Laboratorio di Calcolo B 68

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1 Generazione di numeri casuali Abbiamo già accennato all idea che le tecniche statistiche possano essere utili per risolvere problemi di simulazione di processi fisici e di calcoli numerici. Dobbiamo però imparare a generare variabili aleatorie che seguano distribuzioni di probabilità note, e per questo ci servono sequenze di numeri casuali. Generare buone sequenze di numeri realmente casuali è cosa complicata, per cui la migliore strategia consiste nell affidarsi a processi fisici intrinsecamente aleatori: decadimenti radioattivi rumore termico sistemi turbolenti (come ad esempio il cesto delle palline del lotto) Inutile dire che questi dispositivi non sono esattamente portatili. Laboratorio di Calcolo B 68

2 Generazione di numeri pseudo- casuali Siccome la generazione di numeri casuali è un po' scomoda, ci si accontenta di sequenze pseudo-casuali. Si tratta di fatto di sequenze perfettamente deterministiche, che tuttavia generano numeri interi uniformemente distribuiti in un dato intervallo, con periodo di ripetizione molto lungo e con basso livello di correlazione tra un elemento della sequenza e quello successivo. Esempio (Middle Square, Von Neumann, 1946): Dato un numero intero di 10 cifre (seme della sequenza) lo si eleva al quadrato e si prendono le 10 cifre centrali come numero successivo Provate per esercizio a implementare questo metodo. Laboratorio di Calcolo B 69

3 Uso della funzione random() In ambiente C esiste un generatore di numeri casuali uniformemente distribuiti. La funzione si chiama long int random() ed è definita in stdlib.h. Ogni chiamata a random() ritorna un intero compreso tra 0 e RAND_MAX (che, nelle macchine a 3 bits vale di solito 31-1). Se si vogliono numeri compresi tra 0 e 1 si usa: double rnd; rnd (double)random()/rand_max; Esiste anche una funzione void srandom(long int) che consente di definire il seme della sequenza (seme uguale sequenza uguale, la qual cosa è particolarmente utile in fase di debug). Se si vuole una sequenza differente ad ogni esecuzione del programma si può usare srandom(time()); Laboratorio di Calcolo B 70

4 La distribuzione binomiale Una interessante applicazione delle distribuzioni uniformi è la distribuzione binomiale. Consideriamo un evento che consista nella ripetizione di n prove indipendenti. L esito di ogni prova i è caratterizzato da una variabile aleatoria x i discreta che assume il valore 0 con probabilità p e il valore 1 con probabilità q1-p. Si dimostra (Lab1B) che la variabile somma delle x i assume il valore k con probabilità p( k, n, p) n k k n k (1 ) p p Media e varainza della distribuzione binomiale sono date da: k np σ np(1 p) Laboratorio di Calcolo B 71

5 La distribuzione binomiale La binomiale risponde a domande del tipo: se lancio n volte una moneta, qual è la probabilità di ottenere testa k volte? Altra visualizzazione della binomiale è il tavolo binario. Si tratta di un piano inclinato con una serie di chiodi piantati in modo da formare un reticolo regolare. Una biglia, urtando un chiodo, può passare a destra o a sinistra con uguale probabilità (p 0.5). Il numero di righe di chiodi fornisce il numero di ripetizioni n; la posizione di arrivo della biglia è k n3 p0.5 k Laboratorio di Calcolo B 7

6 Simulazione della binomiale In laboratorio dovrete simulare un processo binomiale e confrontarlo con la distribuzione teorica. Si eseguono n estrazioni di numeri casuali compresi tra 0 e 1. Se il numero estratto è maggiore di p si somma 1, altrimenti 0. Il valore ottenuto, che sarà compreso tra 0 e n, si inserisce in un istogramma a n+1 bins, e si ripete la procedura M volte (n,p e M devono poter essere facilmente variati). Alla fine, se M è abbastanza grande, l istogramma approssimerà con buona precisione una binomiale. Si deve eseguire un fit per verificare che i valori di n e p ottenuti dal confronto con la binomiale teorica coincidano, entro gli errori, con quelli usati per la simulazione. Siccome per n grande la binomiale tende alla gaussiana, si può verificare questo fatto usando una gaussiana per eseguire il fit. Laboratorio di Calcolo B 73

7 Simulazione della binomiale: matriale occorrente int binevent(int p, int n); simula n ripetizioni di eventi binari con probabilità p e ritorna il numero di successi k double binomiale(int p, int n, int k); calcola la probabilità binomiale int/double bincoeff(int n, int k); calcola il coefficiente binomiale; qui si deve fare attenzione al modo in cui il calcolo viene eseguito, perché altrimenti si perde facilmente precisione o si eccedono i limiti delle variabili intere. Laboratorio di Calcolo B 74

8 Generazione di una gaussiana I Un metodo per generare una distribuzione gaussiana consiste nell affidarsi al teorema del limite centrale: La distribuzione della somma di N variabili aleatorie comunque distribuite tende, per N ->, ad una distribuzione gaussiana. Se sommiamo 1 variabili uniformemente distribuite in [-0.5, 0.5], ricordando che x σ 1/ 1/ xdx 1/ 1/ ( x 0 x) 1 1 otteniamo (approssimativamente) una gaussiana con media 0 e varianza 1. Se servono medie o varianze diverse basta calcolare x σx + <x>. Laboratorio di Calcolo B 75

9 Traccia per l esperienza Provare il generatore di numeri casuali uniformemente distribuiti realizzando un istrogramma (che deve risultare piatto). Provate a variare il numero di eventi nell istogramma. Simulare un processo binario e confrontare (tramite best-fit) il risultato della simulazione con la distribuzione binomiale teorica. Provate diversi valori di n e p. Generare una distribuzione gaussiana utilizzando il teorema del limite centrale; verificare tramite fit il risultato ottenuto e ricavare i valori di media e varianza. Provate a cambiare il numero di variabili sommate. Laboratorio di Calcolo B 76

10 Calcolo di integrali Supponiamo di dover calcolare l integrale di una funzione in un intervallo limitato [x min,x max ], e di conoscere il massimo ed il minimo della funzione in tale intervallo. Se generiamo n punti uniformemente distribuiti nel rettangolo [x min,x max ]x[f min,f max ] avremo che la frazione p di punti che cadono sotto la funzione è pari al rapporto tra l integrale e l area del rettangolo A. La distribuzione di successi è binomiale e si ha: I x x σ ( I ) max min f ( x) dx A p(1 n Ap p) Laboratorio di Calcolo B 77

11 Calcolo di π Se in particolare si sceglie come funzione l equazione del cerchio nell intervallo [0,1]x[0,1] si può determinare il valore di π. Questa è stata la prima applicazione del metodo di montecarlo (Buffon 1777). I 1 1 x dx 0 Laboratorio di Calcolo B 78 π 4