Corso di Laurea in Informatica Esame di Calcolo delle Probabilità e Statistica Anno accademico Prova scritta del 15 gennaio 2016

Transcript

1 Corso di Laurea in Informatica Esame di Calcolo delle Probabilità e Statistica Anno accademico Prova scritta del 5 gennaio 06 ISTRUZIONI PER LO SVOLGIMENTO DEL COMPITO (I) Coloro che intendono effettuare il recupero di un compitino devono dichiararlo all inizio della prova. Ripensamenti successivi non saranno presi in considerazione. (II) Chi effettua il recupero del primo compitino deve svolgere gli esercizi e in due ore e scrivere chiaramente sull elaborato : RECUPERO PRIMO COMPITINO. (III) Chi effettua il recupero del secondo compitino deve svolgere gli esercizi 3 e 4 in due ore e scrivere chiaramente sull elaborato : RECUPERO SECONDO COMPITINO. (IV) Chi intende sostenere l intera prova scritta deve svolgere gli esercizi, 3 e 4 in tre ore. (V) Ogni prova consegnata cancella automaticamente tutti i voti di eventuali prove precedenti. *************************************************************************************** () Primo esercizio. Un urna contiene 3 palline bianche e palline nere. (a) Si effettuano estrazioni senza rimpiazzo dall urna. Calcolare la probabilità che le palline estratte siano entrambe bianche. (b) Si effettuano 3 estrazioni senza rimpiazzo dall urna, e successivamente altre estrazioni, ancora senza rimpiazzo, dalle 3 palline estratte al primo turno. Calcolare la probabilità che le palline estratte al secondo turno siano entrambe bianche. (c) Sapendo che al secondo turno sono state estratte palline bianche, quanto vale la probabilità che le palline bianche estratte al primo turno siano state 3? () Secondo esercizio. In un telegrafo di vecchio tipo, si sa per esperienza che la frequenza dei punti è 5 8 e quella delle linee è 3 8 ; inoltre è noto che, a causa di disturbi nella trasmissione, i punti vengono alterati in linee con probabilità 5 e le linee in punti con probabilità 3. (a) Si trasmette un simbolo (punto o linea). Calcolare la probabilità di ricevere un punto. (b) Si trasmettono 0 simboli, in modo indipendente l uno dall altro. Calcolare la legge e la media del numero di linee ricevute. (c) È più affidabile il punto o la linea (cioè è più probabile che, quando si riceve un punto, sia effettivamente stato inviato un punto, o viceversa)? (3) Terzo esercizio. Sia f la funzione 0 x < 0 ae x 0 x be x ( e) x >, dove a e b sono due costanti reali.

2 (a) Determinare le condizioni da imporre sulle costanti a e b in modo che f sia una densità. (b) Sia X una v.a. avente densità f (con le costanti a e b soddisfacenti le condizioni determinate in (a)). Calcolare la f.d.r di Y log X. (c) Calcolare P (X t X > ) per ogni t R. (4) Quarto esercizio. (a) Sia F λ la f.d.r. di una Π λ. Mostrare che la funzione λ F λ (n) è non crescente in λ (con n intero fissato) (si suggerisce di derivare λ F λ (n) rispetto a λ). (b) Nell anno 04, in una data ora del giorno il numero di telefonate in arrivo ad un centralino è una v.a. di Poisson di parametro λ 0. All inizio del 05 il gestore telefonico aumenta le tariffe. Dopo qualche tempo si verifica che, nella stessa ora del giorno, allo stesso centralino arrivano solo 6 telefonate. Volendo controllare se l aumento delle tariffe abbia o meno influenzato il traffico telefonico, si effettua il test H 0 : λ 0; H : λ < 0, scegliendo una regione critica del tipo D {X k}, con k da determinare (se il numero di telefonate è troppo basso, allora stabilisco che effettivamente λ < 0). Sfruttando il punto (a), calcolare il livello del test (in funzione di k). (c) Al livello α 0.05, si può affermare che l aumento delle tariffe abbia influenzato la quantità di traffico telefonico, cioè che l ipotesi nulla debba essere respinta? (Utilizzare le tavole della f.d.r. della Poisson).

