Istituzioni di Probabilità Laurea magistrale in Matematica prova scritta del 22/7/2013

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1 Istituzioni di Probabilità Laurea magistrale in Matematica prova scritta del 22/7/213 Exercise 1 (punti 1 circa Diremo che un processo X = (X t t [,1] a valori reali è un ponte browniano se è un processo gaussiano centrato con X = X 1 = q.c. e E[X s X t ] = min (s, t st. Diremo che è continuo se ha traiettorie continue q.c. 1. Dato un ponte browniano continuo X, poniamo W t = (t + 1X t/(t+1 per t [, + [. Si dimostri che W è un moto browniano continuo (rispetto alla sua filtrazione naturale. [Sugg.: si osservi che la funzione t t/(t+1 è crescente.] 2. Dato un moto browniano continuo W, poniamo X t = (1 tw t/(1 t per t [, 1[, X 1 =. Si dimostri che X è un ponte browniano. 3. Con le notazioni del punto precedente, si dimostri che X è continuo. [Sugg.: per t = 1, si usi il criterio di Kolmogorov.] Exercise 2 (punti 1 circa Sia (Y j j una successione di v.a. positive indipendenti con la sua filtrazione naturale, con media E[Y j ] = 1 per ogni j. Si ponga X = 1, X n = n j=1 Y j per n Si dimostri che X è una martingala e che converge q.c. 2. Assumendo che lim n E[ X n ] =, si dimostri che X converge q.c. a. Converge anche in L 1? 3. Si deduca che, se le Y j sono identicamente distribuite e non costanti q.c., alora X converge q.c. a. Exercise 3 (punti 1 circa Siano W 1, W 2 due moti browniani reali indipendenti. Si dimostri che, per ogni t fissato, le seguenti due v.a. hanno la stessa legge: exp(w 1 (t Si può seguire la seguente strada. exp( W 1 (sdw 2 (s exp(w 1 (sdw 2 (s. 1. Si tracci (in grandi linee la dimostrazione del seguente fatto di base di probabilità: se H 1 H 2, W 1 W 2, H 1 e W 1 sono indipendenti ed anche H 2 e W 2 sono indipendenti, allora (H 1, W 1 (H 2, W 2. 1

2 2. In ambito generale, ragionando inizialmente per processi elementari, si dimostri che se W i sono due moti browniani e H i sono due processi di classe M 2 [, T ] aventi la stessa legge, indipendenti dai W i (i = 1, 2, allora H 1 s dw 1 s H 2 s dw 2 s. Se ne deduca che, per ogni t fissato, le seguenti due v.a. hanno la stessa legge: exp(w 1 (sdw 2 (s exp(w 1 (t W 1 (t sd[w 2 (t W 2 (t s]. 3. Si dimostri che, per un moto browniano bidimensionale (W 1 (t, W 2 (t vale q.c. exp(w 1 (t W 1 (t sd[w 2 (t W 2 (t s] = exp(w 1 (t exp( W 1 (sdw 2 (s. 2

3 1 Soluzioni Esercizio 1. i W t ha traiettorie continue ed è nullo in zero q.c.; è un processo gaussiano centrato; tutte queste affermazioni si verificano in modo elementare. Per la Proposizione 18 delle dispense, basta verificare che E [W t W s ] = t s. Prendiamo t s. Vale (usando il fatto che s t s+1 t+1 E [W t W s ] = (t + 1(s + 1E [ ( ] X t/(t+1 X s/(s+1 = (t + 1(s t s t + 1 s + 1 = s. ii X è centrato e gaussiano (continuo almeno in [, 1[, ma la continuità per ora non è richiesta, come sopra. Basta verificare E[X s X t ] = min (s, t st. Vale, per 1 > t s (usando il fatto che s t 1 s 1 t s E[X s X t ] = (1 s(1 te[w s/(1 s W t/(1 t ] = (1 s(1 t = s(1 t. 1 s Quando s t = 1 vale E[X s X t ] = perché X 1 =, quindi la formula è sempre s(1 t. iii Sia X un qualsisi ponte browniano. Per t s, E [ X t X s 2] = E[X 2 t ] + E[X 2 s ] 2E[X s X t ] = t t 2 + s s 2 2s + 2st =... = (t s (1 t + s 3 t s quindi, per la gaussianità, esiste una costante C > tale che (C = 3 E [ X t X s 4] C t s 2 da cui discende, per il teorema di regolarità di Kolmogorov, che c è una versione continua. Sia ora X il processo del punto 2 ed X la sua versione continua. Se mostriamo che sono indistiguibili, allora q.c. le traiettorie di X saranno continue. Siccome X è già continuo q.c. su [, 1[ ed è una modificazione di X, allora è indistiguibile da X su [, 1[, cioè esiste un evento Ω con P (Ω = tale che X t = X t per ogni t [, 1[ su Ω. Inoltre, siccome X è una modificazione di X, esiste un evento Ω 1 con P (Ω 1 = tale che X 1 = X 1 su Ω 1. Ma allora X t = X t per ogni t [, 1] su Ω Ω 1, e vale P (Ω Ω 1 = 1. Quindi sono indistiguibili. Esercizio 2. 3

