φ X (t) = mentre nel caso continuo, indicando con f(x) la densità di X, si ha e itx f(x) dx + e itx e itx f(x)dx. f(x)dx = e itx +

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1 10.1 Funzione caratteristica Funzione caratteristica La funzione caratteristica è uno strumento teorico utile sotto diversi aspetti per studiare la distribuzione di probabilità di numeri aleatori discreti e continui. Dato un numero aleatorio X, discreto o continuo, sia Y = e itx = cos(tx) + isen(tx), dove i è l unità immaginaria e t è un fissato valore reale, e indichiamo con φ X (t) la previsione di Y, che risulta essere una funzione di t. La funzione φ X (t) si chiama funzione caratteristica di X. Nel caso discreto, posto P (X = x h ) = p h, si ha h p h e itx h, mentre nel caso continuo, indicando con f(x) la densità di X, si ha e itx f(x)dx. Alcune proprietà: (1) φ X (0) = 1, ( h p h = 1, f(x)dx = 1); (2) φ X (t) φ X (0) = 1, t ; Consideriamo il caso in cui X è un numero aleatorio continuo. φ X (t) = e itx + f(x)dx e itx f(x) dx = e itx }{{} = cos 2 (tx)+sin 2 (tx)=1 (3) Se Y = ax + b, si ha f(x)dx = φ Y (t) = P(e ity ) = P(e it(ax+b) ) = e ibt P(e iatx ) = e ibt φ X (at); (4) In particolare, se Y = X, si ha: f(x)dx = 1 φ Y (t) = φ X (t) = P(e itx ) = φ X ( t) = φ X (t), dove il numero complesso α + iβ = α iβ, ovvero il coniugato di α + iβ. Infatti P(cos(tX) + i sin(tx)) = P(cos(tX)) + ip(sin(tx)) = P(cos(tX)) ip(sin(tx)) = φ X ( t) () Se φ X (t) è una funzione reale, si ha φ X ( t) = φ X (t).

2 10.1 Funzione caratteristica 12 Se φ X (t) è una funzione reale, si ha φ X (t). Allora φ X (t) = φ X ( t) = φ X (t) e quindi φ X (t) è una funzione reale pari. (6) Se X ha una densità simmetrica rispetto all asse delle Y, cioè f(x) = f( x), x R, allora X e X hanno la stessa densità e pertanto si ha φ X (t) = φ X (t), ovvero φ X (t) è reale. Esempi. a) Dato un evento E di probabilità p, sia X = E. Si ha φ E (t) = pe it 1 + qe it 0 = pe it + q. b) Dati n eventi E 1,..., E n, indipendenti ed equiprobabili di probabilità p, consideriamo il n.a. X = E E n. Si ha X B(n, p); inoltre n n ( ) n P (X = h)e ith = p h q n h e ith h h=0 h=0 = (pe it + q) n. c) Sia dato un numero aleatorio X con distribuzione di Poisson di parametro λ. Indicando con p n = P (X = n), si ha n=0 p n e itn = n=0 λ n n! e λ e itn = e λ n=0 (λe it ) n n! = e λ e λeit = e λ(eit 1). d) Sia dato un numero aleatorio X con distribuzione geometrica di parametro p, ovvero p h = pq h 1 per h N. Ricordando che per un numero complesso x < 1 si ha (serie geometrica di ragione x) x h 1 = 1 1 x, otteniamo p h e ith = + = pe it (qe it ) h 1 = pq h 1 e ith = peit 1 qe it. e) Se X ha una distribuzione normale standard, X N 0,1, si ha e itx 1 2π e x2 2 dx.

