Esame di Calcolo delle Probabilità del 11 gennaio 2006 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

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1 Esame di Calcolo delle Probabilità del gennaio 006 Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova). Cognome Nome Matricola Es. Es. Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

2 Esercizio. Siano X n ) n una successione di variabili aleatorie sullo spazio probabilizzato Ω, A, P) e c n ) n una successione di numeri reali avente limite c R. Dimostrare che la convergenza X n X implica lo stesso tipo di convergenza di c n X n cx nei seguenti casi:. X n q.c. X;. X n P X; 3. X n L p X; 4. X n X. Esercizio. Siano X,..., X n variabili aleatorie i.i.d. di legge N0, ). Utilizzare la funzione caratteristica per trovare la legge di. X ;. n i X i ; Trovare la funzione caratteristica di c) X X ; d) X X + X 3 X 4. Esercizio 3. Sia X una variabile aleatoria di legge Beta di parametri a e b, cioè avente densità βa,b) xa x) b rispetto alla misura di Lebesgue su 0, ), dove βa, b) 0 xa x) b dx. Fissato n N, sia poi Y una variabile aleatoria avente come legge condizionale rispetto a X la famiglia ν x ) x 0,) definita da ν x : Bn, x).. Trovare la legge di Y. Se a b, che legge è?. Calcolare EY ] 3. Calcolare EZ ], dove Z Bn, p); calcolare quindi EY ]. 4. Calcolare Var Y ]. Suggerimenti: ricordare che βa, b) Γa)Γb) e Γa+) aγa), dove Γ è la funzione Gamma Γa+b) di Eulero. Esercizio 4. Consideriamo una catena di Markov sullo spazio degli stati {0,,..., m}, con m >, con matrice di transizione definita da i m se j i + p ij i se j i m 0 altrimenti e legge iniziale µ δ i, con i {0,,..., m}.

3 . Dimostrare che per ogni n N E X n+ m dove F n ) n è la filtrazione naturale di X n ) n.. Dedurne che per ogni n N E X n m ] ] F n ) X n m ) m ) n i m ) m 3. Dedurne che lim n EX n ] m.

4 Soluzioni Esercizio.. Se ω Ω è tale che X n ω) Xω), allora c n X n ω) cxω). Dato che {X n ω) Xω)} è un evento quasi certo, lo è anche {c n X n ω) cxω)}.. Sappiamo che per ogni ε > 0, P{ X n X > ε} 0. Se c 0, allora X n X, e quindi per il punto 4. c n X n cx 0; siccome 0 è una costante, la convergenza è anche in probabilità. Se c 0 supponiamo per fissare le idee che c > 0), allora esiste n tale che c n c < ε per ogni n > n. Si ha allora: P{ c n X n cx > ε} P{ c n X n c n X > ε/} + P{ c n X cx > ε/} P{ X n X > ε/ c n } + P{ X > ε/ c n c } P{ X n X > ε/c + ε)} + P{ X > ε/ c n c } Sfruttando il fatto che L p è una norma e quindi vale la disuguaglianza triangolare, abbiamo: c n X n cx L p c n X n c n X L p + c n X cx L p c n X n X L p + c n c X L p c X L p 0 4. Per il teorema di Paul Levy, le funzioni caratteristiche ϕ Xn ) n convergono puntualmente a ϕ X. Allora per ogni t R si ha che e si ha convergenza in legge. ϕ cnx n t) ϕ Xn c n t) ϕ X ct) ϕ cx t) Esercizio.. Per ogni t R abbiamo ϕ X t) Ee itx ] R π eitx e x dx R Questo integrale si può calcolare in vari modi, e il risultato è ) / ϕ X t) it che è la funzione caratteristica di una legge Γ/, /) χ ).. Per l indipendenza di X,..., X n, per ogni t R abbiamo ϕ n t) n ϕ i X i X i t) it i π e x it) dx ) n/ che è la funzione caratteristica di una legge Γn/, /) χ n).

5 3. Condizionando rispetto a X, per ogni t R abbiamo ϕ X X t) EEe itx X X ]] Eϕ X tx )] Ee t X ] ) / π e x +t ) dx + t R 4. Sfruttando l indipendenza di X,..., X 4, per ogni t R abbiamo ϕ X X +X 3 X 4 t) ϕ X X t)ϕ X3 X 4 t) + t Esercizio 3.. La variabile aleatoria Y assume valori sullo spazio F {0,..., n}. Allora per ogni k {0,..., n} si ha ) n P{Y k} ν x {k}) dµx) x k x) n k 0,) 0 k βa, b) xa x) b dx ) n ) n βa + k, b + n k) x a+k x) b+n k dx k βa, b) k βa, b) Se a b, si ha che P{Y k} 0 n k ) Γk+)Γn k+) Γn+) Γ)Γ) Γ) quindi Y ha legge uniforme su {0,..., n}.. Usando la definizione di legge condizionale si ha EY ] y dν x y) dµx) 0,) 0,) {0,...,n} nx βa, b) xa x) b dx nβa +, b) βa, b) n Γa+)Γb) Γa+b+) Γa)Γb) Γa+b) na a + b ) n k!n k)! k n + )! n n y y n βa, b) 0,) y0 n + ) x y x) n y dµx) 0,) x a x) b dx 3. Abbiamo EZ] np, Var Z] np p), quindi EZ ] Var Z] + EZ] np p) + n p np + n )p) np + nn )p. Quindi n ) n EY ] y dν x y) dµx) y x y x) n y dµx) y 0,) 0,) {0,...,n} 0,) y0 nx + nn )x ) βa, b) xa x) b dx nx a x) b + nn )x a+ x) b dx βa, b) 0 nβa +, b) + nn )βa +, b) na nn )aa + ) + βa, b) a + b a + b)a + b + ) nana + n + b) a + b)a + b + )

6 4. Abbiamo che Var Y ] EY ] EY ] nana + n + b) a + b)a + b + ) n a naba + b + n) a + b) a + b) a + b + n) Esercizio 4.. Per definizione di catena di Markov e le proprietà che legano legge condizionale e speranza condizionale, si ha che E X n+ m ] F n X n ) X n m + X n + ) X ) n m m ) X n m ) m. Per induzione, utilizzando la proprietà di proiezione della speranza condizionale, si ha che E X n m ] E E X n m ]] F n E ) X n m ) ] m ) E X n m ] n E X 0 m m) m ] ) n i m ) m 3. Si ha quindi che lim E X n m ] 0, che significa lim EX n ] m n n.

7 Esame di Calcolo delle Probabilità del gennaio 006 Corso di Laurea Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) docente: Tiziano Vargiolu) Sono ammessi all orale: *) già comprensivo del voto del primo compitino. Visione compiti e orali: venerdì 6 dicembre ore 0 nel mio studio