15 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 15 utili in seguito: i classi n i C i valore centrale x i n i x 2 i n i ampiezza f s f rs tot Si ha che: µ = 1 7 i=1 x i n i = 7000 = = 1 7 (x 2 i n i ) 14 2 i=1 = = = 22.4 = In primo luogo si confronta il grafico della distribuzione di frequenze relative del carattere X con quella implicita nel modello normale di media 14 e scarto quadratico medio : 0,1 f rs 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 x

16 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 16 Dal grafico si osserva che la distribuzione reale del carattere X può ritenersi ben approssimata dal modello normale di media 14 e s.q.m Per verificare con più rigore quanto appena intuito è tuttavia necessario effettuare ulteriori analisi. La prima è basata sulla proprietà degli intervalli tipici della distribuzione normale. Si ricorda che se la variabile Y si distribuisce secondo la normale di media µ e varianza 2, allora la frequenza relativa associata agli intervalli tipici è data da: (µ ; µ ), (µ 1 ; µ + 1 ), (µ 2 ; µ + 2 ), (µ 3 ; µ + 3 ) Fr{µ Y µ } = 0.5 ; Fr{µ 1 Y µ + 1 } = ; Fr{µ 2 Y µ + 2 } = ; Fr{µ 3 Y µ + 3 } = Per la distribuzione di frequenze riportata dal testo dell esercizio, gli intervalli tipici assumono i valori: (µ ; µ ) = ( ; ) = ( ; ) ; (22) (µ 1 ; µ + 1 ) = ( ; ) = (9.2671; ) ; (23) (µ 2 ; µ + 2 ) = ( ; ) = (4.5342; ) ; (24) (µ 3 ; µ+3 ) = ( ; ) = ( ; ). (25) Ragionevolmente, la distribuzione di X può ritenersi normale se i valori delle frequenze relative associate agli intervalli (22), (23), (24) e (25) sono molto prossime a quelli riportati nelle equazioni (21). Per la distribuzione di frequenze riportata dal testo dell esercizio, le frequenze relative associate agli intervalli tipici sono pari a: (21) Fr{ X } = Fr{X } Fr{4.7329} = ( ) ( ) = = = Fr{ X } = Fr{X } Fr{9.2671} = ( ) ( ) = = =

17 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 17 Fr{ X } = Fr{X } Fr{4.5342} = = ( ) = ( ) 45 4 = Fr{ X } = 1. Quanto appena ricavato può essere sintetizzato nel seguente prospetto: intervallo tipico frequenze relative frequenze relative del modello normale della distribuzione reale ( ; ) (9.2671; ) (4.5342; ) ( ; ) Le frequenze relative appena ricavate sembrano aderire a quelle previste dal modello normale, si può di conseguenza ritenere che la distribuzione di X è approssimativamente normale di media µ = 14 e varianza 2 = Svolgimento punto b) Supponendo che la distribuzione di X sia esattamente normale di media 14 e scarto quadratico medio , si ha che: Fr{0 X < 4} = Fr{X 4} Fr{X 0} { X 14 = Fr } { X 14 Fr } = Fr{Z 2.11} Fr{Z 2.96} = Φ( 2.11) Φ( 2.96) = 1 Φ(2.11) 1 + Φ(2.96) = = Fr{4 X < 8} = Fr{X 8} Fr{X 4} { X 14 = Fr } { X 14 Fr } = Fr{Z 1.27} Fr{Z 2.11} = Φ( 1.27) Φ( 2.11) = 1 Φ(1.27) 1 + Φ(2.11) = =

18 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 18 Fr{8 X < 12} = Fr{X 12} Fr{X 8} { } { X X 14 = Fr Fr } = Fr{Z 0.42} Fr{Z 1.27} = Φ( 0.42) Φ( 1.27) = 1 Φ(0.42) 1 + Φ(1.27) = = Fr{12 X < 16} = Fr{X 16} Fr{X 12} { } { } X X = Fr Fr = Fr{Z 0.42} Fr{Z 0.42} = Φ(0.42) Φ( 0.42) = Φ(0.42) 1 + Φ(0.42) = = Fr{16 X < 20} = Fr{X 20} Fr{X 16} { } { } X X = Fr Fr = Fr{Z 1.27} Fr{Z 0.42} = Φ(1.27) Φ(0.42) = = Fr{20 X < 24} = Fr{X 24} Fr{X 20} { } { } X X = Fr Fr = Fr{Z 2.11} Fr{Z 1.27} = Φ(2.11) Φ(1.27) = = Fr{24 X < 28} = Fr{X 28} Fr{X 24} { } { } X X = Fr Fr = Fr{Z 2.96} Fr{Z 2.11} = Φ(2.96) Φ(2.11) = = Di conseguenza le frequenze assolute previste per le classi dal modello normale sono: n(0 X < 4) = Fr{0 X < 4} = = 7.95 ;

19 1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 19 n(4 X < 8) = Fr{4 X < 8} = = 42.3 ; n(8 X < 12) = Fr{8 X < 12} = = ; n(12 X < 16) = Fr{12 X < 16} = = ; n(16 X < 20) = Fr{16 X < 20} = = ; n(20 X < 24) = Fr{20 X < 24} = = 42.3 ; n(24 X < 28) = Fr{24 X < 28} = = Quanto appena ricavato può essere sintetizzato nel seguente prospetto: Freq. ass. Freq. rel. classi n i modello Freq. rel. modello normale normale Le frequenze relative del modello normale di media 14 e s.q.m sembrano ben aderire a quelle della distribuzione del carattere X. Le verifiche fin d ora effettuate ci consentono quindi di concludere che la distribuzione del carattere X è ben approssimata dalla distribuzione normale di media 14 e s.q.m