3 10.1 Funzione caratteristica 13 Essendo allora e itx 1 + e x2 2 dx = 2π φ X (t) = ix eitx N(x)dx = e itx N(x)dx ; = [ ie itx N(x)] + t eitx N(x)dx = quindi da cui segue = t φ X (t) ; φ X (t) d dt log φ X(t) = t, ed essendo φ X (0) = 1, risulta c = 0. log t2 2 + c, Quindi: e t2 2 (funzione reale e pari). f) Se X ha una distribuzione normale di parametri m, σ, il n.a. Y = X m σ ha una distribuzione normale standard e si ha φ Y (t) = e t2 2. Allora, osservando che X = σy + m, applicando la proprietà 3), con a = σ, b = m, si ottiene e imt σ2 t 2 2. g) Se X ha una distribuzione esponenziale di parametro λ, si ha h) X G c,λ. Si ha = λ 0 0 e (λ it)x dx = e itx λe λx dx = λ λ it itx λc e 0 Γ(c) xc 1 e λx dx = = ( λ λ it) c = [φy (t)] c, (Y G 1,λ = Exp(λ)). Calcolo dei momenti. Per ogni fissato intero k = 1, 2,..., la previsione di X k, che indichiamo con m (k), si chiama momento di ordine k di X.

4 10.1 Funzione caratteristica 14 Teorema Se, per un intero positivo k è P( X k ) <, allora la derivata k esima di φ X (t) esiste per ogni t, è continua, e si ha X (t) = (ix) k e itx f(x)dx. φ (k) Cenno sulla dimostrazione. Ricordiamo che, dato un numero aleatorio continuo X, con densità f(x), si ha e itx f(x)dx. Nelle ipotesi del Teorema 10.1 derivando rispetto alla variabile t, si ha φ X(t) = φ X(t) = φ (k) ixe itx f(x)dx, (ix) 2 e itx f(x)dx, X (t) = (ix) k e itx f(x)dx. Allora, se esistono i vari momenti di X, si ha φ X(0) = i xf(x)dx = im (1), φ X(0) = i 2 x 2 f(x)dx = i 2 m (2), φ (k) X (0) = ik x k f(x)dx = i k m (k). Pertanto, si ha m (k) = φ(k). Un ragionamento analogo si può fare se X è i k un n.a. discreto. In molti casi, dovendo calcolare m (k), conviene sfruttare tale formula anzichè applicare la definizione nel caso continuo, oppure X (0) m (k) = x k f(x)dx, m (k) = n p n x k n, nel caso discreto.

5 10.2 Somma di numeri aleatori stocasticamente indipendenti 1 Esempio Sia X N 0,1, si ha P(X r ) = 0, r dispari P(X r ) = P(X 2k ) = (2k)!, r = 2k, k N. 2 k k! Esercizio Sia X un numero aleatorio con distribuzione uniforme in [a, b], con a < b, verificare che { e itb e ita, t 0 it(b a) 1, t = 0 Sia Y = cx + d, con c > 0, verificare che Y ha distribuzione uniforme in [ac + d, bc + d]. Esercizio Sia X un numero aleatorio con distribuzione uniforme in [0, 1], verificare che lim φ t 0 X(t) = i 2. ( Sfruttare il fatto che lim t 0 1 ). Esercizio Sia X un numero aleatorio con distribuzione esponenziale di parametro λ > 0 e sia Y = ax, con a > 0, verificare che Y ha distribuzione esponenziale di parametro λ/a Somma di numeri aleatori stocasticamente indipendenti La proprietà più importante delle funzioni caratteristiche è la seguente: dati n numeri aleatori X 1,..., X n stocasticamente indipendenti e posto Y = X X n, si ha Consideriamo il caso n = 2. Si ha φ Y (t) = = φ X1 (t) φ Xn (t). φ X1 +X 2 (t) = P(e it(x 1+X 2 ) ) = P(e itx 1 e itx 2 ) = P(e itx 1 )P(e itx 2 ) = φ }{{} X1 (t)φ X2 (t). X 1 X 2 Ad esempio, dati n eventi E 1,..., E n, indipendenti ed equiprobabili di probabilità p, e posto si ha Quindi X 1 = E 1,..., X n = E n, φ X1 (t) = = φ Xn (t) = pe it + q. φ X1 + +X n (t) = φ X1 (t) φ Xn (t) = (pe it + q) n. Ritroviamo in questo modo la funzione caratteristica del numero aleatorio E E n, che ha distribuzione binomiale di parametri n, p.

