ESERCIZI. Gli esercizi più complessi sono contrassegnati con asterisco. 1. SPAZI DI PROBABILITA. 1a. Probabilità discreta.

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1 ESERCIZI Gli esercizi più complessi sono contrassegnati con asterisco. a. Probabilità discreta.. SPAZI DI PROBABILITA.. Si consideri lo spazio di probabilità finito corrispondente alla somma dei risultati di due dadi costruito nell esercizio del., e si determini qual è l evento elementare che ha probabilità massima.. Un ottaedro regolare, con le facce numerate da a 8, è lanciato a caso in modo che può cadere indifferentemente su ciascuna delle facce. Costruire lo spazio di probabilità, e calcolare la probabilità che l ottaedro caschi su una faccia con indice divisibile per.. Da un urna che contiene 40 sfere rosse e 0 bianche vengono estratte due sfere senza resituzione. Calcolare le probabilità degli eventi A = {sono entrambe bianche}, B = { sono dello stesso colore}. 4*. Da un urna che contiene n sfere bianche e n sfere nere si estraggono due sfere senza restituzione. Per quali valori di n,n la probabilità che siano diverse supera la probabilità che siano dello stesso colore? 5. Da un mazzo di carte napoletane ben mescolato vengono estratte quattro carte senza restituzione. Calcolare la probabilità degli eventi A = {c è almeno un asso }, B = { ci sono esattamente due assi }. 6. Da un mazzo di carte come nell esercizio 4 vengono estratte due carte in successione, con restituzione. Calcolare la probabilità degli eventi A = { esce almeno un asso }, B = {esce un solo asso }. 7. Da un urna con a sfere bianche e b sfere nere ne vengono estratte in successione due, senza restituzione. Qual è la probabilità che la seconda estratta sia bianca? 8. Si estraggono due numeri a caso tra i primi 0: {,,...,0}, senza restituzione. Detti n,n gli estratti, nell ordine, trovare la probabilità dell evento {n n > }. 9. Da un urna con 0 sfere bianche e 40 nere si effettuano 4 estrazioni, con restituzione. Calcolare la probabilità degli eventi: A = {le sfere estratte sono tutte nere}, B = {la prima sfera bianca estratta èlaquarta}. b. Probabilità condizionale, indipendenza. 0. Da un urna contenente 7 sfere nere e 4 bianche viene rimossa una sfera a caso. Successivamente si effettua un estrazione. Qual è la probabilità che la sfera estratta sia nera?

2 . Da un mazzo di carte napoletane se ne estrae una a caso. Si considerino gli eventi A = { èunasso}, B = { è denari}, C = { è 5}. Vi sono coppie di eventi indipendenti tra le tre coppie possibili A e B, B e C, A e C?. Da cento carte ciascuna delle quali riporta due cifre j j, con j,j =0,,...,9se ne estrae una a caso. Posto ξ = j +j e ξ = j j, trovare la probabilità P (ξ = ξ = 0). ( Suggerimento: i simboli possono ordinarsi come 00, 0,...,98, 99. ). AeBgiocano un terno a lotto sulla ruota di Napoli: A gioca 5, 40, 8 e B gioca 4, 7, 5. Se A vince, qual è la probabilità (condizionale) che B abbia anche vinto? (Nota. Il gioco del lotto consiste nell estrazione di 5 numeri da 90. Si richiede la probabilità di vincita di B conoscendo la vincita di A.) 4. In una scatola si trovano 0 semi, di cui 7 di provenienza a e germinabilità (=probabilità digerminare) p a =0, 9 ediprovenienza begerminabilità p b =0, 6. Si prende un seme a caso e lo si semina. i) Qual è la probabilità che germini? ii) Constatato che non germina, qual è la probabilità che sia di provenienza a? 5. Sono date due urne, A e B: l urna A contiene tre sfere bianche e sette nere, l urna B quattro nere e sei bianche. Si lancia un dado: se il risultato è > 4sisceglie l urna A, altrimenti si sceglie l urna B. Dall urna scelta si estrae una sfera. i) Qual è la probabilità che la sfera sia bianca? ii) Se la sfera estratta è bianca, qual è la probabilità che sia stata scelta l urna A? 6. Sono date due urne, A e B: l urna A contiene 8 sfere nere e 4 bianche, e l urna B8sfere bianche e 4 nere. Si lancia una moneta: se viene T si sceglie A, e se viene C si sceglie B. Dall urna scelta si effettuano due estrazioni, con restituzione. i) Qual è la probabilità che una sola sfera estratta sia bianca? ii) Se una sola sfera estratta è bianca, qual è la probabilità che venga dall urna B? c. Prove successive indipendenti. 7. Si lancia tre volte una moneta. Qual è la probabilità di avere almeno due T di seguito? 8. (Distribuzione binomiale.) Un urna contiene N sfere bianche e M sfere nere. Si estraggono in successione k sfere, con restituzione. Qual è la probabilità che tra di loro ce ne siano h bianche? 9*. (Distribuzione ipergeometrica.) Un urna contiene N sfere bianche e M sfere nere. Si estraggono k sfere, senza restituzione. Dimostrare che la probabilità che tra di loro ce ne siano h bianche è ( )( )( ) N M M + N P (X = h) =. h k h k Dimostrare che se N,M sono entrambi grandi, il risultato è vicino a quello dell esercizio precedente.