4 i Dopo aver verificato che X è adattat e a media finita, vale E [X n F n 1 ] = X n 1 E [Y n ] = X n 1 dove si è usato il fatto che X n 1 è adattato a F n 1 e Y n è indipendente da F n 1. Quindi X è una martingala. Le martingale positive convergono. ii Poniamo Z = lim X n. Vale Z, Z < q.c. e Z = lim X n (per la continuità della funzione radice. Per il lemma di Fatou, [ ] [ ] E Z lim inf E Xn = [ Z ] quindi E =, quindi (essendo Z q.c. Z = q.c. da cui Z = q.c. Infine E [X n ] = 1 per la proprietà di martingala. Quindi X n non converge in L 1 (altrimenti dovrebbe convergere a zero, contraddice lim n E [X n ] = 1. iii [ [ ] n ] n [ Yj ] [ ] n E Xn = E Yj = E = E Y j=1 per l indipendenza e l uguale distribuzione [ (abbiamo indicato con Y una v.a. con Y ] [ Y ] la stessa legge delle Y j. Vale poi E < 1 in quanto E < E [Y ] 1/2 = 1 (la disuguaglianza stretta segue dal fatto che Y non è q.c. costante. Quindi j=1 lim n E [ Y ] n =, da cui limn E [ X n ] =. A questo punto si applica il criterio del punto 2. Esercizio 3. i Basta dimostrare che E [ϕ (H 1, W 1 ] = E [ϕ (H 2, W 2 ] per ogni funzione continua e limitata ϕ (x, y e, con ulteriori ragionamenti, basta dimostrare che E [ϕ (H 1 ψ (W 1 ] = E [ϕ (H 2 ψ (W 2 ] per ogni coppia di funzioni continue e limitate ϕ (x e ψ (y. Ma allora, per l indipendenza (che passa a composizioni ed ugual distribuzione, E [ϕ (H 1 ψ (W 1 ] = E [ϕ (H 1 ] E [ψ (W 1 ] = E [ϕ (H 2 ] E [ψ (W 2 ] = E [ϕ (H 2 ψ (W 2 ]. In questa dimostrazione è indifferente se le v.a. sono a valori vettoriali. 4

5 La dimostrazione si può effettuare in vari altri modi, ad es. con eventi invece che funzioni, o con le funzioni caratteristiche. ii Se gli H j sono della forma (si può sempre prendere l unione delle due partizioni, per avere la stessa n H j = Hs j i 1 [si,s i+1 per una certa partizione π = { s 1... s n+1 }, allora, per j = 1, 2, H j sdw j s = i=1 n i=1 H j s i ( W j s i+1 W j s i Il vettori ( H j s 1,..., H j s n, W j s 1,..., W j s n+1, j = 1, 2, hanno la stessa legge per il punto 1. Quindi anche le loro trasformazioni ϕ ( H j s 1,..., H j s n, W j s 1,..., W j s n+1, j = 1, 2, hanno la stessa legge, dove ϕ (x 1,..., x n, y 1,..., y n+1 = n x i (y i+1 y i. Quindi le v.a. n i=1 H1 s i (Ws 1 i+1 Ws 1 i e ( n i=1 H2 s i Ws 2 i+1 Ws 2 i hanno la stessa legge. Queste somme finite convergono in L 2 (Ω ai corrispondenti integrali stocastici t H1 s dws 1, H2 s dws 2 se si prendono i processi elementari opportuni e la convergenza in L 2 (Ω implica la convergenza in legge. Se ne deduce che anche gli integrali stocastici hanno la stessa legge. L affermazione successiva discende dal fatto che, fissato t >, il processo s W j (t W j (t s è un moto browniano. ii Dato t >, data la partizione π n di [, t] fatta dei punti = s <... < s n = t, si ponga s i = t s n i ovvero Vale i=1 s = t s n,..., s n = t s = s <... < s n = t. 5

6 exp(w 1 (t W 1 (t sd[w 2 (t W 2 (t s] = lim exp(w 1 (t W 1 (t s i (W 2 (t W 2 (t s i+1 W 2 (t + W 2 (t s i π n s i π n = exp (W 1 (t lim exp( W 1 (s n i ( W 2 (s n i 1 W 2 (s n i π n s i π n = exp (W 1 (t lim = exp (W 1 (t π n s i π n exp( W 1 (s n i ( W 2 (s n i W 2 (s n i 1 exp( W 1 (sdw 2 (s. Riunendo tutti questi pezzi, si dimostra l affermazione principale dell esercizio. 6