6 10.2 Somma di numeri aleatori stocasticamente indipendenti 16 Altri due aspetti teorici importanti relativi alle funzioni caratteristiche sono: 1. La corrispondenza tra funzioni caratteristiche e distribuzioni di probabilità è biunivoca; quindi la funzione caratteristica φ X (t) determina univocamente la distribuzione di probabilità di X. Esempio Ricordando che ad una distribuzione normale di parametri m, σ corrisponde la funzione caratteristica e imt σ2 t 2 2 e quindi, se X N(x), si ha e t2 2. Allora, se Y = 2X + 3, si ha φ Y (t) = = e 3it 2t2, e quindi Y N 3,2. Altro esempio: se X N m1,σ 1 e Y N m2,σ 2, con X, Y stocasticamente indipendenti, si ha e im 1t σ 2 1 t2 2, φ Y (t) = e im 2t σ2 2 t2 2. Inoltre, per il n.a. Z = ax + by si ha con φ Z (t) = = e im 3t σ 2 3 t2 2, m 3 = am 1 + bm 2, σ 3 = a 2 σ b 2 σ 2 2. Pertanto Z N m3,σ 3. Si noti che, volendo evitare l uso della funzione caratteristica, il calcolo della di- stribuzione di Z richiederebbe un ragionamento pro- babilistico molto più complicato. Esempio Siano X 1 P(λ 1 ) e X 2 P(λ 2 ) si ha φ X1 + 2 (t) = φ X1 (t)φ X2 (t) = e λ 1(e it 1) e λ 2(e it 1) = Pertanto X 1 + X 2 P(λ 1 + λ 2 ) e (λ 1+λ 2 )(e it 1). Esempio La funzione caratteristica di un n.a. X con distribuzione G α,λ, cioè con densità, è data da G α,λ (x) = λα Γ(α) xα 1 e λx, x > 0. ( ) α λ. λ it Pertanto dati 2 numeri aleatori X 1, X 2, rispettivamente, con distribuzione G α1,λ e G α2,λ, si ha X 1 + X 2 G α1 +α 2,λ.

7 10.2 Somma di numeri aleatori stocasticamente indipendenti 17 Esercizio La funzione caratteristica di un numero aleatorio discreto X è e ikt k=1. Calcolare la previsione di X. P(X) = Soluzione. Si ha da cui segue φ X(o) = k=1 Pertanto: P(X) = 3. ik φ X(t) = k=1 ike ikt = i( ), = 3i = ip(x). Esercizio 10.. La funzione caratteristica di un numero aleatorio X è data da e 2it t2 2. Posto Y = X 2, calcolare la probabilità p dell evento ( Y 2). Risp.: p = Soluzione. e 2it t2 2 è la funzione caratteristica di una distribuzione normale di parametri m = 2, σ = 1. Pertanto Y = X 2 ha una distribuzione normale standard. Allora: p = P ( Y 2) = 2Φ(2) Esercizio Le funzioni caratteristiche di due numeri aleatori X, Y indipendenti sono rispettivamente e 2(eit 1) e φ Y (t) = e 3(eit 1). Posto Z = X + Y, calcolare la previsione m di Z. Risp.: m = Si ha: φ Z (t) = φ X (t)φ Y (t) = e 2(eit 1) e 3(eit 1) = e (eit 1), da cui ricordando che φ Z (0) = im Z e osservando che φ Z(t) = e (eit 1) e it i, φ Z(0) = i, segue: m Z =. In effetti, e (eit 1) è la funzione caratteristica di una distribuzione di Poisson di parametro λ =.