3 0. Si calcoli la probabilità che, lanciando una moneta sei volte, esca almeno tre volte di seguito T. (Suggerimento: si decomponga l evento A in 4 eventi disgiunti: A = A A A A 4, aseconda che la successione di almeno tre T inizi al primo, al secondo al terzo o al quarto lancio.). Nello schema di Bernoulli dell esempio al.7 si calcoli la probabilità che nelle prime quattro prove su abbiano due, ma non consecutivi. d. Probabilità continua.. Si consideri la probabilità uniforme sull intervallo I =[0, ]. Calcolare la probabilità degli eventi A =[0, ] e B =[0, ] [, ] e stabilire se sono indipendenti.. Si consideri la probabilità continua sull intervallo I =[0, ] con densità p(x) = x. Calcolare la probabilità degli eventi A =[0, ]eb =[0, 4 ] [ 4, ] e stabilire se sono indipendenti. 4. Si consideri nel piano cartesiano la probabilità uniforme nel triangolo rettangolo T con vertici nell origine O e nei punti P =(, 0),P =(0, ). Calcolare la probabilità degli eventi A = {(x, y) T :0 x } e B = {(x, y) T : x y}. 5. Calcolare la probabilità dell evento B definito nell esempio del.7.. VARIABILI CASUALI E LORO PROPRIETA.. Si lanciano di due dadi, con risultato (x (),x () ), e si considera la variabile casuale ξ = x () x ().Trovare la distribuzione di ξ.. Nello stesso caso dell esercizio precedente si trovi la distribuzione della variabile casuale η = x () x ().. Si lanciano tre monete, e siano N T e N C il numero di teste e croci. Si trovi la distribuzione congiunta delle variabili casuali ξ = N T N C e η = N T Si consideri lo spazio di probabilità dell esempio del., cioè ladistribuzione uniforme nell intervallo I =[, ], e la variabile casuale ξ(x) =x, x I. Trovare la probabilità P ({ξ > })eil valor medio M(ξ). 5. Si consideri il lancio di un dado, e detto ω Ω={,,...,6} il generico evento elementare, si calcoli il valor medio della variabile casuale ξ(ω) =[ ω ], dove [x] indica la parte intera di x, cioè ilpiù grande intero n x. 6. Un giocatore alla roulette scommette un euro su un evento di probabilità p =, che, in caso di vincita rende due volte la posta. Se perde gioca di nuovo raddoppiando la posta fino alla prima vincita. Calcolare il valor medio del numero delle giocate e della vincita.

4 7*. Nel caso dell esercizio precedente, si assuma che il banco ammetta una puntata massima di 500 ( 8, 9 ) euro, per cui il gioco si arresta alla nona giocata se non c è vincita prima. Calcolare la vincita (o perdita) media del giocatore. 8. Si lancia tre volte un dado e siano N,N, rispettivamente il numero dei risultati pari e il numero dei risultati multipli di tre. Si consideri la variabile casuale ξ = N + N e se ne calcoli la distribuzione e il valor medio. se perde gioca di nuovo triplicando la posta fino alla prima vincita. 9. Si consideri il lancio di tre monete (equilibrate, schema classico) e la variabile casuale ξ = N T N C,dove N T,N C sono rispettivamente il numero di teste e di croci che esce nel lancio delle tre monete. Si calcolino il valor medio e la dispersione di ξ. 0. Si calcoli la varianza della distribuzione uniforme nell intervallo I =[, ].. Si calcolino valor medio e varianza della distribuzione nell intervallo I =[0, ] con densità p(x) = x.. La variabile casuale ξ sia uniformemente distribuita sull intervallo [ π, π]. Si calcoli il valor medio e la dispersione della nuova variabile casuale η = cos ξ sotto la condizione B = {ξ >0}.. Nello spazio di probabilità costituito dall intervallo I =[, ] con probabilità continua uniforme, si considerino le variabili casuali ξ(x) =x e η(x) = x. Trovarne il valor medio e la varianza. 4. Nello spazio di probabilità costituito dallo stesso intervallo I =[, ] dell esercizio 0, ma con probabilità continua con densità p(x) = x si consideri la variabile casuale ξ(x) = x esenetrovi il valor medio e la varianza. 5. Le variabili casuali η j, j =,, sono indipendenti, con valori in X = {0, }, ed hanno la stessa distribuzione: P (η j =)=.Siconsiderino le nuove variabili casuali date dai prodotti ξ = η η, ξ = η η.trovare la distribuzione congiunta di ξ e ξ. 6. Due variabili casuali ξ,ξ, sono indipendenti ed hanno la stessa distribuzione poissoniana con parametro ρ =.Trovare la probabilità dell evento E = {ξ = ξ }. 7. Trovare la covarianza e il coefficiente di correlazione delle variabli ξ ed η introdotte nell esercizio. 8. Si piantano sei semi di una varietà A con germinabilità (probabilità di germinare) p A =0, 7equattro di una varietà Bcon germinabilità p B =0, 9, e siano N A,N B il numero di semi germinati della varietà A e B. Assumendo che i semi germinino indipendentemente, calcolare il valor medio e la varianza delle variabili casuali ξ = N A +N B ed η = N A N B,ela covarianza cov (N A,N B ). 9. Cinque frigoriferi hanno un tempo di funzionamento esponenziale con valor medio anno. Assumendo che i tempi di funzionamento siano indipendenti, calcolare la probabilità che nei primi sei mesi non se ne rompa nessuno. 4

