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1 Cognome e me: Matricola CdS CALCOLO DELLE PROBABILITA - 7 Giugno CdS in STAD, SIGAD - docente: G Sanfilippo Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo a disposizione: due ore e trenta minuti n è consentito l utilizzo di libri o appunti Ogni esercizio svolto correttamente vale 6 punti Per avere il punteggio massimo occorre risolvere correttamente 5 quesiti Dati 3 eventi A, B, C con A B e A C calcolare i costituenti, verificare la coerenza dell assegnazione P (A), P (B), P (C) 3 e calcolare l insieme dei valori coerenti per p P (Ac BC) Costituenti Ass Coerente? Si p [ ] Un giocatore paga Euro per partecipare al gioco seguente: una moneta (regolare) viene lanciata volte; egli vince Euro se esce Testa solo una volta, Euro se esce Testa solo tre volte, 3 Euro se esce Testa solo quattro volte, altrimenti non vince nulla Indicando con X il numero di volte in cui si presenta Testa nei lanci della moneta, con V la vincita aleatoria e con G il guadagno aleatorio del giocatore, calcolare il codominio C G dei possibili valori di G Inoltre, per ogni valore g h C G, calcolare la probabilità dell evento (G g h ) Infine, stabilire se il gioco è equo e calcolare la varianza di G C G { } p h { } Gioco equo? Si var(g) 3 Il numero aleatorio X di telefonate che arrivano ad un centralino in un dato giorno ha una distribuzione di Poisson di parametro λ > Sapendo che il numero medio di arrivi nel giorno considerato è pari a, calcolare la probabilità dell evento A arrivano al più telefonate e dell evento (5 X < 35) Inoltre, supposto che siano arrivate almeno telefonate (evento B), calcolare la probabilità α che siano arrivate al più 3 telefonate (evento C) P (A) P (5 X < 35) α Sia X un numero aleatorio con la seguente densità di probabilità f(x) per x [, ], f(x) a( x 3 ) per x ], ], f(x) altrove Si determini il valore della costante a, la probabilità P ( X ), la funzione di ripartizione F (x) e il valore atteso E(X) ( a P X ) F (x) E(X) 5 Si scelgono due punti a caso nell intervallo [, ] Sia X la coordinata del primo punto e Y la coordinata del secondo punto Supponiamo che X, Y siano stocasticamente indipendenti Calcolare la densità congiunta f(x, y) del vettore aleatorio (X, Y ), la funzione caratteristica ψ X+Y (t) di X + Y e la funzione di ripartizione F Z (z) del numero aleatorio Z Y X { f(x, y) ψ X+Y (t) F Z (z)

2 Soluzione Dati 3 eventi A, B, C con A B e A C calcolare i costituenti, verificare la coerenza dell assegnazione P (A), P (B), P (C) 3 e calcolare l insieme dei valori coerenti per p P (Ac BC) Costituenti Ass Coerente? Si p [ ] Dalle relazioni A B e A C segue che AB c C ABC c AB c C c ; pertanto si hanno i seguenti costituenti C ABC, C A c BC, C 3 A c BC c, C A c B c C, C 5 A c B c C c L assegnazione P (A),P (B), P (C) 3 è coerente se e solo se il seguente sistema, nelle incognitex, x,, x 5, è risolubile x x + x + x 3 (S) x + x + x 3 x + x + x 3 + x + x 5 x i, i,,, 5 Osserviamo che il sistema (S) è risolubile, infatti la generica soluzione è (, x, x, x, x ), x [, ] Quindi l assegnazione è coerente Inoltre, poichè P (A c BC) x, si ha che l insieme dei valori coerenti di p è l intervallo [, ] Un giocatore paga Euro per partecipare al gioco seguente: una moneta (regolare) viene lanciata volte; egli vince Euro se esce Testa solo una volta, Euro se esce Testa solo tre volte, 3 Euro se esce Testa solo quattro volte, altrimenti non vince nulla Indicando con X il numero di volte in cui si presenta Testa nei lanci della moneta, con V la vincita aleatoria e con G il guadagno aleatorio del giocatore, calcolare il codominio C G dei possibili valori di G Inoltre, per ogni valore g h C G, calcolare la probabilità dell evento (G g h ) Infine, stabilire se il gioco è equo e calcolare la varianza di G C G { } p h { } Gioco equo? Si var(g) Il numero aleatorio X ha una distribuzione binomiale di parametri n, p Si ha V X + X + X + X X, G V X + X + X + X X Poichè X + X + X + X 3 + X, si ottiene G X + X X + X 3 + X Quindi, C G {,,, } e P (G ) P (X ) ( ) P (G ) P (X 3) ( ) 3 P (G ) P (X ) ( ) P (G ) 7 6 6, 6, 6,