3 Soluzioni Primo esercizio. (a) Posto X numero di palline bianche estratte, X segue una legge ipergeometrica di parametri a 3, b, n, e quindi si ha ( )( 3 ) P (X n) n n ( ) 5, n 0,,. In particolare ( )( ) 3 P (X ) 0 ( ) (b) Poniamo X numero di palline bianche estratte al primo turno, Y numero di palline estratte al secondo turno. Allora X segue una legge ipergeometrica di parametri a 3, b, n 3, e quindi si ha ( )( 3 ) P (X n) n 3 n ( ) 5, n 0,,, 3. 3 Inoltre, se al primo turno sono state estratte n palline bianche, al secondo turno si effettuano due estrazioni da un urna composta da n palline bianche e 3 n palline nere, e quindi ( )( ) n 3 n 0 Per note formule si ha allora P (Y ) P (Y X n) 3 P (Y, X n) n0 ( 3 ) n, 3 0 n,. 3 P (Y X n)p (X n) n0 P (Y X )P (X ) + P (Y X 3)P (X 3) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 3 Osserviamo che il valore questa probabilità coincide con quello del punto (a), come era logico aspettarsi. 3

4 (c) Applicando la formula di Bayes (con il denominatore già calcolato al punto (b) precedente), si trova P (X 3 Y ) P (Y X 3) P (X 3) P (Y ) Secondo esercizio. Consideriamo gli eventi A {si invia un punto}; B {si riceve un punto}; ovviamente avremo A c {si invia una linea}; B c {si riceve una linea}. Dai dati del problema si deduce che P (A) 5 8 ; P (Bc A) 5 ; P (B Ac ) 3. Di conseguenza si ha anche P (A c ) P (A) 3 8 ; ; P (B A) P (Bc A) 3 5 ; P (Bc A c ) P (B A c ) 3. (a) Si ha P (B) P (B A)P (A) + P (B A c )P (A c ) ; dunque oppure P (B c ) P (B) ; P (B c ) P (B c A)P (A) + P (B c A c )P (A c ) (b) Ricordiamo che la probabilità di ricevere una linea in una singola trasmissione è P (B c ), e poniamo, per i,,..., 0, { se si riceve una linea X i 0 se si riceve un punto. Le v.a. X i sono tra loro indipendenti e tutte di legge B(, ), e il numero di linee ricevute si può rappresentare mediante la v.a. 0 X X i, che per noti risultati di teoria ha legge B(0, ), e quindi media EX] 0 5. i (c) Poiché P (A B) P (A B) P (B) P (B A)P (A) P (B) , 4

5 mentre P (A c B c ) P (Ac B c ) P (B c ) si conclude che è più affidabile il punto della linea. P (Bc A c )P (A c ) P (B c ) , Terzo esercizio. (a) f è non negativa se e solo se a 0 e b 0 (fare attenzione al fatto che e 0). Inoltre f deve avere integrale uguale a su R; dato che f(x) dx ( a ) + b e si deduce che deve essere (b) Per ogni t R si ha 0 ae x dx + be x ( e) dx a e x] + b( e) e x] 0 e (a b), e ( e ) a b e e. P ( log X t) P (log X t) P (X e t ) Per t > 0 si ha 0 < e t < e quindi f(x) dx ae x dx + e t e ( t a e e t ) ( ) + b e e. Se t 0 si ha invece (c) Si ha e t f(x) dx. be x ( e) dx a e x] + b( e) e x] e t f(x) dx be x ( e) dx b( e) e x] e t e t b( e)e e t. e t P (X t X > ) P (X t, X > ) P (X > ) Per t < l evento {X t, X > } è vuoto, e dunque la probabilità richiesta vale 0. Per t si ha invece P (X t, X > ) P ( < X t) b( e)(e e t ). t f(x) dx b( e) t e x dx b( e) e x] t Quarto esercizio. (a) Si ha F λ (n) P (X n) P (X k) k0 k0 k! e λ ; 5

6 derivando rispetto a λ si trova d dλ F λ(n) d ( dλ e λ + e λ + n k0 k k0 k! e λ) d ( e λ ) + dλ ( kλ k e λ λk k! k! e λ) k k! e λ k d ( λ k d! e λ) ( λ k (k )! e λ λk n k! e λ) e λ + k0 k! e λ λn n! e λ < 0; k0 k! e λ k k! e λ il fatto che la derivata di λ F λ (n) sia negativa implica che λ F λ (n) è non crescente. (b) Per la definizione di livello di un test, abbiamo α sup P λ (X k) sup F λ (k); λ 0 λ 0 come abbiamo visto nel punto (a), la funzione λ F λ (k) è non crescente in λ, e quindi sup F λ (k) F 0 (k). λ 0 (c) Per determinare k basta risolvere rispetto a k la disequazione Abbiamo dalle tavole F 0 (k) α α F 0 (4) 0.09; F 0 (5) 0.067, quindi k 4; la regione critica è dunque {X 4}. Dato che 6 4, il dato riscontrato non cade nella regione critica e di conseguenza l ipotesi non può essere respinta. 6

7 Tavole della funzione di ripartizione della Poisson LEGENDA: Le colonne corrispondono a differenti valori del parametro λ di una v.a. X Π λ. I valori nel corpo della tabella rappresentano le probabilità che la v.a. X sia minore o uguale dell intero che si trova posizionato alla sinistra della riga. Ad esempio, se X Π 0.8, si ha P (X ) λ EX] x x x

8 λ EX] x x