5 0. Siano ξ,ξ due variabili casuali indipendenti ed egualmente distribuite con distribuzione poissoniana di parametro ρ. Posto η = ξ +ξ si calcoli la probabilità condizionata P (ξ = η =9)eil valor medio condizionato M(ξ η = 9).. Nello spazio di probabilità dell es. si consideri oltre alla ξ anche la variabile casuale η = sin ξ. Calcolare il coefficiente di correlazione ρ(ξ,η). *. (Distanza di due punti a caso.) Due punti a caso nell intervallo I =[0, ] sono rappresentati da due variabili casuali ξ,η indipendenti che prendono valori in I con distribuzione uniforme. Calcolare la loro distanza media (cioè la media di ζ = ξ η ).. (Errori di misura.) Si pesa un corpo di massa ignota, con procedimento tale che si può assumere che l errore in ciascuna pesata (la differenza tra la pesata e il valore vero, p del peso del corpo) sia indipendente dalle altre pesate e abbia distribuzione gaussiana di media nulla e una certa varianza σ. Si effettuano n pesate e siano X,X,...,X n i risultati ottenuti. Per valutare p si effettua la media empirica Y (n) = n n j= X j. Calcolare il valor medio e la dispersione di Y (n).. SCHEMI DI BERNOULLI E CATENE DI MARKOV.. Nello schema di Bernoulli con spazio degli eventi Ω = X con X = {0, } e probabilità P () =, consideriamo le variabili casuali ξ j(ω) =x j, j =,,,..., corrispondenti alle componenti di ω =(x,x,...). Si ponga η j = ξ j+ ξ j+, j =0,,... i) Le nuove variabili η j costituiscono ancora uno schema di Bernoulli? ii) Calcolare la media e la varianza della somma S 4 = 4 j= η j.. Nello schema di Bernoulli con spazio degli eventi Ω = X con X = {0, } ed eguali probabilità P () = P (0) =, detto ω =(x,x,...)ilgenerico evento elementare si consideri la variabile casuale τ = min{k : x k = x k+ =} che dà ilprimo tempo di comparsa di due successivi. Si calcolini le probabilità P (τ =)ep (τ = x = 0).. Nello schema di Bernoulli con spazio degli eventi Ω = X con i X = {0,, } ed eguali probabilità P () = P () = P (), detto ω =(x,x,...)ilgenerico evento elementare, si consideri la variabile casuale τ = min{k : x k = x k+ =}, ilprimo tempo di comparsa della successione. i) Si calcoli la probabilità dell evento A = {τ }. ii) L evento B = {x =0} è indipendente da A? 4. Data la catena stazionaria con matrice stocastica P = 0 0 5

6 determinare, se ve ne sono, gli stati inessenziali, e le classi di stati essenziali tra loro comunicanti. (Suggerimento: si disegni il grafo associato alla catena.) 5. Stabilire se è ergodica la catena di Markov con matrice stocastica P = Data la catena di Markov (ergodica) con matrice stocastica determinare la probabilità invariante π. P = ( 7. Si consideri la catena di Markov con spazio degli stati X = {,,, 4} e matrice di transizione 0 P = 0, 0 e sia ω =(x 0,x,x,...)lasuccessione degli stati. i) Individuare, se ve ne sono, gli stati inessenziali e le classi di stati essenziali comunicanti. ii) Se la probabilità iniziale è µ 0 =(, 0,, 0), calcolare la probabilità P (x = 4). ) 6