3 La previsione di G è quindi, il gioco non è equo Inoltre G {,, }, con E(G) pertanto E(G ) Infine calcoliamo la varianza di G P (G ) P (G ) 6 P (G ) P (G ) + P (G ) 6 P (G ) P (G ) 6 var(g) E(G ) [E(G)] 39/ Il numero aleatorio X di telefonate che arrivano ad un centralino in un dato giorno ha una distribuzione di Poisson di parametro λ > Sapendo che il numero medio di arrivi nel giorno considerato è pari a, calcolare la probabilità dell evento A arrivano al più telefonate e dell evento (5 X < 35) Inoltre, supposto che siano arrivate almeno telefonate (evento B), calcolare la probabilità α che siano arrivate al più 3 telefonate (evento C) P (A) P (5 X < 35) α Poichè E(X) si ha X P() Quindi Inoltre Infine, P (A) P (X ) P (X ) + P (X ) + P (X ) e! + e! + e! 6e 77 P (5 X < 35) P (X 3) 3 e 3! 757 α P (C B) P (X 3 X ) P (X X3) P (X ) P (X)+P (X3) P (X<)! e + 3 3! e e + e!! + 6 e 65 3(e ) 98 Sia X un numero aleatorio con la seguente densità di probabilità f(x) per x [, ], f(x) a( x 3 ) per x ], ], f(x) altrove Si determini il valore della costante a, la probabilità P ( X ), la funzione di ripartizione F (x) e il valore atteso E(X) ( a P X ) F (x) E(X) Poichè f(x) è una densità di probabilità si deve avere f(x) e + f(x)dx Quindi si ha dx + a( x 3 )dx 3 [ ] x + ] [ax a x + 3a

4 Risolvendo la precedente equazione si ottiene a La densità f(x) diviene Inoltre f(x) P ( X ) f(x)dx Calcoliamo la funzione di ripartizione F (x) x Per x < si ha F (x) x dt Per x si ha F (x) + x Per < x si ha F (x) Per x > si ha F (x) Quindi Calcoliamo E(X) Si ha, se x [, ], ( x 3 ), se x ], ],, altrove dx + ( x3 )dx [ f(t)dt di X dt (x + ) dt + x ( t3 )dt + x x F (x) E(X) + xf(x)dx [ x 8 ] [ + x x5 5 x], se x < ], (x + ), se x [, ], + x x, se x ], ],, se x > x ] dx + x( x3 )dx [ + x x ] Si scelgono due punti a caso nell intervallo [, ] Sia X la coordinata del primo punto e Y la coordinata del secondo punto Supponiamo che X, Y siano stocasticamente indipendenti Calcolare la densità congiunta f(x, y) del vettore aleatorio (X, Y ), la funzione caratteristica ψ X+Y (t) di X + Y e la funzione di ripartizione F Z (z) del numero aleatorio Z Y X { f(x, y) ψ X+Y (t) F Z (z) Poichè i numeri aleatori X, Y sono stocasticamente indipendenti e con distribuzione uniforme in [, ] segue che il vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità {, se (x, y) Q f(x, y), altrove, dove Q {(x, y) R : x [, ], y [, ]} è il quadrato unitario La funzioni caratteristica di X è data da ψ X (t) + e itx f(x)dx [ e e itx it f(x)dx it ] eit it I numeri aleatori X e Y hanno la stessa distribuzione di probabilità, quindi ψ Y (t) ψ X (t) Infine, essendo X, Y stocasticamente indipendenti, si ha ( e it ) ψ X+Y (t) ψ X (t)ψ Y (t) it

5 Calcoliamo la funzione di ripartizione di Z Y X Sia A z la regione dei punti del piano che soddisfano la relazione y x z, cioè A z {(x, y) R : y x + z} Si ha F z (z) P (Z z) P (Y X z) P (Y X + z) f(x, y)dxdy A z Distinguiamo quattro casi: (a) z > ; (b) z ; (c) z < (d) z < ; Caso (a) Si ha F z (z) P (Z z) Caso (b) Sia la regione dei punti del quadrato unitario che soddisfano la relazione y x z (vedi Figura ), ovvero A z Q {(x, y) [, ] [, ] : y x + z} Indichiamo con e con Si ha con e B z {(x, y) : x z, y x + z} B z {(x, y) : z x, y } F z (z) P (Z z) dxdy B z dxdy B z z x+z dxdy dxdy ( z) z z B z + z( z) dxdy dxdy + dxdy [ x (x + z)dx + zx z ( z)( + z) dx [x] z z ] z z Pertanto F z (z) P (Z z) z + z z + z Si poteva anche osservare che B dxdy z area(b z), con il trapezio avente base maggiore b M, base minore b m z e altezza h z; inoltre B dxdy z area(b z ), con il rettangolo avente lato minore di ampiezza l m z e lato maggiore di ampiezza l M Caso (c) Dalla Figura si ricava facilmente che Caso (d) Si ha F z (z) P (Z z) Pertanto F z (z) P (Z z) F z (z) ( + z), se z <, (+z), se z [, [, (+z z ), se z [, ],, se z > 5

6 (, ) (, ) ( z, ) (, z) (, ) (, ) y x + z B z B z x y Figura : Grafico della regione {(x, y) [, ] [, ] : y x + z}, per z (, ) (, ) ( z, ) (, + z) (, ) y x + z x y Figura : Grafico della regione {(x, y) [, ] [, ] : y x + z}, per z < 6